数列的实际应用.ppt

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1、数列的实际应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望P78 13 因为函数因为函数y=x(x+1)-10y=x(x+1)-10在（在（0 0，+）上为增函数，）上为增函数，借助于函数借助于函数的单调性研的单调性研究大小问题究大小问题在好好理解一下这个式子的含义：购买后每隔购买后每隔1个月付一次款，共分个月付一次款，共分12次付清，每次付次付清，每次付，付款额共为：，付款额共为：43912=5268(元元)，比一次性多付，比一次性多付268元。元。看看该问

2、题中的实际情况：典型题选讲典型题选讲【例例1】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款一次性贷款10万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1万元，以后每万元，以后每年比前一年增加年比前一年增加30的利润；乙方案：每年贷款的利润；乙方案：每年贷款1万万元，第一年可获利元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加5千千元；两种方案的使用期都是元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本年，到期一次性归还本息，若银行两种形式的贷款都按年息息，若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，的复利计算，试比较两种方案中，哪种

3、获利更多？试比较两种方案中，哪种获利更多？(取取1.0510=1.629，1.310=13.786，1.510=57.665)典型题选讲典型题选讲解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列。解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列。甲方案获得甲方案获得:1+(1+30%)1+（1+30%)9=42.63（万元）（万元）银行贷款本息：银行贷款本息：10(1+5%)1016.29（万元）（万元）故甲方案纯利：故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34（万元）（万元）典型题选讲典型题选讲解析：解析：乙方案获得：乙方案获得：1+（1+0.5）+（1+20.5）+（1+90.5）=101+450.5

4、=32.50（万元）（万元）银行本息和：银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+（1+5%)9=1.05 13.21（万元）（万元）故乙方案纯利：故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29（万元）；（万元）；综上，甲方案更好。综上，甲方案更好。点评点评：例：例1是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只是建立通项公数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只是建立通项公式并运用所学过的公式求解。式并运用所学过的公式求解。典型题选讲典型题选讲【例例2】某地现在耕地某地现在耕地10000公顷，规划公顷，规

5、划10年年后粮食单产比现在增加后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有，人均粮食占有量比现在提高量比现在提高10，如果人口年增长率为，如果人口年增长率为1，那么耕地平均每年至多只能减少多少公，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？顷？(精确到精确到1公顷公顷)(粮食单产粮食单产=人均粮食占有量人均粮食占有量=)典型题选讲典型题选讲解：在问题中，人口增长为等比数列，而土地减少解：在问题中，人口增长为等比数列，而土地减少成等差数列，设耕地每年至多只能减少成等差数列，设耕地每年至多只能减少x公顷，且该公顷，且该地区现在人口地区现在人口p，粮食单产为，粮食单产为M吨吨/公顷。公顷。10年后粮食单产年后粮

6、食单产M（1+22%），耕地为），耕地为104-10 x人口为人口为p(1+1%)10据题意得据题意得典型题选讲典型题选讲故每年至多只能减少耕地故每年至多只能减少耕地4公顷。公顷。点评点评：例：例2是等差数列与等比数列的混合问题，只是等差数列与等比数列的混合问题，只需要根据公式直接建立关系求解。需要根据公式直接建立关系求解。典型题选讲典型题选讲【例例3】某地区森林原有木材存量为某地区森林原有木材存量为a，且每年增长，且每年增长率为率为25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为材量为b，设，设 n年后该地区森林木材的存量年后该地区森林木材的存量an，（1）

7、求）求an的表达式；的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于年的森林木材存量不少于 ，如果，如果 ，那，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：几年？（参考数据：）改改(1)1)求求a an n与与a an-1n-1关系式，并求出关系式，并求出a an n关于关于n n的表达式；的表达式；典型题选讲典型题选讲解：（解：（1）设第一年的森林的木材存量为）设第一年的森林的木材存量为a1，第，第n年年后的森林的木材存量为后的森林的木材存量为an，则，则典型题

8、选讲典型题选讲（2）当）当 时，有时，有 得得 即即 ，所以所以，答：经过答：经过7年后该地区就开始水土流失年后该地区就开始水土流失典型题选讲典型题选讲【例例4】某鱼场某鱼场2006年初养的鱼，到第年初养的鱼，到第二年初重量增长率为二年初重量增长率为200，以后每年，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的一半，的重量增长率都是前一年增长率的一半，由于某种原因，每年损失预计重量的由于某种原因，每年损失预计重量的10，那么，到哪一年的年初鱼的重量开，那么，到哪一年的年初鱼的重量开始减少？始减少？典型题选讲典型题选讲解：鱼的重量是一个较复杂的数列，应建立相解：鱼的重量是一个较复杂的数列，应建立相邻两

9、年鱼重的递推关系。设从邻两年鱼重的递推关系。设从2006年初开始计年初开始计算算n年后的年初的鱼重为年后的年初的鱼重为an,2006年初养的鱼重年初养的鱼重为为a0，由条件知，由条件知:典型题选讲典型题选讲故到故到2011年年初鱼的重量开始减少。年年初鱼的重量开始减少。点评点评：建立数列的递推关系建立数列的递推关系是解决数列应用问题的是解决数列应用问题的重要方法，注意在例重要方法，注意在例3中，由于设了中，由于设了2006年初养的鱼年初养的鱼为为a0，则定义，则定义an为为n年后的鱼的重量比较好。年后的鱼的重量比较好。拓展训练拓展训练【例例5】容器容器A内装有内装有6升质量分数为升质量分数为20的的盐水溶液，容器盐水溶液，容器B内装有内装有4升质量分数为升质量分数为5的的盐水溶液盐水溶液.先将先将A内的盐水倒内的盐水倒1升进入升进入B内，再内，再将将B内的盐水倒内的盐水倒1升进入升进入A内，称为一次操作；内，称为一次操作；这样反复操作这样反复操作n次，次，A、B容器内的盐水的质容器内的盐水的质量分数分别为量分数分别为an、bn(1)问至少操作多少次，问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水两容器内的盐水浓度之差小于浓度之差小于1？(取取lg2=0.3010，lg3=0.4771)(2)求求an、bn的表达式的表达式拓展训练拓展训练 拓展训练拓展训练