数学模型概论1.ppt

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1、数学模型概论1 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望教材及主要参考书教材及主要参考书1.姜启源姜启源,谢金星谢金星,叶俊叶俊.数学模型数学模型(第三版第三版).高等教育出版社高等教育出版社.2.徐全智，杨晋浩徐全智，杨晋浩.数学建模数学建模（第二版）（第二版）.高等教育高等教育出版社出版社.3.（新西兰）（新西兰）Mark M.Meerschaert 著著.刘来福，杨淳，黄海洋刘来福，杨淳，黄海洋 译译.数学建模数学建模方法与分析（原书第二版）方法与分析

2、（原书第二版）.机械工业出版社机械工业出版社.4.刘来福刘来福,曾文艺曾文艺.数学模型与数学建模数学模型与数学建模.北京师范大学出版社北京师范大学出版社.5.雷功炎雷功炎.数学模型数学模型八讲八讲.北京北京大学出版社大学出版社.数学建模发展史数学建模发展史v美国从美国从1938 年以来，在大学生中举办了年以来，在大学生中举办了50多多届普特南届普特南(Putnam)数学竞赛，这项竞赛对数学竞赛，这项竞赛对培养青年数学家有积极作用，但弗萨罗教授培养青年数学家有积极作用，但弗萨罗教授发现这项竞赛有三个问题：发现这项竞赛有三个问题：一是过于纯粹，而大多数学生将从事各种领域的一是过于纯粹，而大多数学生

3、将从事各种领域的应用问题；应用问题；二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代的二是不能用计算工具，不能看参考书，与时代的发展，与真正科研的条件不同；发展，与真正科研的条件不同；三是个人独立做，而现代科学研究往往要一个团三是个人独立做，而现代科学研究往往要一个团队合作进行。队合作进行。v于是他和一些看法相同的同行发起，在于是他和一些看法相同的同行发起，在1985 年举办了美国大学生首届数学建模竞赛年举办了美国大学生首届数学建模竞赛(Mathematical Competition in Modeling)，1988 年后改称为年后改称为Mathematical Contest in Modeli

4、ng，均缩写为，均缩写为MCM，以后每年举，以后每年举办一次，它吸引了世界上许多国家和地区的办一次，它吸引了世界上许多国家和地区的大学生参加。大学生参加。v自自1989 年以来，我国学生还积极参加美国大学生数年以来，我国学生还积极参加美国大学生数学建模竞赛，近年来我国参赛队数接近于其总数的学建模竞赛，近年来我国参赛队数接近于其总数的三分之一，而且还取得了很好的成绩，充分展示出三分之一，而且还取得了很好的成绩，充分展示出我国大学生的智慧和创造性。我国大学生的智慧和创造性。v我国的大学生数学建模竞赛是从我国的大学生数学建模竞赛是从1992 年开始的，由年开始的，由中国工业与应用数学学会举办。这一新

5、生事物从一中国工业与应用数学学会举办。这一新生事物从一开始就受到广大师生的欢迎和各级教育部门的关心开始就受到广大师生的欢迎和各级教育部门的关心与重视。并从与重视。并从1994 年起改由教育部高教司和中国工年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举办，并成立了全国组委会业与应用数学学会联合举办，并成立了全国组委会来具体组织竞赛。来具体组织竞赛。课程简介课程简介 数学建模当前我国高等教育基础课程教数学建模当前我国高等教育基础课程教学改革的前沿课程之一。它为学生正确理解学改革的前沿课程之一。它为学生正确理解数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多专业课之间

6、的内在联系有着非常重要的作用，专业课之间的内在联系有着非常重要的作用，它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟的一座桥梁。科之间鸿沟的一座桥梁。2010年建模竞赛题目年建模竞赛题目vA题题 储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定vB题题 2010年上海世博会影响力的定量评估年上海世博会影响力的定量评估vC题题 输油管的布置输油管的布置vD题题 对学生宿舍设计方案的评价对学生宿舍设计方案的评价 1.现状现状:数学建模是一门新兴的学科，数学建模是一门新兴的学科，20世纪世纪70年代初年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历诞

7、生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生的喜爱。喜爱。原因：原因：一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，

8、而计算机与实际的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生的要求越来越高二是社会对大学生的要求越来越高，大学生毕业后要，大学生毕业后要适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。适应社会的需求，一到工作岗位就能创造价值。2 2 课程特点课程特点很强的实用性：教材的内容来自于实际。很强的实用性：教材的内容来自于实际。知识的广泛性：依赖于各方面的基础知识。知识的广泛性：依赖于各方面的基础知识。内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，

9、教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式，学生报告方式，课堂教学方式等。学生报告方式，课堂教学方式等。3 3 教学目的教学目的培养学生解决实际问题的综合能力。培养学生解决实际问题的综合能力。1 1）“双向翻译双向翻译”能力能力 2 2）运用数学思想进行综合分析能力）运用数学思想进行综合分析能力3 3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4 4）观察力和想象力）观察力和想象力 5 5）提高撰写科研论文的能力）提高撰写科研论文的能力6 6）团结协作的精神）团结协作的精神数学模型：数学模型：1 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的）近藤次

10、郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。的一种。2 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。学结构。3 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，根据特有的内一特定对象，为了某个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数

11、学工具得到的一个数学结构。数学工具得到的一个数学结构。数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。与其内在联系。数学建模过程数学建模过程航行问题航行问题：甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米

12、，船从甲到乙顺千米，船从甲到乙顺水航行需水航行需3030小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需5050小时，小时，问船速、水速各多少？问船速、水速各多少？用用 分别代表船速、水速，可以列出方程分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得解方程组，得答：船速、水速分别为答：船速、水速分别为2020千米千米/小时、小时、5 5千米千米/小时。小时。v当然，实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是当然，实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本思想已经包含在解这个代数应建立数学模型的基本思想已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是：用题的过程中了。那就是：根据建立数学模型的

13、目的和问题的背景做出必要的简化根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（的未知量（x，y 代表船速和水速）；代表船速和水速）；利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速度利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上的解（求出数学上的解（x=20，y=5)；用这个答案解决问题（船速和水速分别为用这个答案解决问题（船速和水速分别为20km/h 和和5 km/h)；最后还要用实际现象来验证

14、上述结果。最后还要用实际现象来验证上述结果。数学建模过程数学建模过程现实对象的信息数学模型的解答现实对象的解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系建立数学模型的方法和步骤建立数学模型的方法和步骤1 1、方法方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理 规律。规律。统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。系统分析法：对复杂性问题或

15、主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。如：层次分析法。数学建模示例数学建模示例建模示例之一建模示例之一 椅子的稳定性问题椅子的稳定性问题问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳即放稳？事实上：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平事实上：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，方不稳，然而的地面上，通常只有三只脚着地，方不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同

16、时着地，只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。如何用数学工具来证实？放稳了。如何用数学工具来证实？1 1假设假设 2 2 1 1）地面为光滑曲面；）地面为光滑曲面；3 3 2 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；4 4 3 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接接 触视为几何上的点接触；触视为几何上的点接触；5 5 4 4）椅子的中心不动。）椅子的中心不动。xyAABBCCDDO2 2 建模分析建模分析表示表示A,CA,C与地面距离之和与地面距离之和表示表示B,DB,D与

17、地面距离之和与地面距离之和则由三点着地，有则由三点着地，有不失一般性，设初始时：不失一般性，设初始时：表示椅子绕中心旋转的角度表示椅子绕中心旋转的角度假设：假设：是是 的连续函数，的连续函数，且且 对任意对任意 ，求证：至少存在求证：至少存在 ，使得，使得3数学模型数学模型数学命题：数学命题：4 4 模型求解模型求解证明：证明：将椅子转动将椅子转动 ，对角线互换，由，对角线互换，由可得可得令令由由 的连续性，的连续性，根据根据介值定理介值定理，在，在 中至中至少存在一点少存在一点 ,使得使得 ,即即又又所以所以结论：能放稳。结论：能放稳。思考题思考题1 1：长方形的椅子会有同样的：长方形的椅子

18、会有同样的 性质吗？性质吗？建模步骤建模步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用1）模型准备：了解问题的实际背景实际背景，明确建模目目的的，掌握对象的各种信息各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。建模步骤建模步骤2）模型假设：根据实际对象的特征特征和建模目的目的，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因

19、素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好

20、。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。模型的分类模型的分类1）按变量的性质分：）按变量的性质分：离散模型离散模型确定性模型确定性模型 线性模型线性模型单变量模型单变量模型连续模型连续模型随机性模型随机性模型 非线性模型非线性模型 多变量模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分）按时间变化对模型的影响分静态模型静态模型参数定常模型参数定常模型动态模型动态模型参数时变模型参数时变模型3 3）按模型的应用领域（或所属学科）分）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型

21、、人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。数量经济学模型、数学社会学模型等。4 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型

22、、优化模型、描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。决策模型、控制模型等。6 6）按对模型结构的了解程度分）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。象，如生命科学、社会科学等。练习练习1 1 某甲

23、早某甲早8 8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午午5 5时到达山顶并留宿；次日早时到达山顶并留宿；次日早8 8时沿同一条路径时沿同一条路径下山，下午下山，下午5 5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？A AB B甲甲乙乙2 23737支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？共进行至比赛结束。问共需进行多少

24、场比赛？共进行多少轮？如果是多少轮？如果是n n支球队呢？支球队呢？一般思维：一般思维：逆向思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了就是淘汰了3636名球队，因此比赛进行了名球队，因此比赛进行了3636场。场。共进行共进行6 6轮比赛。轮比赛。n n队需要队需要n-1n-1场比赛场比赛若若 ，则需要，则需要k k轮。轮。3 3 某人家住某人家住T T市在他乡工作，每天下班后乘火车于市在他乡工作，每天下班后乘火车于6 6时抵达时抵达T T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭

25、早一班火车于回家。一日他提前下班搭早一班火车于5 5时半抵达时半抵达T T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了提前了1010分钟。问他步行了多长时间？分钟。问他步行了多长时间？车车站站家家5 5：3030相遇相遇早早1010钟钟5 5分钟分钟5 5分钟分钟6 6：00005 5：5555共走了共走了2525分钟。分钟。4 4甲乙两站有电车相通，每隔甲乙两站有电车相通，每隔1010分钟甲乙两站互发分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中一趟

26、车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现最先经过丙站的那趟车，结果发现100100天中约有天中约有9090天到达甲站，仅约有天到达甲站，仅约有1010天到达乙站。问开往甲天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙甲至乙乙至甲乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:195一男孩和一女孩分别在离家一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和和 1 km 且方且方向相反的两所

27、学校上学，每天同时放学后分别向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以以4 km/h和和 2 km/h 的速度步行回家。一小狗以的速度步行回家。一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？波了多少路程？6 如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？6 某人由某人由A处到处到B处去，途中需到河边取些水，如处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近

28、？（用尽可能简单的办下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）法求解。）dAB河河思考题思考题 思考题思考题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题oxyABCD 思考题思考题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题表示表示A,B与地面距离之和与地面距离之和表示表示C,D与地面距离之和与地面距离之和则由三点着地，有则由三点着地，有ACABCD讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支装的每支1.50元，元，120g装的每支装的

29、每支3.00元，二者单位重量的价元，二者单位重量的价格比是格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现，试用比例方法构造模型解释这种现象。象。（1）分析商品价格）分析商品价格C与商品重量与商品重量w的关系。的关系。（2）给出单位重量价格）给出单位重量价格c与与w的关系，并解释其的关系，并解释其 实际意义。实际意义。提示：提示：决定商品价格的主要因素：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低单价的减少随重量增加逐渐降低思考题思考题2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨

30、前进的小船，分单人艇、赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇比较了各种赛艇19641970年四次年四次2000m比赛的最好成绩比赛的最好成绩(包括包括1964年和年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。之间的关系。艇种艇种 2000m成绩成绩t(min)艇长艇长l(m)艇宽艇宽 b(m)l/bW0(kg)与与n之之

31、比比1234平均平均单人单人7.16 7.257.28 7.17 7.217.930.29327.016.3双人双人6.87 6.926.95 6.77 6.889.760.35627.413.6四人四人6.33 6.426.48 6.13 6.3211.750.57421.018.1八人八人5.87 5.925.82 5.73 5.8418.280.61030.014.7各种艇的比赛成绩与规格各种艇的比赛成绩与规格建模示例之三建模示例之三 安全渡河问题安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？