11正弦定理和余弦定理习题课.ppt

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1、1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理习题课习题课题型一题型一 正弦定理的应用正弦定理的应用 (1)(1)在在ABCABC中中,a a=,=,b b=,B B=45=45.求角求角A A、C C和边和边c c；（2 2）在）在ABCABC中，中，a a=8=8，B B=60=60，C C=75=75.求边求边b b 和和c c；（3 3）在）在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A,B B,C C 的对边长，已知的对边长，已知 ，且，且a a2 2-c c2 2=acac-bcbc，求，求A A及及 的值的值.已知两边及一边对角或已知两角及已知两边及一边对角

2、或已知两角及 一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注 意解的个数的判断意解的个数的判断.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型二题型二 余弦定理的应用余弦定理的应用 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别是角分别是角A A，B B，C C 的对边，且的对边，且 （1 1）求角）求角B B的大小；的大小；（2 2）若）若b b=，a a+c c=4=4，求，求ABCABC的面积的面积.由由 利用余弦定理利用余弦定理 转化为边的关系求解转化为边的关系求解.解解 （1 1）由余弦定理知：）由余弦定理知：知能迁移知能迁移2 2 已知已知ABCABC

3、中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的的 对边分别为对边分别为a a,b b,c c,若若ABCABC的面积为的面积为S S，且，且 2 2S S=（a a+b b）2 2-c c2 2，求，求tan tan C C的值的值.解解 依题意得依题意得ababsinsin C C=a a2 2+b b2 2-c c2 2+2+2abab,由余弦定理知由余弦定理知,a a2 2+b b2 2-c c2 2=2=2ababcos cos C C.所以所以,ababsinsin C C=2=2abab(1+cos(1+cos C C),),即即sin sin C C=2+2cos=2+2cos

4、 C C,题型三题型三 三角形形状的判定三角形形状的判定 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别表示三个内角分别表示三个内角 A A、B B、C C的对边，如果（的对边，如果（a a2 2+b b2 2）sinsin（A A-B B）=（a a2 2-b b2 2）sinsin（A A+B B），判断三角形的形状），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，转化为边边关系或角角关系互化，转化为边边关系或角角关系.解解 方法一方法一 已知等式可化为已知等式可化为 a a2 2sinsin（A A-B B）-sin-sin（A A+B B）=

5、b b2 2-sin-sin（A A+B B）-sin(-sin(A A-B B)2 2a a2 2cos cos A Asin sin B B=2=2b b2 2cos cos B Bsin sin A A 由正弦定理可知上式可化为：由正弦定理可知上式可化为：sin sin2 2A Acos cos A Asin sin B B=sin=sin2 2B Bcos cos B Bsin sin A A知能迁移知能迁移3 3 在在ABCABC中，已知中，已知2sin 2sin A Acoscos B B=sin sin C C，那么，那么ABCABC一定是（一定是（）A.A.直角三角形直角三角形

6、 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.正三角形正三角形 解析解析 方法一方法一 因为在因为在ABCABC中，中，A A+B B+C C=，即即C C=-=-（A A+B B），所以），所以sin sin C C=sin(sin(A A+B B).).由由2sin 2sin A Acos cos B B=sin=sin C C,得得2sin 2sin A Acos cos B B=sin=sin A Acos cos B B+cos+cos A Asin sin B B,即即sin sin A Acos cos B B-cos-cos A Asin sin

7、 B B=0,=0,即即sin(sin(A A-B B)=0.)=0.题型四题型四 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 (12(12分分)在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A，B B，C C的对边，且满足（的对边，且满足（2 2a a-c c）coscos B B=b bcoscos C C.(1)(1)求角求角B B的大小；的大小；(2)(2)若若b b=,=,a a+c c=4,=4,求求ABCABC的面积的面积.(1)(1)用正弦定理用正弦定理,将边用角代换后求解将边用角代换后求解.(2)(2)用余弦定理用余弦定理,配方出现配方出现a a+b b后代

8、换后代换,求出求出acac即可即可.解解 （1 1）在）在ABCABC中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：a a=2=2R Rsin sin A A,b b=2=2R Rsin sin B B,c c=2=2R Rsin sin C C,代入代入(2(2a a-c c)cos)cos B B=b bcos cos C C,知能迁移知能迁移4 4 （20082008辽宁理，辽宁理，1717）在在ABCABC中，中，内角内角A A、B B、C C对边的边长分别是对边的边长分别是a a、b b、c c.已已 知知c c=2,=2,（1 1）若）若ABCABC的面积等于的面积等于 ，求，求a a、b

9、b的值；的值；（2 2）若）若sin sin C C+sin(+sin(B B-A A)=2sin 2)=2sin 2A A,求求ABCABC的的 面积面积.解解 (1)(1)由余弦定理及已知条件由余弦定理及已知条件,得得a a2 2+b b2 2-abab=4.=4.又因为又因为ABCABC的面积等于的面积等于 ，所以所以 ababsinsin C C=,=,所以所以abab=4.=4.11.11.在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C 所对边长分别为所对边长分别为a a、b b、c c,设设a a、b b、c c满足条件满足条件b b2 2+c c2 2-bcbc=a a2 2和和 求角求角A A 和和tan tan B B的值的值.解解 由由b b2 2+c c2 2-bcbc=a a2 2,得得12.12.在在ABCABC中中,角角A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c，已知已知a a+b b=5=5，c c=，且，且 (1)(1)求角求角C C的大小；的大小；(2)(2)求求ABCABC的面积的面积.解解 （1 1）A A+B B+C C=180=180,