有限元法20070706.ppt

《有限元法20070706.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元法20070706.ppt（106页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、有限元法有限元法传统的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的传统的有限元法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程型数学模型边值问题，首先转化为相应微分方程型数学模型边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。求边值问题的数值解。变分原理变分原理1.泛函、变分问题简介泛函、变分问题简介基于物理模型的描述基于物理模型的描述最速降线问题

2、最速降线问题变分原理变分原理对于一般问题，可以给出下列对应于一个自变量对于一般问题，可以给出下列对应于一个自变量x x的的最简形式的泛函最简形式的泛函泛函的极值泛函的极值(极大值或极小值极大值或极小值)问题就称为变分问题。问题就称为变分问题。物理学各分支都存在有相应的变分问题，例如分析物理学各分支都存在有相应的变分问题，例如分析力学中的哈密顿原理、最小作用量原理，静电学中力学中的哈密顿原理、最小作用量原理，静电学中的汤姆逊定理，光学中的费尔马原理等，都是变分的汤姆逊定理，光学中的费尔马原理等，都是变分变分原理变分原理原理。同样，变分原理也应用于弹性理论、流体力学原理。同样，变分原理也应用于弹性

3、理论、流体力学和量子力学等方面。此外，在应用数学领域中，如数和量子力学等方面。此外，在应用数学领域中，如数理经济学、最优控制论等变分原理也各有重要的应理经济学、最优控制论等变分原理也各有重要的应用。用。基于数学语言的描述基于数学语言的描述函数泛函算子变分原理变分原理2.泛函的变分与尤拉方程泛函的变分与尤拉方程变分问题的经典解法可归纳为两大类。一类称为直接变分问题的经典解法可归纳为两大类。一类称为直接在于把泛函的极值问题近似地转化为一般多元函数的在于把泛函的极值问题近似地转化为一般多元函数的极值问题，用有穷维子空间中的函数去逼近无穷维空极值问题，用有穷维子空间中的函数去逼近无穷维空间中的极值函数

4、，从而近似地求得泛函的极值。例如间中的极值函数，从而近似地求得泛函的极值。例如瑞利里兹法、康脱洛维奇法、伽辽金法等；另一类瑞利里兹法、康脱洛维奇法、伽辽金法等；另一类称为间接解法，即把变分问题转化为微分方程称为间接解法，即把变分问题转化为微分方程(所谓尤所谓尤变分原理变分原理拉方程拉方程)约定解问题约定解问题(边值问题边值问题)来求解。来求解。函数函数y y(x x)的变分的变分 y y 它反映了整个函数的变化量，显然有别于描述同一函它反映了整个函数的变化量，显然有别于描述同一函数数y y(x x)因因x x变化而引起的函数增量变化而引起的函数增量 y y。泛函泛函J J y y(x x)的变

5、分的变分 J J变分原理变分原理设函数设函数F F充分光滑，则由多元函数的泰勒公式可将上式充分光滑，则由多元函数的泰勒公式可将上式展成展成变分原理变分原理式中，作为泛函增量式中，作为泛函增量 J J的线性主部的线性主部称为泛函称为泛函J J y y 的一次变分的一次变分(简称变分简称变分)。而。而 2 2J J 、3 3J J 、分别是函数变分分别是函数变分 y y及其导数及其导数 y y 的二次、三次齐次式、的二次、三次齐次式、等的积分，依次称为二次变分、三次变分、等的积分，依次称为二次变分、三次变分、。变分原理变分原理现令变分问题的解答现令变分问题的解答(极值函数极值函数)为为y y=y

6、y(x x)设想函数设想函数y y从极值解稍稍变动到从极值解稍稍变动到y y+y y ，并把变分，并把变分 y y改改记为记为(x x)(是一个任意给定的微量实参数；是一个任意给定的微量实参数；(x x)是定是定义于区间义于区间 x x1 1,x x2 2 且满足齐次边界条件即有且满足齐次边界条件即有(x x1 1)=(x x1 1)=0=0的任意选定的可微函数的任意选定的可微函数)。这样，泛函。这样，泛函J J y+y+=J J y y(x x,)=()成为参数成为参数 的函数，因为参数的函数，因为参数 的值确的值确定了定了y y=y y(x x,)函数族里的曲线，所以同时也就确定了泛函函数

7、族里的曲线，所以同时也就确定了泛函J J y y(x x,)的值，而且当的值，而且当=0=0时泛函即获极值函数的解。时泛函即获极值函数的解。变分原理变分原理根据微积分学可知，函数根据微积分学可知，函数()在在=0=0时取得极值的必要时取得极值的必要条件是条件是变分原理变分原理极值函数解必须满足的必要条件等同于极值函数解必须满足的必要条件等同于又又通常，在变分问题中，变分通常，在变分问题中，变分 y y在端点保持为零在端点保持为零(例如在例如在最速降线问题，不论光滑轨道的形状如何变化，所有最速降线问题，不论光滑轨道的形状如何变化，所有可取函数可取函数y y(x x)均须通过均须通过A A、B B

8、两定点两定点)，即，即变分原理变分原理于是，必要条件成为由于上式对任意的 y y都成立，所以极值函数必须满足以下微分方程这个方程就称为泛函的极值问题(变分问题)的尤拉方程。变分原理变分原理同理可导出各种比较复杂情况下泛函极值存在的必要条件，例如其极值存在的必要条件为偏微分方程在这里，因此有 变分原理变分原理有限元法的基本原理有限元法的基本原理基于前述有限元法的变分原理，通常有限元法的应用步骤是：给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分问题；应用有限单元剖分场域，并选取相应的插值函数；把变分问题离散化为一个多元函数的极值问题，导出一组联立的代数方程(有限元方程)；选择适当的代数解法，解有限元方程

9、，即得待求边值问题的近似解(数值解)。确定泛函的方法确定泛函的方法根据前面的讨沦我们已经知道，有限单元法是以变分原理为基础建立起来的，但是把解微分方程的问题化为变分问题求解，首先就要确定对应的泛函。在许多情况下，泛函可以通过物理定理来确定。如在热力学中，平衡时一个孤立系统的熵是最大。反之，对于一个体积不变的温度为常量的系统，Helmholtz自由能为最小。这两种情况，可以用熵或Helmholtz自由能的积分来表示对应的泛函。又如在固体力学中，泛函就是相应的能量积分。确定泛函的方法确定泛函的方法在电场问题中泛函可以根据电场能量来建立。假使一个问题没有物理原理给出变分叙述，而仅仅知道微分方程和边界

10、条件，则可利用下述方法确定泛函。1.1.数学变换数学变换数学变换数学变换设给定微分方程和它的边界条件为了寻找它相应的泛函我们作确定泛函的方法确定泛函的方法为了使运算符号能移到积分号外面，我们将上式作如下的变换式中L是新的算子，从L()变换得到。根据确定泛函的方法确定泛函的方法即为所求泛函。现在的问题是如何实现上述变换，遗憾的是这没有一个固定不变的规则，但是在变换工作中必须应用Green定理。下面我们以Laplace方程为例来说明这种数学变换方法。考虑方程式和边界条件这是Dirichlet问题，为了导出这个问题的泛函，我们作确定泛函的方法确定泛函的方法注意到现在把u看作为，把V看作，则得由Gre

11、en定理由此得确定泛函的方法确定泛函的方法现在因为在上 ，而且=0，所以注意到 ，则有这样我们就求得一积分，它的一阶变分为零，这就是所要寻找的泛函。因此确定泛函的方法确定泛函的方法2.古典方法古典方法古典方法古典方法标准变分原理对下式微分方程定义的边值问题：如果算符L是自伴的，即并且L是正定的，即确定泛函的方法确定泛函的方法那么，通过求下式泛函的极小值即可求出原微分方程的解。在上面的几个式子中，表示与满足相同边界条件的任意函数。尖括号表示如下定义的内积为了证明这个变分原理，我们首先需要证明微分方程是当泛函F驻定时(即当F=0时)的必然结果。然后，我们需要证明驻点是泛函F的极小值点，这等价于证明

12、确定泛函的方法确定泛函的方法(F)0为了说明标准变分原理的缺陷及其应用，让我们考虑泊松方程 为了用标准变分原理来建立泛函F，我们首先需要证明算符满足前述条件。根据内积的定义，有对上式应用第一标量格林定理，得到确定泛函的方法确定泛函的方法式中 是S的外法向单位矢量。如果是实数或实函数，则上式右边第一项可写成 。第二项是面积分。如果和均满足齐次狄利克雷边界条件=0，在S1上以及第三类齐次边界条件 在S2上确定泛函的方法确定泛函的方法那么，面积分项为零。上式中的和 是实数，而S1+S2=S。在上述条件下，有即算符L是自伴的。因此，L是自伴的条件为(1)和是实数；(2)边界条件是齐次的。在这些条件下，

13、即可建立泛函F如下确定泛函的方法确定泛函的方法现在，我们考虑下式应用第一标量格林定理及边界条件，上式变成假设和是非负的，且它们不同时为零，显然，当0时，；当=0时，。因此，如果和是正的非零数，那么，算符L是正定的。确定泛函的方法确定泛函的方法在这个条件下，原微分方程的解对应于上式中给出泛函的极小值。上面的过程也适用于矢量问题。在这种情形下，内积定义为为了说明标准变分原理对矢量问题的应用及其限制，让我们考虑矢量波动方程确定泛函的方法确定泛函的方法 对于这种情形，算符L可写成 根据内积的定义，确定泛函的方法确定泛函的方法对上式应用第一矢量格林定理，得到所以，如果E和F均满足齐次狄利克雷边界条件 ，

14、在S1上以及第三类齐次诺曼条件 在S2上确定泛函的方法确定泛函的方法那么，只要r和e是实数，上式中的面积分就为零。式中，S=S1+S2。此外，如果r和r均为实数，则泛函式可写成因而L是自伴的。所以，前式定义的算符L是自伴的条件为：（1）r、r和e是实数或实函数（2）边界条件是齐次的。在这些条件下，则可以建立泛函确定泛函的方法确定泛函的方法确定泛函的方法确定泛函的方法修正变分原理从上节中给出的几个例子可以看出，为了应用标准变分原理，微分方程的算符必须是自伴的。对一个自伴算符，算符本身以及边界算符必须是实数或实函数，另外，边界条件必须是齐次的。然而，在许多电磁学问题中，算符通常是复数或复函数，且边

15、界条件也常常是非齐次的。因此，去掉这两个条件十分重要，否则，它们将严重限制变分方法的应用。确定泛函的方法确定泛函的方法我们在此只考虑第二个条件，将变分原理修正为能处理非齐次边界条件的变分方法。考虑原始定义的边值问题以及一组非齐次边界条件。由前面的例子可见，这个问题是非自伴的，然而，只要引进新的未知函数u后，非自伴问题即可转化成自伴问题。这里的u是满足给定非齐次边界条件的任意函数。结果，新的函数满足齐次边界条件，因而问题可以变成自伴的。因此，可以用标准变分原理来建立问题的泛函。确定泛函的方法确定泛函的方法将 +u代入，的微分方程可以写成式中 ，因此，泛函为确定泛函的方法确定泛函的方法在下面的例子

16、中将会看出，上式右边的第二项和第三项通常可转化成边界积分或边界项，其中u在应用边界条件后消失。我们称上面描述的结果为修正变分原理，在此重述如下：给定边值问题，如果算符L在齐次边界条件下是自伴的，那么，其解可通过求上式泛函的驻点而得到，其中u是满足给定非齐次边界条件的任意函数。现在，让我们用上节中的例子来说明修正变分原理的应用。考虑泊松方程所定义的问题以及下列边界条件：确定泛函的方法确定泛函的方法=p，在S1上 ，在S2上式中，p和q是已知参数。正如在上节中所证明的那样，只要和是实数或实函数，算符L在齐次边界条件下就是自伴的。因此，将L和f代入，即可得到该问题的泛函F()为确定泛函的方法确定泛函

17、的方法应用第二标量格林定理，以及u和均满足的边界条件，最后丢掉不包含的项，上式可写成现在，让我们考虑矢量波动方程所定义的矢量问题以及如下边界条件确定泛函的方法确定泛函的方法正如在上节中所证明的那样，r、r和e是实数或实函数，算符L在齐次边界条件下就是自伴的。因此，可以建立该问题的泛函，在S2上，在S1上确定泛函的方法确定泛函的方法确定泛函的方法确定泛函的方法式中，u是满足边界条件的任意函数。对上式应用第一矢量格林定理，以及E和u均满足的边界条件，最后丢掉不包含E的项，上式可写成确定泛函的方法确定泛函的方法广义变分原理上节给出的修正变分原理能够用来列出几乎所有无耗媒质的电磁学问题的计算公式。但是

18、，它不能用于有耗媒质，因为这些问题的有关算符是复数或复函数，因而这些算符是非自伴的。这里重新定义内积，从而去掉这个限制条件。将自伴算符限制在实算符范围内的条件直接来自先前有关内积的定义。为此，将内积重新定义为确定泛函的方法确定泛函的方法那么限制条件立即被取消了。因此，内积定义的选择在某些情况下决定了一个算符是否自伴。上式定义的内积通常叫做对称积，而前面定义的内积通常称为希尔伯特（Hilbert）空间中的内积。在此定义下，微分方程 定义的边值问题对应的泛函式可写成确定泛函的方法确定泛函的方法对于包含非齐次边界条件的问题，修正变分原理仍保持正确，其泛函可写成上式称为广义变分原理。我们可用上式列出多

19、数电磁学边值问题的计算公式。定义对称内积的直接结果是：对于复数问题，用广义变分原理推导出的泛函是复数量；而用前面变分原理推导出的泛函始终是实数，并且，它们通常对应一个物理量（例如功率、功和能量）。确定泛函的方法确定泛函的方法显然，对于复泛函，谈论极小值、极大值、甚至拐点都是毫无意义的。描述条件F=0的恰当词可能是“驻定的”或“驻定性”。用内积的新定义，我们可推导出泊松方程以及下列边界条件所定义的问题的泛函：=p，在S1上 ，在S2上确定泛函的方法确定泛函的方法即使和是复数，上式也成立。对于矢量，相应的新内积定义为应用这个定义，矢量波动方程所定义的矢量问题的泛函为：里兹变分法简介里兹变分法简介前

20、述表明在电磁场和微波技术中常用的微分方程可由等价泛函的变分问题描述。以后的任务就是求这些泛函的极值。这里介绍一种求泛函极值的里兹方法。里兹方法是变分方法中最常用的一个基本方法，它的基本想法如下：设我们要求在某些限制条件下泛函J(u)的极值，并设u1为取极值时的函数。里兹法的基本概念就是将u1的问题转化成求很多变量的函数极值问题。为了阐明这种方法，现在就用泊松方程为例来说明。里兹变分法简介里兹变分法简介 对于二维泊松方程，它的等价泛函为里兹方法是令式中ak为待定常数，若取第n次近似，即取上式的前n项，则有里兹变分法简介里兹变分法简介 式中里兹变分法简介里兹变分法简介从上式看到，J(un)为各个a

21、系数的函数。为使泛函取极值，应有由此得出下面的方程组里兹变分法简介里兹变分法简介应该指出，各个函数k的选择应满足场域的边界条件。例：用里兹法分析圆柱波导管用里兹法求解圆柱波导管TM波的轴对称最低模式的截止波长和场分布。波导中TM波的纵向电场Ez应满足下面的方程它的等价泛函为里兹变分法简介里兹变分法简介对于圆柱坐标系统并且Ez具有轴对称性，则里兹变分法简介里兹变分法简介当用里兹法求解时，令显然函数1、2均满足r=a，Ez=0的边界条件。将上式代入Ez的泛函，并完成积分就有将J(Ez)分别对C1、C2求导并令之为零里兹变分法简介里兹变分法简介得到一个对于变量C1、C2 的齐次的线性代数方程组，有非

22、零解的条件是系数行列式为零，即由它可解出 。解答共有两个，较小的一个是5.7837/a2，我们取这个值，代回原代数方程组后可以求出里兹变分法简介里兹变分法简介这样就求出了近似的最低本征值和本征函数为根据微波技术理论，我们知道圆柱波导管TM波轴对称最低模式为TM01，它的特征值严格为 ，从上面的比较看到，用里兹方法的计算值近似程度是极高的。用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题下面来研究用有限无法求解任意截面形状的波导中波的传播问题。主要要求出波导中传播的各模式波的场分布和它们的截止波长。已知波在波导中传播时，场的纵向分量应满足的方程为边界条件为：对TE波，对TM波，用有限元法求解波导问题

23、用有限元法求解波导问题并且等效泛函为为求泛函的极值，试探函数的选择，对TM波应满足边界l上u=0的条件；对TE波则不受任何限制。当用有限元法求解时，先将波导截面代表的场域部分成许多单元、如图所示。各个单元和它们的顶点都给予编号。于是泛函J就可写成各个单元对它贡献的和。用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题任意形状波导截面的单元剖分用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题设单元的总数为l，就可写出如果单元足够的小，就可用线性插值函数来表示单元内u的变化关系。将单元的三个顶点处的场值和坐标代入上式解出各个后再代回原式，就可得到用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题 为了简化分析，令

24、Nk一般称为形状函数。这样就有将上式中的u代入式J(u)，就使泛函J成为场域内各节点u值的函数，设节点总数有n个，即是为使泛函取极值，应有用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题这个式子左边可用一个下列的方程表示式中系数 是由各单元求出的同样下标的局部K系数连加而成。现在转到上式右端的积分，首先来求对et元的该项积分，即是求积分用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题当p=i，则上述积分就成为用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题上面的公式写成以下形式当p=j和p=m时，同样可求出用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题如果单元et的i，j，m相应的总体编号分别为p，g，r，

25、则对其它以总体编号p为顶点的单元也可得出类似的公式，当然求出的局部 系数第二下标将随单元的不同而不同。这样，上式就可写成下面的形式用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题式中系数 是由各个单元求出的同样下标的局部B系数组合而成。最后得到式中用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题由于K，B两矩阵中各元是根据各个三角元求出的局部K，B系数矩阵中相同下标的元组成，而局部K，B系数矩阵是对称的，所以K，B矩阵也是对称的，也可以证明K，B矩阵是正定阵。编制用有限元法计算波导问题的程序输入节点总数为L1，待求场值的节点数为L0，单元总数为JE0，各节点坐标值，各个三角形i，j，m相应的整体编号用

26、有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题对TM波将边界节点置零NE=1（NE为某个三角元的编号）求NE三角形的各个b，c值当i(NE)=p，j(NE)=q，m(NE)=r时，求NE三角形的面积和九个局部K系数和九个局部B系数用有限元法求解波导问题用有限元法求解波导问题将同样下标的局部K，B系数连加形成总体K，B系数NEJE0?调用广义特征值问题各个子程序求各模式波的kkp，u是打印输出否以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法三角形上的三点线性插值是一种简单的插值方法，只是当单元取得足够小时才有较好的计算精度。为使精度提高，可以采用高次多项式作为插值函数，下面就以拉普

27、拉斯方程为例来说明它的求解过程。拉普拉斯方程的等价修正的泛函为这时试探函数u的选取不受边界条件的限制。以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法当采用有限元法求解时，仍先将讨论的场域剖分成很多三角形单元。但现在括值函数采用高次多项式。因为试探函数u不需要满足边界，所以可以来用完整的N阶多项式比较方便，即令以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法为了求上式中的M个ci常数，就需要在三角形单元上选M个节点，根据每个节点，例如j点的坐标(xj，yj)和电位uj，代入式后就得到M个方程，根据这M个方程就能解出M个ci值。M个节点的配置一般是在三角形每个边上

28、等间隔配N+1个点(包括三角形的顶点)，其余M-3N个点处于三角形的内部。下图示出了在N=2和N=3时三角形上M个节点的配置情况。当N=3时，三角形内部节点选在三角形的重心处。以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法当N=2，N=3情况时三角形上节点配置以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法由此有引入三个矩阵以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法就可将上式写成下面的矩阵方程有此有如将场域剖分成R个三角形，则原泛函可写成以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法式中 代表三角形单元et在l边上的长度

29、。如果单元et没有边处在l上，则式中的线积分为零。将u代入式中，就得到泛函J成为场域内各节点电位 的函数。w为场域内节点的总数，即有 为使泛函取极值，应有以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法下面先来求积分内的各项。以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法又根据右图，设et元在l边界上的线段的外法线与x轴的夹角为，则在这线段上的 为边界上的法向以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法将上面诸式代入 就得式中以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法对每个单元按上面的方法同样可求出类似的公式，代入 后

30、，可以得到下面形式的方程以高次多项式为插值函数的有限元法以高次多项式为插值函数的有限元法式中各个D值是由各单元求出同样下标的局部D系数连加而成。在上式中令p1，2，w，就得到一个变量从u1uw的线性代数方程组，根据它可以求出场域内各节点的电位值。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开在电磁学中，尤其在电磁散射和辐射领域中，许多问题都涉及到开放的无限区域。当单独使用有限元方法时，它不能直接加上索末菲辐射条件，而要求将离散区域扩展到远离源区处才可强加辐射条件。这是该方法的主要缺点。为此，最近的工作一方面集中于使用各种渐进条件或吸收边界条件，以减小离散区域；另一方面，人们发展了如有限元有限元边界积

31、分边界积分、有限元和有限元和本征函数展开本征函数展开等一些新的混合方法。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开本征函数是一套满足某种边界条件的微分方程的齐次解。它们的展开式可表达相应的非齐次微分方程在相同边界条件下具有任何源函数的解（在无源区）。本征函数展开是经典边值问题的传统分析方法，它已被广泛用来求解电磁问题的解。在数值分析方面，通常将它与其它数值方法结合使用以建立无界外部解的模型。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开波导中的不连续性波导中的不连续性1.平行板波导的不连续性平行板波导的不连续性考虑图示平行板波导中的不连续性问题，假设入射波是Hz极化的。有限元和本征函数展开有限元和本征

32、函数展开因为在z方向结构均匀，所以，散射场和总场也只有z分量。现在让我们考虑虚构面AB处的场，它可写为入射场和来自不连续处反射场的叠加。因为这个虚构面现在放在紧靠不连续处，反射场不能仅用主模表示，更确切地说，它是由主模和由不连续处激励的许多高次模叠加而成。因此，上式中am是展开系数，hm(y)和m由下列式子给出有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开其中，b表示两块板之间的距离。因为由 给出的每个模是满足Hz边界条件的亥姆霍兹方程的齐次解，所以，它们的叠加也满足亥姆霍兹方程和所需要的边若若有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开界条件。因为这些模组成一套完备的本征函数，所以，它们可以表达波导内

33、的任意Hz分布。利用正交关系我们获得用场Hz表示的展开系数am的表达式其中，x1表示平面AB的位置。由此有有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开对x取偏导数得到上式可写成第三类广义边界条件的形式在x x1处是由下式给出的一个边界算子有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开q由下式给出类似地，在虚构的CD面上的场可表达为其中，hm(y)和m也由前述式子给出。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开展开系数bm的表达式为且在x x2处利用上述得到的边界条件，在虚构边界内场的边值问题可唯一确定。由于是一个自伴算子，所以，该问题的泛函由下式给出有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开将和q的表达式代

34、入上式，我们可以得到适合于有限元解的泛函。一旦求出平面AB和CD上的场，其它参数（如每个模的幅度，以及反射系数和传输系数）可使用am和bm容易地计算出来。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开2.矩形波导的不连续性矩形波导的不连续性平行板波导的研究方法可直接推广到矩形波导和圆波导等其它结构的波导。众所周知，在均匀矩形波导中，有两套本征模（本征函数）满足亥姆霍兹方程和适当的边界条件，其中TEmn模由下式给出有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开另一套叫TMmn模，由下式给出若若这两套模式组成一套完备基函数，它可表达波导中的有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开任何麦克斯韦场。现在，让我们考

35、虑图示具有障碍物的矩形波导问题。具有障碍物的矩形波导有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开假设入射波沿z方向传播，那么，虚构面S1上的场可表示为入射场和不连续处产生的反射场的叠加：其中，amn和bmn是常数，且有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开Nmn是由下式给出的归一化因子不难证明，对上面定义的 和 ，有下列正交关系：有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开因此，可以确定常数amn和bmn为了导出S1上的边界条件，我们对E（x,y,z）取旋度，有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开然后用 叉乘它，得到将amn和bmn代入上式，得到在z=z1处其中有限元和本征函数展开有限元和本征函数展

36、开类似地，在虚构面S2上的场可展开为其中有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开由此可导出边界条件其中P(E)仍由前式给出，z2表示平面S2的位置。注意，如果波导截面在S2处与S1处的尺寸不同，应使用a和b的新参数。虚构面S1与S2处的边界条件导出后，由波导壁、S1和S2围成区域中场的边值问题就唯一地确定了。该问题的泛函由下式给出在z=z2处有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开将P(E)和Uinc代入上式，我们得到只用E表示的泛函。然后，使用矢量单元离散上式给出的泛函，即可求得所需要的数值场解。一旦得到S1和S2处的场，我们可以确定amn和bmn等常数，从而求出每个反射模和传输模的幅度，由

37、此可确定反射系数和传输系数。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开开放区域散射开放区域散射前述本征函数展开方法的基本思想也可用于开放区域的散射分析。现以图示二维问题为例说明该方法的具体应用。散射体二维散射问题有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开设是一个大得足以包括散射体的虚构圆形边界。在上及其外边，外行散射场可以展开为式中，表示第二类n阶汉克尔函数，a是的半径。在展开式中，每个本征函数 都是齐次亥姆霍兹方程的解，且满足索末菲辐射条件。它们形成一套完备基函数，能表达任何外行场。有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开由正交关系 得由上式可得有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开上式可认为是第三类广义边界条件，它可写为其中它可直接应用在散射场公式中。对于总场公式，我们将sc-inc代入边界条件得到有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开上式边界条件唯一地确定了内场的边值问题，它的解可通过寻找下式给出的泛函的驻点而获得有限元和本征函数展开有限元和本征函数展开其中，对Ez极化，Ez，u=r，v=r；对Ez极化，Hz，u=r，v=r。该泛函可通过有限元方法离散，结果产生一个部分满秩、部分稀疏的矩阵方程，由该矩阵方程可解出上和内的场。一旦求出上的场，利用展开系数公式，我们可计算出外的散射场。