2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类含解析.pdf

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1、2023 届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 13 讲讲 破解破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题）1 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当9392(|)23abaln mln nbbmn取最小值时，椭圆C的离心率为()A2 23B45C32D152 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点设直线AP，BP

2、的斜率分别为m，n，则当239(3)(|)32aln mln nbmnmn取最小值时，椭圆C的离心率为()A2 23B45C32D153已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上与A，B不重合的动点，若直线PA，PB斜率之积为23，则椭圆C的离心率为()A33B23C53D634设A，B为椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，若1234k k ，则该椭圆的离心率为()A14B13C12D325已知双曲线22221(0,0)xyabab，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的

3、动点，直线PM，PN的斜率分别为1k，212(0)kk k，若12|kk的最小值为 2，则双曲线的离心率为()A2B52C32D326双曲线22221(0,0)xyabMab，N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM，PN斜率分别为1k，2k，若1214k k，则双曲线离心率为()A52B2C5D2 57双曲线22221(0,0)xyabab，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为1k、2k，若1254k k，则双曲线离心率为()A2B32C2D528设直线l与双曲线2222:1(0,0)xyCabab交于A，B两点，若M是线段AB

4、的中点，直线l与直线(OM O是坐标原点）的斜率的乘积等于 2，则此双曲线C的离心率为()A2B3C2D39 过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F作倾斜角为60的直线交双曲线右支于A，B两点，若5AFFB，则双曲线的离心率为()A65B3C2D4310已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(,0)F c，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AFc，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1，3B(1,2)C 2，2)D(2,)11已知斜率为12的直线l分别交双曲线22221(0,0)xyabab的左、右支

5、于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点O为坐标原点）的斜率为 2，则双曲线的离心率为()A3B2C2D512已知椭圆2222:1(0)xyCabab上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为14，则椭圆C的离心率为()A14B12C32D15413如图，已知0(P x，0)y，Q是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上关于原点对称的两点，点(,)M x y为双曲线C上异于P，Q且不与P，Q关于坐标轴对称的任意一点，若直线PM，QM的斜率之积为34，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为()A2B32C7D7214已知

6、A，B分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点，P，Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若14mn，则该椭圆的离心率为()A63B22C32D2315已知A、B分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点，M、N是椭圆C上两点关于x轴对称，若AM、BN的斜率之积为49，则椭圆C的离心率是()A63B53C5 39D5 29二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题）16 椭圆22221(0)xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是17已知F是椭圆C的一个焦点

7、，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD ，则C的离心率为18如图，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且3BFFD ，则椭圆C的离心率为19 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且20BFDF，则椭圆C的离心率为20设椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若直线PA与PB的斜率之积为12，则椭圆的离心率为21已知双曲线22221(0,0)xyabab，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率

8、分别为1k，212(0)kk k，若12|kk的最小值为1，则双曲线的离心率为22在平面直角坐标系xOy中，已知点M是双曲线22221(0,0)xyabab上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若13OMlkk，则双曲线离心率e等于23 过双曲线22221(0,0)xyabab右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为24经过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为25已知双曲线2222:1xyCab，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且3AFBF，则双曲线

9、C的离心率的最小值为第第 13 讲讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题）1 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当9392(|)23abaln mln nbbmn取最小值时，椭圆C的离心率为()A2 23B45C32D15【解答】解：根据题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设0(P x，0)y则2222002()baxya，而00ymxa，00ynxa，所以22

10、02220ybmnxaa，又229392392(|)9233()abababaln mln nlnbbbmnabba 3229()3()3()3baaalnabbb，令1atb，则322()3393f ttttlnt，所以3222639(3)(23)()tttttf ttt，所以当3t 时，()f t最小，即3ab，所以32 21()3bea，故选：A2已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的 一 点 设 直 线AP，BP的 斜 率 分 别 为m，n，则 当239(3)(|)32aln mln nbmnmn取最小值时，椭圆C的离心率为()A2

11、23B45C32D15【解答】解：(,0)Aa，(,0)B a，设0(P x，0)y，则2222002()byaxa，则00ynxa，00ymxa，2202220ybmnxaa，则222322222392392(3)(|)(3)()3()3932323aaaabaaaaln mln nlnlnbmnmnbbbabbbb令322()3393f ttttlnt，(1)t，322292639(3)(23)()263tttttf tttttt，故3t 时，()f t取最小值，椭圆C的离心率为222 213ba故选：A3已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右顶点分别为A，B，点P是椭圆C上与A

12、，B不重合的动点，若直线PA，PB斜率之积为23，则椭圆C的离心率为()A33B23C53D63【解答】解：由题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设0(P x，0)y，则由P在椭圆上可得2222002axyba，直线PA与PB的斜率之积为23，20002200023yyyxa xaxa，把代入化简可得2223ba，22231133cbeaa，故选：A4设A，B为椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，若1234k k ，则该椭圆的离心率为()A14B13C12D32【解答】解：由题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设0(

13、P x，0)y，则由P在椭圆上可得2222002axyba，直线AP与BP的斜率之积为34，2022034yxa，把代入化简可得2234ba，2214ca，离心率12e 故选：C5已知双曲线22221(0,0)xyabab，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为1k，212(0)kk k，若12|kk的最小值为 2，则双曲线的离心率为()A2B52C32D32【解答】解：设(,)M p q，(,)Npq，(,)P m n，22221pqab，22221mnab，两式相减，得222222pmqnab，222222qnbpma，22212222qnqnq

14、nbk kpmpmpma，2121222|2|2bbkkkkaa，当且仅当12|kk时取等号，又当12kk时，P，N，M三点共线不符合条件，当12kk 时取等号，12|kk的最小值为 2，22ba，ab，离心率2e 故选：A6双曲线22221(0,0)xyabMab，N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM，PN斜率分别为1k，2k，若1214k k，则双曲线离心率为()A52B2C5D2 5【解答】解：由题意，设1(M x，1)y，2(P x，2)y，则1(Nx，1)y2221212122212121PMPNyyyyyykkxxxxxx，2211221xyab，22222

15、21xyab，两式相减可得22222112220yyxxba，即2222122221yybxxa，14PMPNkk，2214ba，24ab，2252cabeaa 故选：A7双曲线22221(0,0)xyabab，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为1k、2k，若1254k k，则双曲线离心率为()A2B32C2D52【解答】解：由题意，设1(M x，1)y，2(P x，2)y，则1(Nx，1)y2221212122212121PMPNyyyyyykkxxxxxx，2211221xyab，2222221xyab，两式相减可得2222122221yybx

16、xa54PMPNkk，2254ba，52ba，2232caba，32cea 故选：B8设直线l与双曲线2222:1(0,0)xyCabab交于A，B两点，若M是线段AB的中点，直线l与直线(OM O是坐标原点）的斜率的乘积等于 2，则此双曲线C的离心率为()A2B3C2D3【解答】解：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，M是线段AB的中点，12(2xxM，12)2yy，把1(A x，1)y，2(B x，2)y分别代入双曲线2222:1xyCab，得22112222222211xyabxyab，2212121212()()()()0bxxxxayyyy，直线l的斜率2121212()()b

17、xxkayy，12(2xxM，12)2yy，(0,0)O，OM的斜率1212OMyykxx，l与OM的斜率的乘积等于 2，221212221212()2()bxxyybayyxxa，2222aca，此双曲线的离心率3cea故选：D9 过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点F作倾斜角为60的直线交双曲线右支于A，B两点，若5AFFB，则双曲线的离心率为()A65B3C2D43【解答】解：设双曲线C的左焦点为F，连结AF，BF，设|BFt，则|5AFt，所以|25AFat，|2BFat 在FF A 中，由余弦定理得222(25)(5)(2)2(5)2cos120attctc，222(2)

18、(2)22cos60attctc ，化简消去t，可得1612ac，解得43cea故选：D10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(,0)F c，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AFc，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1，3B(1,2)C 2，2)D(2,)【解答】解：设AOF，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，且|AFc，2AFO，BOM，若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点，需保证BOMAFO BOMAFO，则2，3根据双曲线的渐近线为byxa，则tanba，3ba根据双曲线C的离

19、心率21()132cbeaa，根据双曲线C的离心率1e，12e 故选：B11已知斜率为12的直线l分别交双曲线22221(0,0)xyabab的左、右支于点M，N，线段MN的中点为P，若OP（点O为坐标原点）的斜率为 2，则双曲线的离心率为()A3B2C2D5【解答】解：设1(M x，1)y，2(N x，2)y，0(P x，0)y，则212112yyxx，12012022xxxyyy，因为OP（点O为坐标原点）的斜率为 2，所以002yx，所以12122yyxx，因为1(M x，1)y，2(N x，2)y在双曲线22221(0,0)xyabab上，所以2222112222221,1xyxyab

20、ab，两式相减得2222212122xxyyab，所以22221212122221221()()1(1)()yyyyyybaxxxxxx，所以22ab，所以222aca，所以222,2ca ca，所以离心率为2cea，故选：B12已知椭圆2222:1(0)xyCabab上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为14，则椭圆C的离心率为()A14B12C32D154【解答】解：如图，设0(A x，0)y，1(M x，1)y，1(Nx，1)y，2200221xyab，2211221xyab，两式相减得：22221010220 xxyyab，即222

21、1022210yybxxa 直线AM，AN斜率之积为14，222102221014yybxxa ，2ab椭圆的离心率22232cabeaa故选：C13如图，已知0(P x，0)y，Q是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上关于原点对称的两点，点(,)M x y为双曲线C上异于P，Q且不与P，Q关于坐标轴对称的任意一点，若直线PM，QM的斜率之积为34，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为()A2B32C7D72【解答】解：设(,)M x y，0(P x，0)y，则0(Qx，0)y，则00PMyykxx，00QMyykxx，由题意知222202222202222200(

22、1)(1)34PMQMxxbbyybaakkxxxxa，所以22712bea，故选：D14已知A，B分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点，P，Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若14mn，则该椭圆的离心率为()A63B22C32D23【解答】解：由题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设0(P x，0)y，则0(Q x，0)y，因 为P在 椭 圆 上，所 以2200221xyab，所以2222002axyba由题意22000222000yyybmnxa xaxaa，所以可得2214ba，所以椭圆的离心率22312cbeaa，故选：C15已知A

23、、B分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点，M、N是椭圆C上两点关于x轴对称，若AM、BN的斜率之积为49，则椭圆C的离心率是()A63B53C5 39D5 29【解答】解：由已知M、N两点关于x轴对称，设0(M x，0)y，则0(N x，0)y，且2200221xyab，即2222002()byaxa又(,0)Aa，(,0)B a，故AM、BN的斜率之积为2200012222000yyybk kxa xaaxa，故2249ba，所以椭圆C离心率是22513cbeaa故选：B二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题）16 椭圆22221(0)xyabab的右焦点F，其右准线与

24、x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是1,1)2【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而22|abFAccc，|(PFac，ac于2(bacc，ac，即222accbacc，222222accacacacc1112caccaa或，又(0,1)e，故1,1)2e故答案为：1,1)217已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD ，则C的离心率为33【解答】解：如图，22|BFbca，作1DDy轴于点1D，则由2BFFD ，得1|2|3OFBFD

25、DBD，所以，133|22DDOFc，即32Dcx，由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由|2|BFFD，得232caaa，223ac，解得33cea，故答案为：3318如图，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且3BFFD ，则椭圆C的离心率为22【解答】解：如图，22BFbca，作1DDy轴于点1D，则由3BFFD 得：134OFBFDDBD ，所以，144|33DDOFc，即43Dxc，由椭圆的第二定义得2244|()33acFDecaca，又由|3|BFFD ，得243()3caaa，222ac，解得22cea，故答案为：2

26、219 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且20BFDF，则椭圆C的离心率为33【解答】解：如图，22|BFbca，作1DDy轴于点1D，则由20BFDF，得1|2|3OFBFDDBD，所以，133|22DDOFc，即32Dcx，由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由|2|BFFD，得232caaa，223ac，解得33cea，故答案为：3320设椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若直线PA与PB的斜率之积为12，则椭圆的离心率为22【解答】解：设点P的坐标为0(x

27、，0)y由题意，有2200221xyab，由(,0)Aa，(,0)B a，得00APykxa，00BPykxa由12APBPkk，可得222002xay，代入并整理得2220(2)0aby由于00y，故222ab，于是222212abea，椭圆的离心率22e 故答案为：2221已知双曲线22221(0,0)xyabab，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为1k，212(0)kk k，若12|kk的最小值为1，则双曲线的离心率为52【解答】解：由题意，可设点(,)M p q，(,)Npq，(,)P s t22221pqab，且22221stab两式相

28、减得222222tqbspa再由斜率公式得：22212222tqbk kspa122|bkka根据12|kk的最小值为 1，可知21ba，52cea，故答案为：5222在平面直角坐标系xOy中，已知点M是双曲线22221(0,0)xyabab上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若13OMlkk，则双曲线离心率e等于2 33【解答】解：设0(M x，0)y，则00OMykx，由于双曲线在M点的切线方程为：00221xxyyab，即在M点切线的斜率20120b xka y，因为13OMlkk，所以20020013yb xxa y，所以223ab，又222bca，所以2243ac，可得离

29、心率2 33cea，故答案为：2 3323 过双曲线22221(0,0)xyabab右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为(1,5)【解答】解：由题意过双曲线22221xyab0a，0b)右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率2ba，1e 2214cabeaa，15e，双曲线离心率的取值范围为(1,5)故答案为：(1,5)24经过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为2【解答】解：经过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，倾斜角为

30、60的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线byxa平行，tan603ba，即3ba，222caba，2cea故答案为：225已知双曲线2222:1xyCab，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且3AFBF，则双曲线C的离心率的最小值为2【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，右焦点(,0)F c，3AFBF，123()cxcx，2132xxc1xa，2xa，2134xxa，24ca，2cea，双曲线离心率的最小值为 2，故答案为：2第第 14 讲讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结

31、设点设线技巧之设线技巧归纳总结一解答题（共一解答题（共 16 小题）小题）1已知椭圆C的两个焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，短轴的两个端点分别是1B、2B（1）若112FB B为等边三角形，求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的短轴长为 2，过点2F的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过点1F，求直线l的方程2已知动圆过定点(4,0)A，且在y轴上截得的弦MN的长为 8（）求动圆圆心的轨迹C的方程；（）已知点(1,0)B，设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点3设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为

32、B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点(0,1)N且(OPMN O为原点），求直线PB的斜率4已知椭圆221:12yCx，抛物线22:2(0)Cypx p，点(1,0)A，斜率为k的直线1l交抛物线于B、C两点，且12ACCB，经过点C的斜率为12k的直线2l与椭圆相交于P、Q两点（1）若抛物线的准线经过点A，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p，使得四边形APBQ的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p的值；若不存在，请说明理由5已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1

33、)P，左右焦点分别为1F，2F，且线段1PF与y轴的交点Q恰好为线段1PF的中点，O为坐标原点（1）求椭圆C的离心率；（2）与直线1PF的斜率相同的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求当AOB的面积最大时直线l的方程6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过点2(,1)2Aa（1）求椭圆C的方程；（2）直线:l ykxm与椭圆C交于P，Q两点（不同于点)A，记直线PA，QA的斜率分别为1k，2k，试判断是否存在定值k，使当m变化时1214k k 总成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由7如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2P，离心率12e（

34、）求椭圆C的标准方程；（）设AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点)P，直线AB与直线:4l x 相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为1k，2k，3k，求证：1k，3k，2k成等差数列8已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为(,0)Fc，离心率为33，点M在椭圆上，直线FM的斜率为33，直线FM被圆2212xy截得的线段的长为c（1）求椭圆的方程；（2）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线(OP O为原点）的斜率的取值范围9已知抛物线2:2(0)ypx p的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足(2FP ，2 3)（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点(3,2)

35、A的直线交抛物线于M，N两点，经过定点(3,6)B和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由10设直线l与抛物线24yx相交于不同两点A、B，与圆222(5)(0)xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点（1）若AOB是正三角形(O为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若4r，求直线l的方程；（3）试对(0,)r进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数（只需直接写出结果）11如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab与圆22:20E xyy在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点1F，2F都在圆E上，且线段1PF为圆E的直径（1）求椭圆C的

36、方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且直线l与y轴相交于D点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，若1OM OD ，求|OMAB的最大值12已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，椭圆上一点3(1,)2P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴（1）求椭圆C的方程；（2）与抛物线24yx相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值13已知圆C的圆心C在直线2yx上，且与直线280 xy相切于点(2,3)（1）求圆C的方程；（2）过点(4,0)P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M

37、，直线l与直线1:530lxy的交点为N判断|PMPN是否为定值若是，求出这个定值，若不是，说明理由14 下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整（1）圆222:O xyr上点0(M x，0)y处的切线方程为理由如下：（2）椭圆22221(0)xyabab上一点0(x，0)y处的切线方程为00221x xy yab；（3）(,)P m n是椭圆22:13xLy外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线AB的方程是这是因为在1(A x，1)y，2(B x，2)y两点处，椭圆L的切线方程为1113x xy y和22

38、13x xy y两切线都过P点，所以得到了1113x my n和2213x my n，由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程；（4）问题（3）中两切线PA，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()ynk xm，由22()33ynk xmxy，得222(13)6()3()30kxk nkm xnkm，化简得0得222(3)210mxmnkn 若PAPB，则由这个方程可知P点一定在一个圆上，这个圆的方程为（5）抛物线22(0)ypx p上一点0(x，0)y处的切线方程为00()y yp xx；（6）抛物线2:4C xy，过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条

39、切线1l和2l，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则直线1l的方程为112()x xyy直线2l的方程为222()x xyy，设1l和2l相交于点M 则点M在以线段AB为直径的圆上；点M在抛物线C的准线上15如图 1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为22143xy，A，B为椭圆的左右顶点，1F、2F是左、右焦点（1）已知椭圆内有一点(1,1)P，在椭圆上有一动点M，则求2|MPMF的最大值和最小值分别是多少？（2）如图 1，若直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设过点M垂直于PB的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标（3）如

40、图 2，若直线l过左焦点1F交椭圆于A，B两点，直线MA，MB分别交直线4x 于C，D两点，求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点（4）如图 3，若M，N是椭圆E上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M，N外的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为PMPNkk为定值（5）如图 4，若动直线:l ykxm与椭圆E有且只有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且1FMl，2F Nl，求四边形12FMNF面积S的最大值（6）如图 5，若过点2F且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点试探究：线段2OF上是否存在点(,0)M m使得QP MPPQ MQ ，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，

41、说明理由（7）如图 6，若点P为抛物线2:4D yx上的动点，设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的APM？点M在椭圆C上；点O为APM的重心，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由16已知直线:2l yx与抛物线21:4C yx交于(AA x，)Ay、(0,0)O两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点(BB x，)By如图所示（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线214yx的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由第第 1

42、4 讲讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结设点设线技巧之设线技巧归纳总结参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 16 小题）小题）1已知椭圆C的两个焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，短轴的两个端点分别是1B、2B（1）若112FB B为等边三角形，求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的短轴长为 2，过点2F的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过点1F，求直线l的方程【解答】解：（1）椭圆C的两个焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，短轴的两个端点分别是1B、2B，112FB B为等边三角形，22221abcabc，解得2241,33ab，椭圆C的

43、标准方程为2214133xy（2）椭圆C的短轴长为 2，椭圆C的两个焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，椭圆C的标准方程为2212xy，过点2(1,0)F直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过点1F，当直线l的斜率k不存在时，直线l为1x，此时以PQ为直径的圆不经过点1F，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x由22(1)12yk xxy，得2222(21)42(1)0kxk xk设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则2122421kxxk，21222(1)21kx xk，11(1FPx，1)y，12(1FQx，2)y，过点2F的直线l与椭圆C

44、相交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过点1F，11F PFQ，110FP FQ ，21212121212(1)(1)()1(1)(1)xxy yx xxxkxx 2221212(1)(1)()1kx xkxxk2271021kk，解得217k，即77k 故直线l的方程为710 xy 或710 xy 2已知动圆过定点(4,0)A，且在y轴上截得的弦MN的长为 8（）求动圆圆心的轨迹C的方程；（）已知点(1,0)B，设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点【解答】解：（）设圆心(C x，)(0)y x，过点C作CEy轴，垂足为E，则1|2MEMN

45、，2222|CACMMEEC，2222(4)4xyx，化为28yx当0 x 时，也满足上式动圆圆心的轨迹C的方程为28yx（）设1(P x，1)y，2(Q x，2)y由题意可知120yy，212110.8y yyx，2228yxx轴是PBQ的角平分线，PBQBkk，121211yyxx，1222121188yyyy，化为1280y y直线PQ的方程为211121()yyyyxxxx，21112221()88yyyyxxyy，化为211218()8yyyxyy，化为2211211()()8y yyy yyxy，12()88y yyx，令0y，则1x，直线PQ过定点(1,0)3设椭圆22221(0

46、)xyabab的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点(0,1)N且(OPMN O为原点），求直线PB的斜率【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2b，1c，所以，椭圆的方程为22154xy（2）由题意，设(PP x，)(0)Ppyx，(MM x，0)，设直线PB的斜率为(0)k k，又(0,2)B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得22(45)200kxkx，可得22045Pkxk，代入

47、2ykx得228 1045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk，在2ykx中，令0y，得2Mxk，即(0,1)N，所以直线MN的斜率为2k，由OPMN，得245()1102kkk ，化简得2245k，从而2 305k 所以，直线PB的斜率为2 305或2 3054已知椭圆221:12yCx，抛物线22:2(0)Cypx p，点(1,0)A，斜率为k的直线1l交抛物线于B、C两点，且12ACCB，经过点C的斜率为12k的直线2l与椭圆相交于P、Q两点（1）若抛物线的准线经过点A，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p，使得四边形APBQ的面积取得最大值？若存在，请求出这个最

48、大值及p的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的准线方程2px ，焦点坐标(,0)2p，则1,22pp，抛物线的标准方程为24yx，焦点(1,0)（2）设1(B x，1)y，2(C x，2)y，3(P x，3)y，4(Q x，4)y，由12ACCB，得点(1,0)A 在直线1l上，且1211121312yyy，且四边形的面积33|2APQSSPQ d1233:(1),:()2klyk xlyxxy，由2(1)2yk xypx，得2220pyypk，则222480,2pppkk，12122,2pyyy ypk，因为123yy，所以22222222222232113,(,),32338

49、22yyypyp xCykppx，由1l，2l的斜率分别为1,2kk，由图知2l必过点(3,0)，可设2:(3)2klyx，且2231413ACyykk，故 直 线223:(3)8ylyx，令283ty，则直线2:3lxty，代入椭圆方程2212yx，得22(12)12160tyty，2343422121616(4)0,1212ttyyy ytt，22234216(4)|1|112tPQtyytt，点A到2l的距离241dt，四边形的面积222222428282412 212 22 212(28)96 28tttSttt，当且仅当21764,251tp时，面积最大为2 25已知椭圆2222:1

50、(0)xyCabab过点(2,1)P，左右焦点分别为1F，2F，且线段1PF与y轴的交点Q恰好为线段1PF的中点，O为坐标原点（1）求椭圆C的离心率；（2）与直线1PF的斜率相同的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求当AOB的面积最大时直线l的方程【解答】解：（1）由椭圆过点(2,1)P，则22211ab，连接2PF，由Q为线段1PF的中点，O为线段12F F的中点，则212PFF F，则2c，由222ab，由得2a，2b，则椭圆的离心率22cea；（2）由（1）椭圆C与方程22142xy，直线l的斜率212|12|42 2PFkFF，不妨设直线l的方程24yxm，设1(A x，1)y，2(B