2023届高考数学专项复习利用均值不等式求圆锥曲线中的最值含答案.pdf

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1、2023届高考数学专项复习利用均值不等式求圆锥曲线中的最值2023届高考数学专项复习利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中

2、PF1+PF2为定值，可求 PF1PF2的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0，F1，F2是椭圆的左、右焦点，点A 1,32在椭圆上，点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32，点C为椭圆上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，

3、O为坐标原点，记OMN，PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值【例【例2 2】已知椭圆C：y2a2+x2b2=1 ab0的离心率为32，且过点 1,2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l被圆x2+y2=a2截得的弦长为2 6，设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值.(二二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例【例3 3】已知圆C过定点A(0，

4、p)(p0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n，MAN=.(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；(2)求mn+nm的最大值.(三三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例【例4 4】(20222022届陕西省汉中市高三上学期质量检测届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)且经过点P(

5、3,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求AOB面积的最大值(O为坐标原点)(四四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例【例5 5】(20222022届湖南省长沙市高三上学期届湖南省长沙市高三上学期1111月月考月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e=32，Q2,22为椭圆上一点.直线l不经过原点O，且与椭圆交于A x1,y1,B x2,y2两点.(1)求椭圆的方程；(2)求OAB面积的最大值，并

6、求当OAB面积最大时 AB的取值范围.(五五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例【例6 6】(20222022届福建省福州第十八中学高三上学期考试届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值(六六)与数量积有关的最值问题与数量积有关的最值问题求解

7、与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例【例7 7】设椭圆x25+y24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求PA PB 的最小值三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届山东省青岛市高三上学期检测届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆C1:x2+y2+2x-454=0内切，且与圆C2:x2+y2-2x+34=0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心C2且与x轴垂直的直线交轨迹E于A,M两

8、个不同的点，连接AC2交轨迹E于点B.(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；(ii)若过圆心C1的直线交轨迹E于D,G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值3.(20232023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C1:x2a2+y2b2=1 ab0过点

9、1,32，抛物线C2:y2=2px p0(1)若抛物线C2的焦点恰为椭圆C1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为A，过A但不经过原点的直线l交椭圆C1于B，交抛物线C2于M，且AM=MB，求p的最大值，并求出此时直线l的斜率4.平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2 6，过焦点的最短弦长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A,B两点，P为椭圆上异于A,B的点，求PAB的面积的最大值.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C与直线x=-1相切圆心C的轨迹记为曲线(1)求曲线的方程；(2)设A,B为曲线上的两点

10、，记AB中点为M，过M作AB的垂线交x轴于N求xN-xM；当 AB=10时，求xN的最大值6.已知点F1、F2分别为椭圆:x22+y2=1的左右焦点，直线l:y=kx+t与椭圆有且仅有一个公共点，直线F1Ml,F2Nl，垂足分别为点M、N.(1)求证：t2=2k2+1；(2)求证：F1M F2N 为定值，并求出该定值；(3)求 OM+ON OM-ON 的最大值.7.(20222022届广东省佛山市高三上学期届广东省佛山市高三上学期1212月模拟月模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且点P 2,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A

11、,B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上.求AOB面积的最大值.8.(20222022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆:x2a2+y2b2=1 ab0的上顶点为 B 0,1，过点2,0且与x轴垂直的直线被截得的线段长为2 33.(1)求椭圆的标准方程(2)设直线l1交椭圆于异于点B的P,Q两点，以PQ为直径的圆经过点B,线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为(x0,0)，求x0的取值范围.9.(20222022届河北省高三上学期届河北省高三上学期1212月教学质量监测月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-1,0，F21,0，点P

12、满足 PF1+PF2=2 2，点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)不过F1的直线l与C交于AB两点，若直线l的斜率是直线AF1BF1斜率的等差中项，直线AB和线段AB的垂直平分线与y轴分别交于PQ，求 PQ的最小值.10.已知两圆C1:(x-2)2+y2=54,C2:(x+2)2+y2=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点A 3,0的直线与曲线C交于P,Q两点.P关于x轴的对称点为R，求ARQ面积的最大值.11.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a0)的离心率为22，分别过左、右焦点F1，F2作两条平行直线l1和l2.(1)求l1和

13、l2之间距离的最大值；(2)设l1与C的一个交点为A，l2与C的一个交点为B，且A，B位于x轴同侧，求四边形AF1F2B面积的最大值.12.(20222022届广西玉林市、贵港市高三届广西玉林市、贵港市高三 1212月模拟月模拟)设椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)过M 1,32，N3,12两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由13.(20222022届上海市青浦区高三一模届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y2=x.(1)过抛

14、物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求OA OB 的值(其中O为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x0,y0，分别作两条直线交抛物线于另外两点P xp,ypQ xQ,yQ，交直线x=-1于A1-1,1B1-1,-1两点，求证：ypyQ为常数(3)已知点D 1,1，在抛物线上是否存在异于点D的两个不同点MN，使得DMMN?若存在，求N点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.利用均值不等式求圆锥曲线中的最值利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、一、考情分析考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中

15、利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中 PF1+PF2为定值，可求 PF1PF2的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例【例1 1】(20232023届湖北省荆荆宜三校高三上学期届湖北省

16、荆荆宜三校高三上学期9 9月联考月联考)设椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0，F1，F2是椭圆的左、右焦点，点A 1,32在椭圆上，点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32，点C为椭圆上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记OMN，PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值【解析】(1)因为点A 1,32在椭圆上，所以1a2+34b2=1，因为点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3，所以c=3，即a2-b2=c2=3，由解得a2=4，b2=1，故椭圆的方程为

17、x24+y2=1(2)设点M x1,y1，N x2,y2，设直线MN：x=my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t2，将直线MN代入方程x24+y2=1并化简可得，my+t2+4y2-4=0，即 m2+4y2+2mty+t2-4=0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以=4m2t2-4 m2+4t2-4=0，即t2=m2+4直线AP的方程为：x=4-2 3y；直线BP的方程为lBP：x=4+2 3y，联立方程x=my+t,x=4-2 3y,得y1=4-t2 3+m，同理得y2=t-42 3-m，所以y1-y2=4-t-4 3m2-12=4 3t+4，所以S1=12t y1-y2，S

18、2=124-ty1-y2，所以S21-S1S2+S22=14t2y1-y22-t 4-t4y1-y22+14(4-t)2y1-y22=14y1-y22t2-4t+t2+16-8t+t2=1448t+423t2-12t+16=36-48 9t+8t2+8t+16，令9t+8=26，则S21-S1S2+S22=36-4881+282+5697，当且仅当=28，即t=209时，不等式取等号，故当t=209时，S21-S1S2+S22取得最小值97【例【例2 2】已知椭圆C：y2a2+x2b2=1 ab0的离心率为32，且过点 1,2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l被圆x2+y2=a2截得的弦长

19、为2 6，设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值.【解析】(1)e=32，ba=a2-c2a=1-e2=12，由椭圆过点 1,2得4a2+1b2=1，解得a2=8，b2=2，椭圆C的方程为y28+x22=1.(2)直线l被圆x2+y2=8截得的弦长为2 6，则圆心到直线l的距离d满足62=2 22-d2，解得d=2，当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A x1,y1，B x2,y2，圆心为原点则有d=m1+k2=2，m2=2 k2+1.将l方程代入椭圆方程中整理得：k2+4x2+2mkx+m2-8=0，x1+x2=-2mkk2+4，x1x2=m2-8k2+4，AB

20、=k2+1 x1+x22-4x1x2=k2+1 4 2k2+8-m2k2+4=4 6 k2+1k2+4，SOAB=12ABd=4 3 1k2+1+3k2+12，当且仅当k2+1=3k2+1，即k=2 时取等号.当l的斜率不存在时，则l：x=2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意.OAB面积的最大值为2.(二二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例【例3 3】已知圆C过定点

21、A(0，p)(p0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n，MAN=.(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；(2)求mn+nm的最大值.【解析】(1)设C x0,x202p，则AC=x20+x202p-p2，故圆C的方程 x-x02+y-x202p2=x20+x202p-p2，令y=0有 x-x02+x404p2=x20+x404p2-x20+p2，故 x-x02=p2，解得x1=x0+p，x2=x0-p，故MN=x1-x2=2p不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x0-p,0,N x0+p,0，故m=x0-p2+p2，

22、n=x0+p2+p2，故mn+nm=m2+n2mn=x0-p2+p2+x0+p2+p2x0-p2+p2x0+p2+p2=2x20+4p2x20+2p22-4p2x20=2 x20+2p2x40+4p4=21+4x20p2x40+4p4=21+4p2x20+4p4x2021+4p22x204p4x20=2 2，当且仅当x20=4p4x20，即x0=2p时取等号.故mn+nm的最大值为2 2(三三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例【例4 4】

23、(20222022届陕西省汉中市高三上学期质量检测届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)且经过点P(3,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求AOB面积的最大值(O为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a=PF1+PF2=(2 3)2+4+2=4+2=6解得a=3，又b2=a2-(3)2=6.椭圆C的标准方程为x29+y26=1.(2)设直线l的方程为y=x+m，联立椭圆方程，得5x2+6mx+3m2-18=0，=36m2-60m2+3600，得-15 m

24、15设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=-6m5,x1x2=3m2-185，|AB|=2 x1+x22-4x1x2=2 36m225-12m2-725=4 3515-m2，点O(0,0)到直线l:x+y-m=0的距离d=|m|2，SAOB=12|AB|d=124 3515-m2|m|2=6515-m2m26515-m2+m222=65152=3 62.当且仅当15-m2=m2,(-15 m0.则SOAB=12m y1-y2=2 mt2+4-m2t2+4=2m2t2+41-m2t2+4，因为t2+4-m20，故0m2t2+40，符合题意.所以SOAB1，即OAB面积的最大值为1.当t

25、不存在时，设l:y=h h0，则SOAB=2 1-h2 h1，当 h=22时取等号.综上，OAB面积的最大值为1当OAB面积最大时：若t存在，则此时t2=2m2-40m22，则 AB=1+t24 t2+4-m2t2+4=22-3m22,2 2，若t不存在，则此时 AB=4 1-h2=2 2.综上，AB2,2 2.(五五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例【例6 6】(20222022届福建省福

26、州第十八中学高三上学期考试届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点Fp2,0，准线方程为x=-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2-p2=p=2，所以该抛物线的方程为y2=4x；(2)设Q x0,y0，则PQ=9QF=9-9x0,-9y0，所以P 10 x0-9,10y0，由P在抛物线上可得 10y02=4 10 x0-9，即x0=25y20+910，据此整理可得点Q的轨迹方程为y2=

27、25x-925，所以直线OQ的斜率kOQ=y0 x0=y025y20+910=10y025y20+9，当y0=0时，kOQ=0；当y00时，kOQ=1025y0+9y0，当y00时，因为25y0+9y0225y09y0=30，此时0kOQ13，当且仅当25y0=9y0，即y0=35时，等号成立；当y00时，kOQ C1C2=2 动圆P的圆心的轨迹E是以C1,C2为焦点的椭圆，设其方程为：x2a2+y2b2=1(ab0)，其中2a=4,2c=2,a=2,b2=3从而轨迹E的方程为：x24+y23=1(2)(i)设直线AB的方程为y=k x-1k0,A x1,y1,B x2,y2，则M x1,-y

28、1由y=k x-1x24+y23=1 可得：4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0 x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3直线BM的方程为y+y1=y2+y1x2-x1x-x1，令y=0可得N点的横坐标为：xN=x2-x1y2+y1y1+x1=k x2-x1x1-1k x1+x2-2+x1=2x1x2-x1+x2x1+x2-2=24k2-124k2+3-8k24k2+38k24k2+3-2=4N为一个定点，其坐标为 4,0(ii)根据(i)可进一步求得：AB=1+k2x2-x1=1+k2x2+x12-4x1x2=1+k28k24k2+32-44k2-124k2+3=

29、12 k2+14k2+3.ABDG,kDG=-1k，则 DG=12 k2+13k2+4ABDG，四边形ADBG面积S=12AB DG=1212 k2+14k2+312 k2+13k2+4=72 k2+124k2+33k2+4(法一)S=72 k2+124k2+33k2+472 k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=1时，Smin=28849(法二)令k2+1=t,k0,t1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=1时，Smin=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(

30、ab0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，a2=4c2=4(a2-b2)，3a2=4b2，由椭圆过点3,-32知，3a2+34b2=1联立式解得a2=4，b2=3 故椭圆的方程是x24+y23=1(2)1|AB|+1|CD|为定值712证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况1不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0此时|AB|=2b2a=3，|CD|

31、=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k0)，则CD:y=-1k(x-1)又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k264k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1k，同理可得|CD|=1

32、2(1+k2)4+3k2所以1|AB|+1|CD|=7k2+712(k2+1)=712为定值(3)解：由(2)知1|AB|+1|CD|=712，|AB|+916|CD|=127|AB|+916|CD|1|AB|+1|CD|=1272516+916|CD|AB|+|AB|CD|1272516+2916|CD|AB|AB|CD|=214，当且仅当916|CD|AB|=|AB|CD|，即|AB|=34|CD|，即|AB|=3，|CD|=4时取等号，|AB|+916|CD|的最小值为2143.(20232023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的

33、椭圆C1:x2a2+y2b2=1 ab0过点 1,32，抛物线C2:y2=2px p0(1)若抛物线C2的焦点恰为椭圆C1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为A，过A但不经过原点的直线l交椭圆C1于B，交抛物线C2于M，且AM=MB，求p的最大值，并求出此时直线l的斜率【解析】(1)由ca=12设a2=4c2，b2=3c2，所以将点 1,32代入椭圆C1:x24c2+y23c2=1得：椭圆C1:x24+y23=1，所以C1的右顶点为 2,0，依题意p2=2，所以抛物线C2方程为y2=8x；(2)设直线l的方程为x=my+t t0，A x1,y1，B x2,y2

34、，M x0,y0，联立x=my+tx24+y23=1，消去x整理得 3m2+4y2+6mty+3t2-12=0，显然0则y1+y2=-6km3m2+4，所以y0=y1+y22=-3km3m2+4，x0=my0+t=4t3m2+4；联立x=my+ty2=2px，消去x整理得y2-2pmy-2pt=0，0，且y1y0=-2pty1=-2pty0=2p 3m2+43m由抛物线方程得x1=y212p=2p 3m2+429m2，所以点坐标为A2p 3m2+429m2,2p 3m2+43m，将点A代入椭圆方程3x2+4y2=12有：32p 3m2+429m22+42p 3m2+43m2=12整理得：27p

35、2=133m+4m4+4 3m+4m2，令t=3m+4m2，则t 23m4m2=48，当且仅当3m=4m即m=43，即直线l的斜率k=32时t48取等号，所以27p2=13t2+4t2048，p29320，p3 540，即p的最大值为3 540，此时直线l的斜率为324.平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2 6，过焦点的最短弦长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A,B两点，P为椭圆上异于A,B的点，求PAB的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c=2 6,2b2a=2a2-b2=c2a2=8,b2=2，故椭圆的标准方程为x28+y22=

36、1；(2)设直线AB的方程为y=12x+m，则x28+y22=1y=12x+m x2+2mx+2m2-4=0，=16-4m20-2m2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，x1+x2=-2mx1x2=2m2-4 AB=16-4m21+14=5 4-m2，当-20，x28+y22=1y=12x+n x2+2nx+2n2-4=0，由=16-4n2=0得n=2，此时P(-2,1)，P到AB的距离最大为d=m-21+14=2 m-25，故PAB的面积S=12 ABd=125 4-m22 m-25=4-m2 m-2，则S2=(2+m)(2-m)3=13(6+3m)(2-m)3136+3m+6-3m44

37、=27，故S3 3，当且仅当m=-1时取等号.当0m2时，当P到AB的距离最大时，点P在第四象限且过P点的切线正好与AB平行，设切线方程为y=12x+n，nb0)的离心率e=22，且点P 2,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上.求AOB面积的最大值.【解析】(1)离心率e=ca=22，将P代入椭圆方程，可得4a2+1b2=1，又a2-b2=c2，联立上述方程，可得：a=6，b=c=3，椭圆方程为x26+y23=1；(2)设A x1,y1,B x2,y2可得：x21+2y21=6,x22+2y22=6，相减可得：x1-x2x1

38、+x2+2 y1-y2y1+y2=0，由题意，kOM=kOP=12，即y1+y2x1+x2=12，直线AB的斜率y1-y2x1-x2=-x1+x22 y1+y2=-122=-1，故可设直线AB为y=-x+t，代入椭圆方程可得：3x2-4tx+2t2-6=0，由=16t2-12(2t2-6)0，解得-3tb0的上顶点为 B 0,1，过点2,0且与x轴垂直的直线被截得的线段长为2 33.(1)求椭圆的标准方程(2)设直线l1交椭圆于异于点B的P,Q两点，以PQ为直径的圆经过点B,线段PQ的中垂线l2与x轴的交点为(x0,0)，求x0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b=1，令x=2，得y=1

39、-2a2，由题意知：21-2a2=2 33，解得a=3，椭圆的标准方程为x23+y2=1，(2)当直线PQ的斜率不存在时，显然不合题意；当直线PQ斜率存在时，设PQ:y=kx+m，当k=0时，此时P,Q关于y轴对称，令P(x,y),Q(-x,y)，BP=(x,y-1),BQ=(-x,y-1)且BP BQ=0，则(y-1)2=x2，又x2=3-3y2，2y2-y-1=0，解得y=-12或y=1(舍)，则P32,-12,Q-32,-12符合题设.此时有x0=0；当k0时，则y=kx+mx2+3y2=3，得 1+3k2x2+6kmx+3m2-3=0，=36k2+12-12m20，设P x1,y1,Q

40、 x2,y2，则y=kx+mx2+3y2=3，得 1+3k2x2+6kmx+3m2-3=0，=36k2+12-12m20，且x1+x2=-6km1+3k2x1x2=3m2-31+3k2，由BP BQ=x1x2+y1-1y2-1=0，即 1+k2x1x2+k m-1x1+x2+m-12=0，1+k23m2-31+3k2-k m-16km1+3k2+m-12=0，整理得2m2-m-1=0，解得m=-12，m=1(舍去)，代入=36k2+12-12m20得：kR，PQ为y=kx-12，得：xM=x1+x22=3k2 1+3k2,yM=-12 1+3k2，则线段的PQ中垂线l2为y+12 1+3k2=

41、-1kx-3k2 1+3k2，在x轴上截距x0=k1+3k2，而 x0=k1+3k2k23 k=36，-36x036且x00，综合:线段PQ的中垂线l2在x轴上的截距的取值范围是-36,36 .9.(20222022届河北省高三上学期届河北省高三上学期1212月教学质量监测月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-1,0，F21,0，点P满足 PF1+PF2=2 2，点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)不过F1的直线l与C交于AB两点，若直线l的斜率是直线AF1BF1斜率的等差中项，直线AB和线段AB的垂直平分线与y轴分别交于PQ，求 PQ的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知

42、，点P在以F1，F2为焦点且a=2 的椭圆上，所以其方程为：x22+y2=1(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0.直线l的方程为y=kx+b，A x1,y1，B x2,y2，直线方程与椭圆方程联立得x2+2y2=2y=kx+b 得 1+2k2x2+4kbx+2b2-2=0，所以=4kb2-4 1+2k22b2-20得k2+1b2x1+x2=-4kb1+2k2，x1x2=2b2-21+2k2由题意得2k=y1x1+1+y2x2+1，即2k x1+1x2+1=kx1+bx2+1+kx2+bx1+1整理得 b-kx1+x2=2 k-b直线l不过F1，bk，x1+x2=-2-4kb1+2k2=-2，

43、b=1+2k22kb2k2+1，1+2k22k222或k22或k4=C1C2，于是得点M的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴长2a=4 6 的椭圆，此时，焦距2c=4，短半轴长b有：b2=a2-c2=20，所以动圆圆心M的轨迹C的方程为：x224+y220=1.(2)显然直线PQ不垂直于坐标轴，设直线PQ的方程为x=my+3(m0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，由x=my+35x2+6y2=120 消去x得：(5m2+6)x2+30my-75=0，则y1+y2=-30m5m2+6，y1y2=-755m2+6，点P关于x轴的对称点R(x1,-y1)，SPQR=12|2y1|x2-x1|，SA

44、PR=122y13-x1，如图，显然x1与x2在3的两侧，即x2-x1与3-x1同号，于是得SAQR=SPQR-SAPR=y1x2-x1-3-x1=y1x2-x1-3-x1=|y1|x2-3|=|y1|my2|=|my1y2|=75|m|5m2+6=755|m|+6|m|7525|m|6|m|=5 304，当且仅当5|m|=6|m|，即m=305时取“=”，因此，当m=305时，(SAQR)max=5 304，所以ARQ面积的最大值5 304.11.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a0)的离心率为22，分别过左、右焦点F1，F2作两条平行直线l1和l2.(1)求l1和l2之间距离的最大值；(2

45、)设l1与C的一个交点为A，l2与C的一个交点为B，且A，B位于x轴同侧，求四边形AF1F2B面积的最大值.【解析】(1)椭圆C：x2a2+y2=1(a0)的离心率为22，且b=1，a=2,b=1,c=1，x22+y2=1，设直线l1：x=ty-1；直线l2：x=ty+1.l1和l2之间距离d=21+t22，当t=0时，dmax=2；(2)根据题意，不妨设直线l1与椭圆C交于A、D两点，直线l2与椭圆C交于B、N两点，则ADBN，且AD=BN，即四边形ABND为平行四边形，四边形AF1F2B面积为四边形ABND面积的一半，由(1)知，d=21+t2，联立方程x=ty-1x2+2y2=2,则 2

46、+t2y2-2ty-1=0，=8 t2+10,y1+y2=2t2+t2,y1y2=-12+t2，AD=1+t2y1-y2=2 2 t2+12+t2，12SABND=12d AD=1221+t22 2 t2+12+t2=2 21+t22+t22，令u=1+t21，12SABND=2 2uu+12=2 21u+1u+2，u1，u+1u+24，12SABND2，当且仅当t=0时，取等号.故四边形AF1F2B面积的最大值2.12.(20222022届广西玉林市、贵港市高三届广西玉林市、贵港市高三 1212月模拟月模拟)设椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)过M 1,32，N3,12两点，O为坐标

47、原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由【解析】(1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程得1a2+34b2=13a2+14b2=1 ，解得a2=4，b2=1所以椭圆E的方程为x24+y2=1(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2，其中0R1，设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A x1,y1，B x2,y2两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y=kx+m，将其代入椭圆E的方程并整理得 4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0，由

48、韦达定理得x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，因为OA OB，所以x1x2+y1y2=0，将代入并整理得 1+k2x1x2+km x1+x2+m2=0，联立得m2=451+k2，因为直线AB和圆相切，因此R=|m|1+k2，由得R=2 55，所以存在圆x2+y2=45满足题意当切线AB的斜率不存在时，易得x12=x22=45，由椭圆方程得y12=y22=45，显然OA OB，综上所述，存在圆x2+y2=45满足题意当切线AB的斜率存在时，由得AB=x1-x22+y1-y22=1+k2x1-x22=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2-8km4k2+12-44m

49、2-44k2+1=1+k216+64k2-16m21+4k22=4 551+k21+16k21+4k22=4 5516k4+17k2+116k4+8k2+1=4 551+9k216k4+8k2+1=4 551+916k2+1k2+8，由16k2+1k28，得11+916k2+1k2+854，即4 55 AB5当切线AB的斜率不存在时，易得 AB=4 55，所以4 55 AB5综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=45满足题意，且4 55 AB513.(20222022届上海市青浦区高三一模届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y2=x.(1)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求OA OB

50、 的值(其中O为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x0,y0，分别作两条直线交抛物线于另外两点P xp,ypQ xQ,yQ，交直线x=-1于A1-1,1B1-1,-1两点，求证：ypyQ为常数(3)已知点D 1,1，在抛物线上是否存在异于点D的两个不同点MN，使得DMMN?若存在，求N点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F的直线为x=my+14，联立y2=xx=my+14 得y2-my-14=0，y1+y2=my1y2=-14，设A x1,y1,B x2,y2，则OA OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=-316；(2)由