2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题含答案.pdf
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1、2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】题型一:仿射变换问题题型二:非对称韦达问题题型三:椭圆的光学性质题型四:双曲线的光学性质题型五:抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题【题型归纳目录】题型一:仿射变换问题题型二:非对称韦达问题题型三:椭圆的光学性质题型四:双曲线的光学性质题型五:抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题仿射变换有如下性质:1、同素性:在经过变换之后,点仍然是点,线仍然是线;2、结合性:在经过变换之后,在直线上的点仍然在直线上;3、其
2、它不变关系我们以椭圆为例阐述上述性质椭圆x2a2+y2b2=1 ab0,经过仿射变换x=xy=aby,则椭圆变为了圆x2+y2=a2,并且变换过程有如下对应关系:(1)点P x0,y0变为P x0,aby0;(2)直线斜率k变为k=abk,对应直线的斜率比不变;(3)图形面积S变为S=abS,对应图形面积比不变;(4)点、线、面位置不变(平直线还是平直线,相交直线还是相交直线,中点依然是中点,相切依然是相切等);(5)弦长关系满足ABAB=1+k21+k2,因此同一条直线上线段比值不变,三点共线的比不变总结可得下表:变换前变换后方程x2a2+y2b2=1 ab0 x2+y2=a2横坐标xx纵坐
3、标yy=aby斜率k=yxk=yx=abyx=abk面积S=12xyS=12xy=abS弦长l=1+k2xl=1+k2x=1+a2b2k2x=1+a2b2k21+k2l不变量平行关系;共线线段比例关系;点分线段的比二、二、非对称韦达问题非对称韦达问题在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 0,设它的两个根分别为 x1,x2,则有根与系数关系:x1+x2=-ba,x1x2=ca,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 x1-x2,x21+x22,1x1+1x2之类的结构,但在有些问题时,我们会遇到涉及x1,x2的不同系数的代数式的应算,比如求x1x2,3x1x2+2x1-x22x1x2-x
4、1+x2或x1+x2之类的结构,就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了特别是在圆锥曲线问题中,我们联立直线和圆锥曲线方程,消去 x 或 y,也得到一个一元二次方程,我们就会面临着同样的困难,我们把这种形如 x1+2x2,x1y2+x2y1,x1x2或3x1x2+2x1-x22x1x2-x1+x2之类中x1,x2的系数不对等的情况,这些式子是非对称结构,称为“非对称韦达”三、三、光学性质问题光学性质问题1.椭圆的光学性质椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)【引理【引理1 1】若点A,B在直线 L的同侧,设点是直线 L上到A,B两点距离之
5、和最小的点,当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理2 2】若点A,B在直线L的两侧,且点A,B到直线的距离不相等,设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点,即 PA-PB最大,当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 3 3】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 ab0,F1,F2分别是其左、右焦点,若点 D 在椭圆外,则 DF1+DF22a2.双曲线的光学性质双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点(如图)【引理【引理4 4】若点A,B在直线 L的同侧,
6、设点是直线 L上到A,B两点距离之和最小的点,当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理5 5】若点A,B在直线L的两侧,且点A,B到直线的距离不相等,设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点,即 PA-PB最大,当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 6 6】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1 a0,b0,F1,F2分别是其左、右焦点,若点 D在双曲线外(左、右两支中间部分,如图),则DF1-DF20,F 0,p2为其焦点,j是过抛物线上一点D x0,y0的切线,A,B是直线 j上的两点(不同于点D),
7、直线DC平行于y轴求证:FDA=CDB(入射角等于反射角)【结论【结论2 2】已知:如图,抛物线C:y2=2px p0,F是抛物线的焦点,入射光线从F点发出射到抛物线上的点M,求证:反射光线平行于x轴【典例例题】【典例例题】题型一:仿射变换问题题型一:仿射变换问题例例1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)MN是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦,P是MN的中点,则kMNkOP=_,A,B是该椭圆的左右顶点,Q是椭圆上不与A,B重合的点,则 kAQ kBQ=_ CD 是该椭圆过原点 O 的一条弦,直线 CQ,DQ 斜率均存在,则kCQk
8、DQ=_例例2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图,作斜率为12的直线 l 与椭圆x24+y2=1 交于 P,Q 两点,且M2,22在直线 l 的上方,则 MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为_例例3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)是椭圆x24+y23=1上任意一点,O为坐标原点,PO=2OQ,过点Q的直线交椭圆于A,B两点,并且QA=QB,则PAB面积为_变式变式1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知直线l与椭圆x24+y22=1交于M,N两点,当kOMkON=_,MON面积最大,并且最大值为 _.记
9、M(x1,y1),N(x2,y2),当MON面积最大时,x21+x22=_y21+y22=_.是椭圆上一点,OP=OM+ON,当MON面积最大时,2+2=_.变式变式2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x22+y2=1左顶点为A,P,Q为椭圆C上两动点,直线PO交AQ 于 E,直线 QO 交 AP 于 D,直线 OP,OQ 的斜率分别为 k1,k2且 k1k2=-12,AD=DF,AE=EQ(,是非零实数),求2+2=_.题型二:非对称韦达问题题型二:非对称韦达问题例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2
10、b2=1(ab0)的左、右焦点是F1、F2,左右顶点是A1、A2,离心率是22,过F2的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点),且F1PQ的周长是4 2,直线A1P与A2Q交于点M.(1)求椭圆的方程;(2)()求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上;()N是定直线l上的一点,且PN平行于x轴,证明:PF2PN是定值例例5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12,短轴长为2 3(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,若过点P 4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点,直线AM与
11、BN相交于点Q证明:点Q在定直线上例例6.6.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)点A,B是椭圆E E:x24+y23=1的左右顶点若直线l:y=k(x-1)与椭圆E E交于M,N两点,求证:直线AM与直线BN的交点在一条定直线上变式变式3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知A1、A2分别是离心率 e=22的椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右项点,P是椭圆E的上顶点,且PA1 PA2=-1.(1)求椭圆E的方程;(2)若动直线l过点 0,-4,且与椭圆E交于A、B两点,点M与点B关于y轴对称,求证:直线AM恒过定点.变式变式4.4
12、.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点P 2,2,且离心率为22(1)求椭圆C的方程;(2)记椭圆C的上下顶点分别为A,B,过点 0,4斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点,证明:直线BM与AN的交点G在定直线上,并求出该定直线的方程题型三:椭圆的光学性质题型三:椭圆的光学性质例例7.7.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图,椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图,双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长
13、线经过双曲线的另一个焦点.如图,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线 C2构成,已知 C1与C2的离心率之比为 2:5.现一光线从右焦点 F2发出,依次经 C1与C2的反射,又回到了点F2,历时310-8秒.将装置中的C2去掉,如图,此光线从点F2发出,经C1两次反射后又回到了点F2,历时_.秒例例8.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线 C的方程为 x2+4y2=4,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于
14、点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M,则|F1M|:|F2M|=()A.2:3B.1:2C.1:3D.1:3例例9.9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)圆锥曲线具有丰富的光学性质,从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点直线l:x+2y-8=0与椭圆C:x216+y212=1相切于点P,椭圆C的焦点为 F1,F2,由光学性质知直线 PF1,PF2与l的夹角相等,则 F1PF2的角平分线所在的直线的方程为()A.2x-y-1=0B.x-y+1=0C.2x-y+1=0D.x-y-1=0题型四:双曲线的光学性质
15、题型四:双曲线的光学性质例例10.10.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)双曲线的光学性质是:从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C:x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,从 F2发出的光线射向 C 上的点 P 8,y0后,被 C 反射出去,则入射光线与反射光线夹角的余弦值是()A.1314B.-1114C.1114D.-1314例例11.11.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)根据圆锥曲线的光学性质,从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双
16、曲线的另一个焦点.由此可得,连双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角请解决下列问题:已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左.右焦点,若从F2发出的光线经双曲线右支上的点 A x0,1反射后,反射光线为射线 AM,则F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()A.-3B.-2C.-1D.-22题型五:抛物线的光学性质题型五:抛物线的光学性质例例12.12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点已知抛物线 y2=4x的焦点为
17、F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为()A.43B.-43C.43D.-169例例13.13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于 x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点 A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则ABM的周长为()A.9+10B.9+26C.7112+26D.8312+26例例14.14
18、.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知:如图,抛物线 C:x2=2py p0,F 0,p2为其焦点,j 是过抛物线上一点 D x0,y0的切线,A,B 是直线 j 上的两点(不同于点 D),直线 DC 平行于 y 轴求证:FDA=CDB(入射角等于反射角)变式变式5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知:如图,抛物线C:y2=2px p0,F是抛物线的焦点,入射光线从F点发出射到抛物线上的点M,求证:反射光线平行于x轴【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆满足这样的光学性质
19、:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程:x216+y29=1,点A、B 是它的两个焦点,当静止的小球放在点 A处,从 A点沿直线出发,经椭圆壁反弹后,再回到点A时,小球经过的最长路程是()A.20B.18C.16D.142.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)双曲线的光学性质为:从双曲线一个焦点发出的光,经过反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上,若双曲线 E 的焦点分别为 F1,F2,经过 F2且与 F1F2垂直的光线经双曲线E反射后,与F1F2成45角,则双曲线E的离心率为()
20、A.2B.2+1C.2 2D.2 2-1二、二、多选题多选题3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 F1,F2是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点F1的小球(小球的半径不计),从点F1沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时,小球经过的路程可以是()A.4aB.4cC.2 a+cD.2 a-c4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)圆锥曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向
21、延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题:已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右焦点,点P为C在第一象限上的点,点 M 在 F1P 延长线上,点 Q 的坐标为33,0,且 PQ 为 F1PF2的平分线,则下列正确的是()A.PF1PF2=2B.PF1+PF2=2 3C.点P到x轴的距离为3D.F2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150三、三、填空题填空题5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)过椭圆x24+y23=1的右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则AOB面积最大值为_.6.(20222
22、022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知A,B,C分别是椭圆x24+y23=1上的三个动点,则ABC面积最大值为_.7.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1、F2分别为椭圆左右焦点,过F1、F2作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于 M、N、P、Q 四点,若当两条弦垂直于 x 轴时,点 M、N、P、Q 所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为_.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质比如椭圆,他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面,并在
23、F处放置光源,那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a b 0),F1,F2为其左、右焦点,若从右焦点 F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后,满足BAD=90,tanABC=34,则该椭圆的离心率为_四、四、解答题解答题9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程.10.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆有两
24、个顶点 A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于 C,D两点,并与x轴交于点P,直线AC与BD交于点Q(1)当 CD=3 22时,求直线l的方程;(2)当P点异于A,B两点时,证明:OP OQ 为定值11.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 A、B 分别是椭圆x22+y2=1 的右顶点和上顶点,C、D 在椭圆上,且CDAB,设直线AC、BD的斜率分别为k1、k2,证明:k1k2为定值12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1-c,0,F2c,0,M,
25、N分别为左右顶点,直线l:x=ty+1与椭圆C交于A,B两点,当t=-33时,A是椭圆的上顶点,且AF1F2的周长为6(1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM,BN交于点Q,证明:点Q在定直线上(3)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知x29+y25=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T t,m的直线TA、TB与椭圆分别交于点M x1,y1、N x2,y2,其中m0,y10,y2b0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t21,bt1a点A1,A2分别为C0的左,右
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