2023届高考数学专项练习点差法在圆锥曲线中的应用含答案.pdf

《2023届高考数学专项练习点差法在圆锥曲线中的应用含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习点差法在圆锥曲线中的应用含答案.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023届高考数学专项练习点差法在圆锥曲线中的应用2023届高考数学专项练习点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线

2、的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【例2】【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),离心率e=3,虚轴长为2 2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P 1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由(二二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例【

3、例3 3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0经过点P 0,1，且离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点 0,-35的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求 MO的最大值.【例【例4 4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x1,y1、B x2,y2是二次曲线C:Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上两点,P x0,y0是弦AB的中点,且弦AB的斜率存在,二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等请

4、根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x22+y2=1.(1)求过点P12,12且被P点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.(三三)求直线的斜率求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例【例5 5】已知椭圆C：x25+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.(1)若线段MN的中点坐标为 2,13,求直线MN的斜率；(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求PMN面积的最大值.【例【例6 6】已知椭圆x225+y29=1上不同的三点A x1,y1,B 4,95,C x

5、2,y2与焦点F 4,0的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.(四四)点差法在轴对称中的应用点差法在轴对称中的应用【例【例7 7】(2023 届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知 O 为坐标原点，点 1,62在椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上，直线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为-12(1)求C的方程；(2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由【例【例8 8】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点

6、 1,62，直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-12(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围(五五)利用点差法可推导的结论利用点差法可推导的结论在椭圆x2a2+y2b2=1 ab0中,若直线l与该椭圆交于点A,B,点P x0,y0为弦AB中点,O为坐标原点,则kABkOP=b2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【例【例9 9】(2022 届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a、b为正常数)的右顶点为

7、A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1k2的值；(2)若AMPQ=12,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由三、三、跟踪检测跟踪检测1.已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线 l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q(1)当t=2时，求 QF1；(2)当t0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:

8、x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点 A，B，M为线段AB的中点，当点 M的坐标为(2,1)时，直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.3.已知椭圆x22+y2=1(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程；(3)求过点M12,12且被M平分的弦所在直线的方程4.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)过点 1,62，直线 l：y=x+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段AB的

9、中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-0.5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当m=1时，椭圆C上是否存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上6.(2022 届河南省中原顶级名校高三上学期 1 月联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分

10、别为F1-1,0,F21,0,过点F1的直线l1交椭圆C于A,B两点.当直线l1的斜率为1时,点-47,37是线段AB的中点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图,若过点F2的直线l2交椭圆C于E,G两点,且l1l2,求四边形ABEG的面积的最大值.7.如图,AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MNl,N为垂足,点N坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求AOB的面积(O为坐标系原点).8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l：x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹E的

11、方程；(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N.求直线MN过定点D的坐标.9.中心在原点的双曲线 E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：该曲线经过点A 2,3；该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q 1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.10.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为

12、4 2,短轴长为2,直线l过点P-2,1且与椭圆C交于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦AB的长；(3)若过点Q 1,12的直线l1与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦EG的中点,求直线l1的方程11.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,AB为椭圆的一条弦,直线 y=kx(k 0)经过弦 AB 的中点 M,与椭圆 C 交于 P,Q 两点,设直线 AB 的斜率为 k1,点 P 的坐标为1,32(1)求椭圆C的方程；(2)求证：k1k为定值.12.已知双曲线C：2x2-y2=2与点P 1,2(1)是否存在过点P的弦AB,使得

13、AB的中点为P；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,证明：A、B、C、D四点共圆13.李华找了一条长度为 8 的细绳,把它的两端固定于平面上两点 F1,F2处,|F1F2|0,b0),离心率e=3,虚轴长为2 2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P 1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由【解析】(1)e=ca=3,2b=2 2,c=3a,b=2c2=a2+b2,3a2=a2+2a2=1双曲线C的标准方程为x2-y22=1(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点

14、的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由=(-4)2-423=-8b0经过点P 0,1，且离心率为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点 0,-35的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求 MO

15、的最大值.【解析】(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(0,1)，其离心率为32b=1，ca=321-b2a2=34，ba=12，a=2，故椭圆C的方程为：x24+y2=1；(2)当直线l斜率不存在时，M与O重合，不合题意，当直线l斜率存在时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，则有x0=x1+x22，y0=y1+y22，直线l的斜率为y1-y2x1-x2=y0+35x0，A，B两点在椭圆上，有x124+y12=1，x224+y22=1，两式相减，x12-x224=-y12-y22，即x1+x24 y1+y2=-y1-y2x1-x2，得x04y0=-y0+

16、35x0，化简得x02=-4y02-125y0，MO=x02+y02=-3y02-125y0=-3 y0+252+1225，当y0=-25时，MO的最大值为2 35【例【例4 4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x1,y1、B x2,y2是二次曲线C:Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上两点,P x0,y0是弦AB的中点,且弦AB的斜率存在,则Ax21+By21+Cx1+Dy1+F=0(1)Ax22+By22+Cx2+Dy2+F=0(2)由(1)-(2)得A x1-x2x1+x2+B y1-y2y1+y2+C x1-x2+D y1

17、-y2=0,x0=x1+x22,y0=y1+y22,x1+x2=2x0,y1+y2=2y02Ax0 x1-x2+2By0y1-y2+C x1-x2+D y1-y2=0,2Ax0+Cx1-x2=-2By0+Dy1-y2,直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-2Ax0+C2By0+D2B+D0,x1x2.二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x22+y2=1.(1)求过点P12,12且被P点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】

18、(1)设A x1,y1、B x2,y2是椭圆x22+y2=1上两点,P x0,y0是弦AB的中点,则x122+y12=1x222+y22=1,两式相减得：x1-x2x1+x2+2 y1-y2y1+y2=0,12=x1+x22,12=y1+y22,x1+x2=1,y1+y2=1x1-x2+2 y1-y2=0,直线AB的斜率kAB=-12.直线AB的方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.因为P12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x1,y1、B x2,y2是椭圆x22+y2=1上两点,P x,y是弦AB的中点,则x122+y12=1x222+y22=1,

19、两式相减得：x1-x2x1+x2+2 y1-y2y1+y2=0,x=x1+x22,y=y1+y22,x1+x2=2x,y1+y2=2y2x x1-x2+4y y1-y2=0,直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=-x2yx1x2又kAB=y-1x-2,所以 y-1x-2=-x2y,化简得：x2+2y2-2x-2y=0-2 x2,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0-2 x2(三三)求直线的斜率求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例【例5 5】已知椭圆C：x25+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.(1)若线段MN的中点坐标

20、为 2,13,求直线MN的斜率；(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求PMN面积的最大值.【解析】(1)设M x1,y1,N x2,y2,则x215+y21=1,x225+y22=1,两式相减,可得x1+x2x1-x25+y1+y2y1-y2=0,则4 x1-x25+2 y1-y23=0,解得kMN=y1-y2x1-x2=-65,即直线MN的斜率为-65；(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：x=my-2,N x3,y3,P x4,y4,联立x=my-2x25+y2=1,消去x整理得 m2+5y2-4my-1=0,显然=20 m2+10,故y3+y4=4mm

21、2+5,y3y4=-1m2+5,故PMN的面积SPMN=2SOPN=212OF1 y3-y4=24mm2+52-4-1m2+5=4 5 m2+1m2+5,令t=m2+1,t1,则SPMN=4 5tt2+4=4 5t+4t4 54=5,当且仅当t=2,即m=3 时等号成立,故PMN面积的最大值为5.【例【例6 6】已知椭圆x225+y29=1上不同的三点A x1,y1,B 4,95,C x2,y2与焦点F 4,0的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.【解析】(1)证 略.(2)解x1+x2=8,设线段AC的中点为D 4,y

22、0.又A、C在椭圆上,x1225+y129=1,(1)x2225+y229=1,(2)1-2得：x12-x2225=-y12-y229,y1-y2x1-x2=-9 x1+x225 y1+y2=-92582y0=-3625y0.直线DT的斜率kDT=25y036,直线DT的方程为y-y0=25y036x-4.令y=0,得x=6425,即T6425,0,直线BT的斜率k=95-04-6425=54.(四四)点差法在轴对称中的应用点差法在轴对称中的应用【例【例7 7】(2023 届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知 O 为坐标原点，点 1,62在椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上，直

23、线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为-12(1)求C的方程；(2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22,kAB=y1-y2x1-x2=1,kOM=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2=-12A x1,y1,B x2,y2在椭圆上，则x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，整理得y12-y22x12-x22=y1+y2x1+x2y1-y2x1-x2=

24、-b2a2kABkOM=-b2a2，即-12=-b2a2，则a2=2b2又点 1,62在椭圆C：x2a2+y2b2=1上，则1a2+32b2=1联立解得a2=4,b2=2椭圆C的方程为x24+y22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：y=x+1对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ONPQl，则kABkPQ=-1，即kPQ=-1由(1)可得kONkPQ=-12，则kON=12，即直线ON:y=12x联立方程y=12xy=x+1，解得x=-2y=-1 即N-2,-1-224+-122=321，则N-2,-1在椭圆C外假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称

25、【例【例8 8】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点 1,62，直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-12(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，即kOM=y1+y2x1+x2=-12因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，

26、又kAB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2又因为椭圆C过点 1,62，所以1a2+32b2=1，解得a2=4,b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)设P x3,y3,Q x4,y4,PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+m又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1,x244+y242=1两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0即x3+x44+y3+y4y3-y42 x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y

27、42，即x0=2y0联立x0=2y0y0=x0+m，解得x0=-2my0=-m，即N(-2m,-m)又因为点N在椭圆C内，所以(-2m)24+(-m)221，所以-63m63所以实数m的范围为-63mb0中,若直线l与该椭圆交于点A,B,点P x0,y0为弦AB中点,O为坐标原点,则kABkOP=b2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x1,y1,B x2,y2且x1x2,则x12a2+y12b2=1,(1)x22a2+y22b2=1,(2)1-2得：x12-x22a2=-y12-y22b2,y1-y2x1-x2=-b2x1+x2a2y1+y2,kAB=y1-y2x

28、1-x2=-b2x1+x2a2y1+y2.又kOP=y1+y2x1+x2,kAB=-b2a21kOP,kABkOP=-b2a2(定值).【例【例9 9】(2022 届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1k2的值；(2)若AMPQ=12,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),因为P、

29、Q在双曲线上,所以x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式作差得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即2x0(x1-x2)a2=2y0(y1-y2)b2,即y0(y1-y2)x0(x1-x2)=b2a2,即k1k2=b2a2；(2)因为AMPQ=12,所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即APAQ；当直线l的斜率不存在时,设l：x=t,代入x2a2-y2b2=1得,y=bt2a2-1,由|t-a|=bt2a2-1 得,(a2-b2)t2-2a3t+a2(a2+b2)=0,即(a2-b2)t-a(a2+b2)(t-a)=0,得t=a(a

30、2+b2)a2-b2或a(舍),故直线l的方程为x=a(a2+b2)a2-b2；当直线l的斜率存在时,设l：y=kx+m,代入x2a2-y2b2=1,得(b2-k2a2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=0,=a2b2(m2+b2-k2a2)0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2kma2b2-k2a2,x1x2=-a2(m2+b2)b2-k2a2；因为APAQ,所以AP AQ=0,即(x1-a,y1)(x2-a,y2)=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2=0,即x1x2-a(x1+x2)+a2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(km-a)(x1+x2

31、)+(k2+1)x1x2+m2+a2=0,即-2kma3-k2a2b2-m2a2+m2b2-k2a4b2-k2a2=0,即a2(a2+b2)k2+2ma3k+m2(a2-b2)=0,即a(a2+b2)k+m(a2-b2)(ak+m)=0,所以k=-m(a2-b2)a(a2+b2)或k=-ma；当k=-ma时,直线l的方程为y=-max+m,此时经过A,舍去；当k=-m(a2-b2)a(a2+b2)时,直线l的方程为y=-m(a2-b2)a(a2+b2)x+m,恒过定点a(a2+b2)a2-b2,0,经检验满足题意；综上,直线l过定点a(a2+b2)a2-b2,0三、三、跟踪检测跟踪检测1.已知

32、椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线 l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q(1)当t=2时，求 QF1；(2)当t0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，线段AB的中点M坐标为 xM,yM，联立得x2+2y2-2=0,y=2(x-1),消去y可得：9x2-16x+6=0，所以x1+x2=169,x1x2=69,所以xM=89，代入直线AB方程，求得yM=-29，因为Q为ABS三条中垂线的交点，所以MQAB，有kMQkAB=-1，直

33、线MQ方程为y+29=-12 x-89.令y=0,xQ=49，所以Q49,0.由椭圆C:x22+y2=1可得右焦点F11,0，故 QF1=59(2)设A x1,y1,B x2,y2，中点M坐标为 xM,yMx212+y21=1,x222+y22=1,相减得y2-y1x2-x1=-12x1+x2y1+y2=-xM2yM，kABkOM=-12.又Q为ABS的外心，故MQAB,kMQkAB=-1，所以kMQ=2kOM=2yMxM，直线MQ方程为y-yM=2yMxMx-xM，令y=0,xQ=xM2=x1+x24，所以Qx1+x24,0而F11,0,所以 QF1=1-14x1+x2，AF1=x1-12+

34、y21=x1-12+1-x212=x212-2x1+2=2-12x1，同理 BF1=2-12x2，|AB|=AF1+BF1=2 2-12x1+x2，QF1|AB|=1-14x1+x22 2-12x1+x2=24，所以当t变化时，QF1|AB|为定值242.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点 A，B，M为线段AB的中点，当点 M的坐标为(2,1)时，直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.【解析】(

35、1)由题意知，离心率e=22，所以a=2b=2c，设A x1,y1,B x2,y2，x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得kkOM=-b2a2=-12，所以k=-1；所以直线为y-1=-(x-2)，即y=-x+3，所以b=c=3，椭圆方程为x218+y29=1；(2)设直线为y=kx+m，由y=kx+mx2+2y2=18 得 1+2k2x2+4kmx+2m2-18=0，则xM=x1+x22=-2km1+2k2，yM=m1+2k2，=16k2m2-4 1+2k22m2-18=8 18k2-m2+90，所以kDM=yM-3xM-0=6k2+3-m2km=-k，解得m=6k2

36、+31-2k2，1-2k20，k22因为l不过D点，则6k2+31-2k23，即k0则18k2+9-6k2+321-2k220，化简得4k4-4k2-30，解得 2k2-32k2+10，k232，所以k62或k b 0)过点 1,62，直线 l：y=x+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-0.5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当m=1时，椭圆C上是否存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由【解析】(1)设A x1,y1，B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，即kOM=y1+y2x1

37、+x2=-12因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又kAB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2又因为椭圆C过点 1,62，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，

38、y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42 x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1又因为-224+-1221，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2

39、px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1,y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p因为直线AB的方程为y=x-p2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x(2)设

40、P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y2-4my+4mt+4=y2-4my+4m2=0的根为y=2m,所以x=m2,即Q m2,2m因为FP=-2,m-1m,FQ=m2-1,2m,所以FPFQ=-2 m2-1+2m m-1m=0,所以FPFQ,即F在以PQ为直径的圆上6.(2022 届河南省中原顶级名校高三上学期 1 月联考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F

41、1-1,0,F21,0,过点F1的直线l1交椭圆C于A,B两点.当直线l1的斜率为1时,点-47,37是线段AB的中点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图,若过点F2的直线l2交椭圆C于E,G两点,且l1l2,求四边形ABEG的面积的最大值.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2.由题意可得b2x21+a2y21-a2b2=0,b2x22+a2y22-a2b2=0.y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2=-b2a2-43,即4b23a2=1,b2a2=34.a2-b2=1,a2=4,b2=3,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)根据对称性知 AB=EG,ABEG

42、,四边形ABEG是平行四边形,又S四边形ABEG=2SF2AB,问题可转化为求SF2AB的最大值.设直线l1的方程为x=my-1,代入x24+y23=1,得 3m2+4y2-6my-9=0.则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,SF2AB=122 y1-y2=y1+y22-4y1y2=6m3m2+42-4-93m2+4=12 1+m23m2+4.令1+m2=t,则t1,且m2=t2-1,SF2AB=12t3t2+1=123t+1t.记h t=3t+1tt1,易知h t在 1,+上单调递增.h tmin=h 1=4.SF2AB=123t+1t124=3.四边形ABEG的面积的最

43、大值是6.7.如图,AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MNl,N为垂足,点N坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求AOB的面积(O为坐标系原点).【解析】(1)点N(-2,-3)在准线l上,所以准线l方程为：x=-2,则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为：y2=8x；(2)设A x1,y1,B x2,y2,由A、B在抛物线y2=8x上,所以y21=8x1y22=8x2,则 y1-y2y1+y2=8 x1-x2,又MNl,所以点M纵坐标为-3,M是AB的中点,所以y1+y2=-6,所以-6 y1-y2=8 x1-x2,即kAB=-

44、43,又知焦点F坐标为(2,0),则直线AB的方程为：4x+3y-8=0,联立抛物线的方程y2=8x,得y2+6y-16=0,解得y=2或y=-8,所以y1-y2=10,所以SAOB=SAOF+SBOF=y1-y2=10.8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l：x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl.(1)求动点Q的轨迹E的方程；(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N.求直线MN过定点D的坐标.【解析】(1)依题意,点P在直线l：x=-1上移动,令直线l交x轴于点K,而点F(1,0),又R是线段PF与y

45、轴的交点,当点P与点K不重合时,ORl,而O为FK中点,则点R是线段FP的中点,因RQFP,则RQ是线段FP的垂直平分线,QP=QF,又PQl于点P,即 PQ是点Q到直线l的距离,当点P与点K重合时,点R与点O重合,也满足上述结论,于是有点Q到点F的距离等于点Q到直线l的距离,则动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为：y2=4x,所以动点Q的轨迹E的方程为y2=4x.(2)显然直线AB与直线CD的斜率都存在,且不为0,设直线AB的方程为y=k(x-1),k0,令A xA,yA,B xB,yB,M xM,yM,N xN,yN,由y2A=4xAy2B=4xB 两式相减得：(yA+y

46、B)(yA-yB)=4(xA-xB),则yA+yB=4k,即yM=2k,代入方程y=k(x-1),解得xM=2k2+1,即点M的坐标为2k2+1,2k,而CDAB,直线CD方程为y=-1k(x-1),同理可得：N的坐标为(2k2+1,-2k),当2k2+1=2k2+1,即k=1时,直线MN：x=3,当k1且k-1时,直线MN的斜率为kMN=yM-yNxM-xN=k1-k2,方程为y+2k=k1-k2(x-2k2-1),整理得y1k-k=x-3,因此,kR,k0,直线MN：y1k-k=x-3过点(3,0),所以直线MN恒过定点D(3,0).9.中心在原点的双曲线 E焦点在x轴上且焦距为4,请从下

47、面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：该曲线经过点A 2,3；该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q 1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E的标准方程为x2a2-y2b2=1 ab0.选：由题意可知,双曲线E的两个焦点分别为F1-2,0、F22,0,由双曲线的定义可得2a=AF1-AF2=42+32-3=2,则a=1,故b=c2-a2=3,所

48、以,双曲线E的标准方程为x2-y23=1.选：圆x2-8x+y2+4=0的标准方程为 x-42+y2=12,圆心为 4,0,半径为2 3,双曲线E的渐近线方程为y=bax,由题意可得4ba1+ba2=2 3,解得ba=3,即b=3a,因为c=a2+b2=2a=2,则a=1,b=3,因此,双曲线E的标准方程为x2-y23=1.选：由勾股定理可得 PF12+PF22=4c2=16=PF1-PF22+2 PF1 PF2=4a2+2 PF1 PF2,所以,PF1 PF2=2 c2-a2=2b2,则SF1PF2=12PF1 PF2=b2=12324,则b=3,故a=c2-b2=1,所以,双曲线E的标准方

49、程为x2-y23=1.(2)假设满足条件的直线l存在,设点Q1x1,y1、Q2x2,y2,则x1+x2=2y1+y2=2,由题意可得x21-y213=1x22-y223=1,两式作差得 x1-x2x1+x2=y1-y2y1+y23,所以,直线l的斜率为k=y1-y2x1-x2=3,所以,直线l的方程为y-1=3 x-1,即y=3x-2.联立y=3x-2x2-y23=1,整理可得6x2-12x+7=0,=122-467b0)的焦距为4 2,短轴长为2,直线l过点P-2,1且与椭圆C交于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦AB的长；(3)若过点Q 1,12的直线l1与椭圆

50、C交于E、G两点,且Q是弦EG的中点,求直线l1的方程【解析】(1)依题意,椭圆C的半焦距c=2 2,而b=1,则a2=b2+c2=9,所以椭圆C的方程为：x29+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,直线l的方程为：y=x+3,由y=x+3x2+9y2=9 消去y并整理得：5x2+27x+36=0,解得x1=-125,x2=-3,因此,|AB|=1+12|x1-x2|=3 25,所以弦AB的长是3 25.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C内,设E(x3,y3),G(x4,y4),因E、G在椭圆C上,则x23+9y23=9x24+9y24=9,两式相减得：(x3-x4)