重庆西南大学附属中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题含答案.pdf

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1、1234西南大学附属中学校高西南大学附属中学校高 2023 届第三次月考届第三次月考数学试题数学试题（满分：（满分：150 分；考试时间：分；考试时间：120 分钟）分钟）2022 年年 11 月月注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时答选择题时，必须使用必须使用 2B 铅笔填涂铅笔填涂；答非选择题时答非选择题时，必须使用必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整必须

2、在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）.一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合230,1,2,3,4Ax xxB，则AB RI（）A.3,4B.1,2C.2,3,4D.1,2,3【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，再求出其补集，然后可求得ABR.【详解】由230 xx，得03x，

3、所以03Axx，所以R0Ax x或3x，因为1,2,3,4B，所以AB RI3,4，故选：A2.若复数z满足2+323izzzz，则z=（）A.11i22B.11i22C.22iD.22i【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可【详解】设i,Rzab a b，则izab，所以 ii2zzababa，ii2 izzababb，所以2+346 i=23izzzzab，所以1111,i2222abz.故选：A3.已知函数()f x在3,2上单调递增，满足对任意xR，都有3322fxfx，若()f x在区间(,21)aa 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（）A.5,4B.

4、5,4C.51,4D.(,2【答案】C【解析】【分析】由题知函数()f x图像的对称轴是直线32x，进而得函数()f x在3,2上单调递减，再根据单调区间求解即可.【详解】解：由3322fxfx，得函数()f x图像的对称轴是直线32x，因为函数()f x在3,2上单调递增所以，函数()f x在3,2上单调递减，因为()f x在区间(,21)aa 上单调递减，则321221aaa，解得514a所以，实数 a 的取值范围为51,4.故选：C4.若12xy，则（）A.e3e3xyyxB.e3e3xyyxC.323233xyyxD.323233xyyx【答案】D【解析】【分析】构造函数=e3,1,2

5、tf tt t利用单调性可判断 AB；构造函数 32,1,23g ttt t利用单调性可判断 CD【详解】对于 AB：令=e3,1,2tf tt t，则=e3,1,2tftt，由 0ft得ln32t，由 0ft得1ln3t，所以 f t在1,ln3递减，在ln3,2递增，当1ln3xy时，f xfy，即e3e3xyxy，也即e3e3xyyx，则 A 错误；当ln32xy时，f xfy，即e3e3xyxy，也即e3e3xyyx，则 B 错误；对于 CD：令 32,1,23g ttt t，则 2360g ttt在1,2t上恒成立，所以 323g ttt在1,2上递减，又12xy，所以 g xg y

6、，即323233xxyy，也即323233xyyx，故 C 错误，D 正确；故选：D5.己知ABC中，其内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列结论正确的有（）A.若ABC为等边三角形且边长为 2，则2AB BC B.若满足()()abc abcab，则120CC.若2abc，则3CD.若222sinsincos1ABC，则ABC为锐角三角形【答案】B【解析】【分析】A.利用平面向量的数量积定义求解判断；利用余弦定理判断 B、C；D.由正弦定理将角化边，再利用余弦定理判断.【详解】解：对于 A：因为ABC为等边三角形且边长为 2，所以22 2 cos23 AB BC，故 A 错误；对于

7、 B：因为()()abc abcab，即222abcab，所以2221cos22abcCab，因为0,C，所以120C，故 B 正确；对于 C：因为2abc，可得22221cos222abcababCabab，当且仅当ab时取等号，因为0,C，所以03C，故 B 错误；对于 D：因为222sinsincos1ABC，即222sinsinsin0ABC，即2220abc，所以222cos02abcCab，则角C为锐角，但角A，角B不确定，故 D 错误；故选：B6.2022国家号召全民健身口号中提到：“儿童健身，天真活泼；青年健身，朝气蓬勃.”提倡学生走向操场、走进大自然、走到阳光下.为弘扬运动精

8、神，潜江中学特地每天开展课外文体活动.学校操场可供2000名学生运动，每周四有踢毽子、本草纲目健身操两种运动可供选择，经过调查发现，凡是这周选踢毽子的，下周会有30%的改选健身操；而选健身操的，下周会20%改选踢毽子.用,nna b分别表示在第n周选踢毽子的和健身操的人数，如果11200b，且2000nnab，则11b为（）A.800B.1000C.1200D.1400【答案】C【解析】【分析】由已知可得10.30.8nnnbab，推导得到112000.51200nnbb，由此可得1200nb，进而得到结果.【详解】由题意知：10.30.8nnnbab，又2000nnab，10.3 20000

9、.80.5600nnnnbbbb，即112000.51200nnbb，又11200b，1200nb，则111200b.故选：C.7.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，2ABADCD，2 2BD，BDCD，平面ABD 平面 BCD，则球 O 的体积为（）A.4 2 B.3 2C.4 3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于BC中点，再求出半径，利用球的体积公式得到答案.【详解】四面体ABCD的顶点都在的球O的球面上,且2,2 2ABADCDBD，BDCD，222ABADBD，22222 222 3BCBDCD,平面ABD 平面BCD,平面A

10、BD 平面BCDBD，CD 平面BCD，CD平面ABD，又AD 平面ABD，CDAD，2222222 2ACADCD，222 312BC,222222 212ABAC,222ABACBC,ACAB,取BC中点O,则112 3322OAOBOCODBC,球O的体积34(3)4 33V.故选：C.8.已知O是三角形ABC的外心，若2ACABAB AOAC AOm AOABAC ，且sinsin3BC，则实数m的最大值为（）A.6B.65C.145D.3【答案】D【解析】【分析】首先利用数量积公式以及外心的条件，对所给的式子进行化简得到2bcmAO，再结合正弦定理得到2 3bcAO，再消去AO得到2

11、12bcmbc，最后利用不等式即可求得.【详解】如图所示：设,ABc ACbBAOCAO.由题意可得，2coscosbcc AOb AOm AOcb ，化简可得coscosbcm AO，由O是三角形的外心可得，O是三边中垂线交点，则cos,cos22cbAOAO，代入上式得，222bcm AO，即2bcmAO依据题意，AO为外接圆半径，根据正弦定理可得，sin,sin22bcBCAOAO代入sinsin3BC得2 3bcAO，则221212bcbcmbcbc结合不等式可得2121234bcbcmbcbc，m的最大值为 3故选：D二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5

12、分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数=2sin 24fxx，下列结论正确的是（）A.函数 f x的最小正周期为2B.函数 f x的图象的一个对称中心为5,08C.函数 f x在区间30,8上单调递增D.函数 f x的图象向左平移38个单位后得到的是一个偶函数的图象【答案】BCD【解析】【分析】求出函数 f x的周期可判断 A；计算58f是否等于 0 可判断 B；求出函数 f x的单调递增区间可判断 C；根据图

13、象的平移规律可判断 D.【详解】对于 A，函数=2sin 24fxx的最小正周期为，故 A 错误；对于 B，当5=8x时，5=08f，故函数 f x的图象的一个对称中心为5,08满足条件，故 B 正确；对于 C，令+2 22+242kxkkZ，整理得：3+88kxkkZ，所以函数 f x在区间30,8上单调递增，故 C 正确；对于 D，函数 f x的图象向左平移38个单位后得到 3=2sin 2+=2cos244g xxx，函数 g x为偶函数，故 D 正确.故选：BCD.10.设非零向量a，b的夹角为，定义运算sina bab.下列叙述正确的是（）A.若0a b，则/a br rB.若1ab

14、，则min1a b C.设在ABC中，AB a =，ACb，则2ABCSa bD.abca ba c（c为任意非零向量）【答案】AC【解析】【分析】根据所给对定义及正弦函数的性质判断 A、B、C，利用特殊值判断 D.【详解】解：非零向量a，b的夹角为，定义运算sina bab，对于 A：若0a b，则sin0a bab，即sin0，又0,，所以0或，故 A 正确；对于 B：当1ab，则sinsina bab，因为0,，所以sin0,1a b，所以min0a b，故 B 错误；对于 C：在ABC中，AB a =，ACb，所以1sin2ABCSabA=，所以2ABCSa b，故 C 正确；对于 D

15、：sinabca bc 其中为a与bc的夹角，sina bab其中为a与b的夹角，sina cac 其中为a与c的夹角，则sinsina ba cabac ，令1,0a，0,2b，0,1c，此时2a b，1a c，1abc，则abca ba c 不成立，故 D 错误；故选：AC11.已知数列 na满足11a，且121nnnaaa，*nN，则（）A.数列 na为单调递增数列B.41029a C.112naD.设数列na的前n项和nS，则9918S【答案】BD【解析】【分析】由题意可知，0na，化简得出12111nnnaaa，即1nnaa，可判断 A 的正误，根据递推公式可以求出前四项的值，即可判

16、断 B 选项，通过21111nnnnnaaaaa，可以利用累加法，并放缩求出11,1nan即可判断 C 选项，根据 C 选项的结论，再次使用放缩法，2(1)nann，裂项相消求出,nS可判断 D 选项.【详解】选项 A，根据题意，因为121nnnaaa，且211,11naa，所以0na 21011na，则12111nnnaaa，所以1nnaa，所以数列 na为单调递减数列.故 A 错误.选项 B，123412101,2529aaaa，故 B 选项正确.选项 C，由121nnnaaa，得21111nnnnnaaaaa，1110,nnnnaaaa所以有123213243111111,aaaaaaa

17、aa，L111nnnaaa，将这n个等式相加，得：1231111nnaaaaaa，因为数列 na为 单调递减的数列，且11a 所以1231naaaan an，即1111nnaa，即111nna11,1nan112na，故 C 错误.选项 D，由 C 选项的得：1nan，所以12221nannnnn，所以22(1)1(1)(1)nnnannnnnn 2(1)nn 当2n时1232(21)(32)(1)nnSaaaann 2(1 1)n，所以数列na的前n项2(11)nSn，当99n 时，9918S故 D 正确.故选：BD【点睛】本题多次采用数列中的放缩法，以及求通项的累加法，求和的裂项相消，是一

18、道数列的综合题目.12.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E为线段1AA的中点，APABAD ，其中，0,1，则下列选项正确的是（）A.12时，11APEDB.14时，1B PPD的最小值为13C.1时，直线1AP与面11B D E的交点轨迹长度为22D.1时，1AP与平面1111DCBA所成的角不可能为3【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，根据向量运算的几何意义，确定点P的轨迹，根据线面垂直判定定理，可得答案；对于 B，同 A 确定点P的轨迹，将立体图形平面化，根据在平面内两点之间线段最短，可得答案；对于 C，根据平面向量共线定理推论，确定点P的轨迹，作图，确定直线1AP

19、与面11B D E的交点轨迹，利用等边三角形以及相似三角形的性质，可得答案；对于 D，根据线面夹角的定义，作图，根据正切函数的定义，计算其正切值的取值范围，可得答案.【详解】对于 A，取AD的中点F，BC中点G，连接1AF，1AG，FG，则FGAB ，因为APABAD ，12，0,1，所以APFGAF，即点P在线段FG上，因为E为线段1AA的中点，则1AEAF，故111AEDAFA，所以111AAFAD E，由于11111112AAFD AFAD ED AF，所以11AFD E，又因为GF 平面11ADD A，1AF 平面11ADD A，所以1GFD E，因为1GFAFF，所以1D E 平面1

20、AFG，1AP 平面1AFG，所以11APED，故 A 正确；对于 B，在AB上取点H，使得14AHAB，在DC上取点K，使得14DKDC，因为APABAD ，14，0,1，所以点P在线段HK上，将平面11B HKC与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图1，连接1B D交HK于点P，即三点共线时，1B PPD取得最小值，其中由勾股定理得：22135222B H，所以151322AB，所以2212313B D，故 B 正确；对于 C，APABAD ，,0,1，1，由向量共线定理的推论可得：点P在线段BD上，连接1AB，交1B E于点M，1AD，交1D E于点N，连接MN，则线段MN即为直线

21、1AP与平面11B D E的交点轨迹，其中1ABD为等边三角形，160BAD，由三角形相似可知：11112AMAEMBB B，而12 2AB，所以12 23AM，同理可得：12 23AN，所以1AMN为等边三角形，所以12 23MNAN，直线1AP与平面11B D E的交点轨迹长度为2 23，故 C 错误；对于 D，由 C 可知：点P在线段BD上，连接11B D，过点P作1/PQAA交11B D于点Q，连接1AQ，1AP，则PQ平面1111DCBA，即1PAQ为直线1AP与平面1111DCBA所成的角，在111Rt AB DV中，12,2AQ，1112tan1,2PQPAQAQAQ，由tan3

22、3，则13PAQ，故 D 正确；故选：ABD.【点睛】立体几何中的动点问题，关键在于明确点的运动轨迹，根据点、线、面的位置关系，以及线线角、线面角、面面角的定义，合理作图，利用几何性质，可解问题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知1sin23x，那么cos2x _【答案】79【解析】【分析】利用诱导公式可求得cosx的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2x的值.【详解】由诱导公式可得1sincos23xx，1cos3x，因此，2217cos22cos12139xx .故答案为：79.14.已知函数22()22 exf

23、 xaxxx，不论a为何值，曲线 yf x均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是_【答案】2y【解析】【分析】求出导函数，求出与a无关的导数值，可得切点与斜率，从而可得切线方程.【详解】由22()22 exf xaxxx，得2()2exfxaxx，则(0)0,(0)2ff，这两个值均与a无关，所以不论a取何值，曲线 yf x均存在一条固定的切线，此时切点为0,2，所以切线方程为2y，故答案为：2y 15.正方体1111ABCDABC D棱长为 3，点E满足12AEEAuuu ruuu r，动点M在正方体表面及内部运动，并且总保持1MDAC，则MAME的最小值为_.【答案】10【解析】【分析】

24、根据题意可证1AC 平面1ABD，即可得动点M在平面1ABD上运动，才能保持1MDAC，然后结合图形，即可求得其最小值.【详解】连接,AC BD因为1111ABCDABC D为正方体，则ACBD，1CC 平面ABCD且BD平面ABCD，则1CCBD，且1ACCCC，1,AC CC 平面1ACC，所以BD平面1ACC,且1AC 平面1ACC，所以1ACBD;同理可证1AB 平面11ABC，即得11ACAB，且1BDABB，所以1AC 平面1ABD，所以动点M在平面1ABD上运动，才能总保持1MDAC因为点A关于1AB的对称点为1B，连接1EB与直线1AB相交于点M，当点M在该位置时，11MAME

25、MBMEEB由12AEEAuuu ruuu r，可得11EA，且2211310EB 所以当1,E M B三点共线，MAME最小，且最小值为10，故答案为:1016.1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于 120时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 120），该点称为费马点.已知ABC中，其中60A，2BC，P为费马点，则PBPCPA的取值范围是_.【答案】2 3,2)3【解析】【分析】设,(060)PAm PBn PCtPAC，进而得到,

26、PBAPABPCA，然后在PBC中通过余弦定理得到n，t的关系式，在PAC和PAB中，通过正弦定理得到,t m的关系式和,m n的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.【详解】如图，根据题意，设,(060)PAm PBn PCtPAC，则=60PBAPABPCA，在PBC中，由余弦定理有2241cos12022ntnt ，也即4ntnt 在PAC中，由正弦定理有sinsin(60)tm，在PAB中，由正弦定理有sinsin(60)mn，故sinsin(60)sin(60)sinmtmn，则2ntm，由，24ntm，且2sin(60)sin4sinsin(60)mmm，所以2224

27、sin(60)sin1sinsin(60)m，设sin(60)sinx，则313cossin1222sintan2x，由题意，tan(0,3)，所以13(,)tan3，所以,()0 x，而2411xmx，由对勾函数的性质可知2412,)m，所以2 3(0,3m，由，22444PBPCPAmmmm在2 3(0,3上单调递减，所以2 3,2)3PBPCPA.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 na满足11a，且3718aa.（1）求数列 na的通项公式：（2）设11

28、nnnba a，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan；（2）21nnTn.【解析】【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出d，再根据等差数列通项公式求na即得；（2）由题可得1112 2121nbnn，再利用裂项相消法求和即得.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，1=1a，则由3718aa，得112618adad，解得=2d，所以11221nann；【小问 2 详解】由题可得111121 212 2121nbnnnn，所以111 111111232 352 2121nTnn11122121nnn.18.如图，在三棱柱中，12ABAACACB=，13BAA.（1）证明：

29、1ABAC；（2）若16AC，求二面角1AACB的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15.【解析】【分析】（1）设 O 为AB的中点，连接1,CO AO，先证明AB平面1AOC,根据线面垂直的性质及可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求得平面1AAC和平面1ACB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.【小问 1 详解】证明：设 O 为AB的中点，连接1,CO AO,因为12ABAACACB=，13BAA，则1,ABCAAB为正三角形，故1,COAB AOAB,11,COAOO CO AO平面1AOC,故AB平面1AOC,1AC 平面1AOC,所以1ABAC；【小

30、问 2 详解】由（1）可知13COAO,又16AC，即有21221COAAOC，故1COAO,故以 O 为坐标原点，以1,OA OAOC分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(10 0),(030),(10 0),(0 03)AABC，,故111(3,0),(03,3),(3,0)AACABA 1,1,设平面1AAC的法向量为(,)mx y z，则1130330m AAxym CAyz ，令3y，则(3,3,3)m，设平面1ACB的法向量为(,)na b c，则1130330n BAabn CAbc，令3b，则(3,3,3)n ，故31cos,5|1515m nm nm n ，由图可知

31、，二面角1AACB为锐角，故二面角1AACB的余弦值为15.19.已知函数 ln1,f xxaxaR.（1）已知函数 f x只有一个零点，求a的取值范围；（2）若存在00 x,，使得022f xa成立，求实数a的取值范围【答案】（1）1a 或0a；（2）,1【解析】【分析】(1)先求导，再对 a 分类讨论，研究函数的图像，求得 a 的取值范围.(2)先转化得到002ln1xax，再构造函数 2ln01xg xxx，再利用导数求函数 g(x)的最大值得 a 的取值范围.【详解】（1）1fxax，定义域为0,若0a 则 0fx，f x在0,上为增函数因为 10f，有一个零点，所以0a 符合题意；若

32、0a 令 0fx，得1xa，此时10,a单调递增，1,a单调递减 f x的极大值为1fa，因为 f x只有一个零点，所以10fa，即11ln10aaa，所以1a 综上所述1a 或0a.（2）因为00,x，使得022f xa，所以002ln1xax令 2ln01xg xxx，即 maxag x，因为 21ln11xxg xx设 1ln1h xxx，2110h xxx，所以 h x在0，单调递减，又 10h故函数 g x在0,1单调递增，1,单调递减，g x的最大值为 1g，11ag故答案为,1.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力

33、.(2)第 2 问的解题关键有两点，其一是分离参数转化为002ln1xax，其二是构造函数 2ln01xg xxx，再利用导数求函数 g(x)的最大值得 a 的取值范围.20.记nS为正项数列 na的前n项和，且333212nnaaaS.（1）证明：22nnnaaS；（2）记数列2nnaS的前n项积为nT，证明：数列 nT是递增数列.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当1n 时，求得11a，当2n时，由333212nnaaaS，得33321211nnaaaS，两式相减化简可证得结论；（2）由（1）可得当2n时，2211122nnnnnnnaaaaaSS，化简后可

34、得11nnaa，则可得数列 na是以 1 为公差，1 为首项的等差数列，所以可求出na，nS，令221nnnanbSn，从而可求出nT，然后求1nnTT即可得结论.【小问 1 详解】证明：当1n 时，322111aSa，因为0na，所以11a，当2n时，由333212nnaaaS，得33321211nnaaaS，所以3221111()()()nnnnnnnnnnaSSSSSSa SS，因为0na，所以212nnnnnaSSSa，所以22nnnaaS，当1n 时，11a 满足上式，所以22nnnaaS；【小问 2 详解】由（1）得22nnnaaS，则22nnnaaS，当2n时，2211122nn

35、nnnnnaaaaaSS，所以22112nnnnnaaaaa，所以22110nnnnaaaa，所以1110nnnnaaaa，因为0na，所以11nnaa，所以数列 na是以 1 为公差，1 为首项的等差数列，所以1(1)nann=+-=，(1)2nn nS，令222(1)12nnnannbn nSn，所以123nnTbbbb2 12 22 322341nn12322341nnn21nn，所以112221nnnnTTnn21221nnn2(1)(2)2(2)(1)nnnnn20(2)(1)nnnn，所以1nnTT，所以数列 nT是递增数列.21.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已

36、知2AB ACBA BCCA CB （1）求sinsinBC；（2）记ABC的面积为S，求2Sa的最大值【答案】（1）sin2sinBC（2）2Sa的最大值为22【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理可得出b、c的等量关系，再利用正弦定理可求得sinsinBC的值；（2）由三角形的面积公式以及余弦定理可得出2sin3 24cosSAaA，令20Sta，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可得出关于t的不等式，即可求得t的最大值.【小问 1 详解】解：因为2AB ACBA BCCA CB ，由平面向量数量积的定义可得cos2coscoscbAcaBbaC，即22222222

37、22222bcaacbabcbcacabbcacab，整理可得2bc，由正弦定理可得sin2sinBbCc.【小问 2 详解】解：212sinsin22SbcAcA，由余弦定理可得222222cos32 2cosabcbcAccA，所以，22222sinsin232 2cos3 24coscASAaccAA，令20Sta，即sin3 24cosAtA，可得223 2sin4 cos1 16sin1 16tAtAtAt，为锐角，且tan4t，所以，22181 16tt，解得202t，此时tan2 2，当2A时，t取得最大值22.故2Sa的最大值为22.22.已知数列 na和 nb，12a 且11

38、nnbna N，函数 ln 11mxf xxx，其中0m（1）求函数 f x的单调区间；（2）若数列 na各项均为正整数，且对任意的nN都有2112112nnnnaaaa求证：（）12nnaanN；（）531 23enbb bb，其中e2.71828为自然对数的底数【答案】（1）单调增区间为1,1m，单调减区间为1,m（2）（）、（）证明见解析【解析】【分析】（1）求导之后，分别令()0fx，0fx即可求得单调区间（2）（i）将已知恒成立的不等式化简之后再放缩得到121nnaa，又12nnaa为整数，则120nnaa，即得所证（ii）对所要证明的不等式两边同时取对数，等价转化为115ln 12

39、3nkk，利用（1）的结论可得ln 11xxx（1x ），赋值累加之后进一步将问题转化为证明115213nkk，对通项进行放缩，即可证明【小问 1 详解】211111xmmfxxxx（1x ），令 0fx得1xm因为0m，所以11m ，当1,1xm 时，0fx；当1,xm时，()0fx故函数 f x的单调递减区间为1,1m，单调递增区间为1,m【小问 2 详解】（i）法一法一：因为 na各项均为正整数，即1na，故112nnaa于是211112122112nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，又2112112nnnnaaaa，所以121nnaa，由题意12nnaa为整数，因此只能120nn

40、aa，即12nnaa（i）法二法二：由题，22111122111111212122222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa，因为 na各项均为正整数，即1na，故11022na，于是111,022na 且110,122na由题意12nnaa为整数，因此只能120nnaa，即12nnaa（ii）法一法一：由12a，得2nna，11112nnnba 原不等式532111115111eln 122223nnkk 由（1）知1m 时，ln 11xxx（1x ），取12kx 得11ln 1221kk因此只需证：11115ln 12213nnkkkk ，即证明115213nnkkS记121k

41、kc，则+1+1+1+1212111212222kkkkkkkkcccc1513S ；215133S ；当3n 时，1122222211111153211222312nnnSccccc 故原不等式成立（ii）法二法二：由12a，得2nna，11112nnnba 原不等式532111115111eln 122223nnkk 由（1）知1m 时，ln 11xxx（1x ），取12kx 得11ln 1221kk因此只需证：11115ln 12213nnkkkk ，即证明115213nnkkS1513S ；215133S ；当3k 时，24k，故4 213 2kk，即141213 2kk当3n 时，223311141441445158213213323333 2312nnnnkknkkS故原不等式成立【点睛】利用导数证明不等式，一般要结合所证不等式，抽象构造出函数，利用导数求出函数的单调性或最值，证明不等式成立，然后把已经证明的不等式替换，或应用得到需要证明的不等式，能力要求较高，属于难题.