浙江省嘉兴市第一中学2023届高三上学期期中检测数学试题含答案.pdf

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1、嘉兴一中嘉兴一中 20222022 学年第一学期期中考试学年第一学期期中考试高三年级数学试卷高三年级数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的分，在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符个选项中，只有一项是符合题目要求的。合题目要求的。1已知集合2|30Ax xx，1B，2，3，4，则()(RAB)A4B3，4C2，3，4D1，2，32已知2zi，则()(z zi)A2iB12iC62i D62i3设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为命题为假命题的是()A若m，/n，则mnB若/m，/m，n，则/mn

2、C若/，/m，则/mD若m，n，/mn，则/4已知aR，则“2a”是“|2|xxa恒成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5若P是圆22:(3)(3)1Cxy上任一点，则点P到直线1ykx距离的值不可能等于()A4B6C3 21D86已知数列na的前n项和为nS，且满足31nnaS，则4(S)A38B916C724D5167若函数()f xalnxbx在1x 处取得极值 2，则(ab)A4B2C0D28若0 x，0y，且11112xxy，则2xy的最小值为()A2B2 3C132D42 3二二、选择题选择题：（多选）本题共本题共 4 个小题个小题，每小题每

3、小题 5 分分，共共 20 分分。在每一小题给出的选项中在每一小题给出的选项中，有多项有多项符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有错选了得分，有错选了得 0 分。分。9已知平面直角坐标系中四点(0,1)A，(1,1)B，(2,7)C，(1,)Dt，O（北京）股份有限第 2 页 共 22 页为坐标原点，则下列叙述正确的是()A(1,0)AB B若OAOBOD ，则2t C当4t 时，A，B，D三点共线D若AC与BD 的夹角为锐角，则13t 10直线l与抛物线22yx相交于1(A x，1)y，2(B x，2)y，若OAOB，则()A直

4、线l斜率为定值B直线l经过定点COAB面积最小值为 4D124y y 11 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点M是11AD的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），1/PB平面25|,11QDDMC，点R到平面11ABB A的距离等于它到点D的距离，则()A点P的轨迹的长度为2B点Q的轨迹的长度为4CPQ长度的最小值为2 5152DPR长度的最小值为3 52012若对任意(0,)x，不等式33xealnx alna恒成立，则实数a可能为()A3eBeC3eD3e三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。

5、13函数2sin(2)6yx在区间0,2上的值域是14已知6()(21)xmx的展开式中2x的系数是 20，则实数m 15在四面体ABCD中，1ABCD，2BC，且ABBC，CDBC，异面直线AB，CD所成角为3，则该四面体外接球的表面积为16 设点1(P x，1)y在椭圆22182xy上，点2(Q x，2)y在直线280 xy上，则2121|xxyy的最小值为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinsin2A

6、CabA，2 3b（北京）股份有限第 3 页 共 22 页（1）求角B的大小；（2）求2ac的取值范围（北京）股份有限第 4 页 共 22 页18已知数列na中，11a，点(,)nnP n a对任意的*nN，都有1(1,2)nnP P，数列 nb满足141nnbS，其中nS为na的前n项和（1）求na的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和nT19已知正三棱柱111ABCA BC中，12ABAAD是棱11AC上一点（1）若1113ACAD，求直线BD与平面ABC所成角的正弦值；（2）若D是11AC中点，求点A到平面BCD的距离20根据中国海洋生态环境状况公报，从 2017 年到 2021 年全

7、国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为(1x x，2，3，4，5)，1tx，对数据处理后得：yt521iit521iiy51iiix y51iiit y60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型ybxa与模型dycx哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测 2022 年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)参 考 公 式：回 归 方 程yvxu中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为：1122211()()()nnii

8、iiiinniiiixxyyx ynxyvxxxnx，uyvx（北京）股份有限第 5 页 共 22 页21已知双曲线22221(0,0)xyabab，O为坐标原点，离心率2e，点(5,3)M在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且0OP OQ ，求22|OPOQ的最小值22已知函数2()(1)()2xf xax lnxaR（1）若2a，求曲线()yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）若()f x有两个极值点1x，212()xxx，且不等式12(2)102axx 恒成立，求实数的取值范围（北京）股份有限第 6 页 共 22 页嘉兴一中嘉兴一

9、中 20222022 学年第一学期期中考试学年第一学期期中考试高三年级数学高三年级数学参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1已知集合2|30Ax xx，1B，2，3，4，则()(RAB)A4B3，4C2，3，4D1，2，3【解答】解：由集合2|30(0,3)Ax xx，1B，2，3，4，(RA ，03，)，()3RAB，4故选：B2已知2zi，则()(z zi)A2iB12iC62i D62i【解答】解：2zi，()(2)(2)(2)(22)42262z ziiiiiiii 故选：D3设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是()A

10、若m，/n，则mnB若/m，/m，n，则/mnC若/，/m，则/mD若m，n，/mn，则/【解答】解：若m，则m与平行于的所有直线垂直，又/n，则mn，故A为真命题；若/m，过m的平面M与交于a，可得/ma，又/m，过m的平面N与交于b，可得/mb，则/ab，a，a，b，则/a，而n，可得/an，则/mn，故B为真命题；若/，/m，则/m或m，故C为假命题；若m，/mn，则n，又n，则/，故D为真命题故选：C4已知aR，则“2a”是“|2|xxa恒成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：函数|2|yxx的值域为2，)，则当2a时，|2|xxa不恒

11、成立，（北京）股份有限第 2 页 共 22 页要使|2|xxa恒成立，则2a，故2a是|2|xxa恒成立的必要不充分条件，故选：B（北京）股份有限第 3 页 共 22 页5若P是圆22:(3)(3)1Cxy上任一点，则点P到直线1ykx距离的值不可能等于()A4B6C3 21D8【解答】解：因为直线1ykx恒过定点(0,1)A点，当直线与AC垂直时，点P到直线1ykx距离最大，等于|ACr，又因为圆心坐标为：(3,3)，半径为 1，所以距离最大为22(3)(3 1)16，当直线与圆有交点时距离最小为 0，所以点P到直线1ykx距离的范围是：0，6，故选：D6已知数列na的前n项和为nS，且满足

12、31nnaS，则4(S)A38B916C724D516【解答】解：数列na的前n项和为nS，且满足31nnaS，所以112a，2123()1aaa，可得214a ，31233()1aaaa，可得318a，412343()1aaaaa，4116a ，则4111152481616S 故选：D7若函数()f xalnxbx在1x 处取得极值 2，则(ab)A4B2C0D2【解答】解：()f xalnxbx，()afxbx，又函数()f x在1x 处取得极值 2，则f（1）0ab，且f（1）2b，（北京）股份有限第 4 页 共 22 页所以2a ，2b，4ab 故选：A（北京）股份有限第 5 页 共

13、22 页8若0 x，0y，且11112xxy，则2xy的最小值为()A2B2 3C132D42 3【解答】解：（法一）11112xxy可变形为311332xxy，所以11313132(42)(33)(2)(33)(2)()22223322xyxyxxyxxyxxy13(2)3331314(42 3)323322222xyxxxy，当且仅当233xyx即13x，116y 时取等号，（法二）原式可得212xxyx，则213113111222322222222xxxyxxxxxx，当且仅当3122xx，即33x 时取“”故选：C二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题）9已知平面直角坐标系中四点(0

14、,1)A，(1,1)B，(2,7)C，(1,)Dt，O为坐标原点，则下列叙述正确的是()A(1,0)AB B若OAOBOD ，则2t C当4t 时，A，B，D三点共线D若AC与BD 的夹角为锐角，则13t 【解答】解：对于A，(0,1)A，(1,1)B，(10AB ，1 1)(1，0)，故A正确；对于B，(0,1)OA ，(1,1)OB ，(1,)ODt，OAOBOD ，011(1)t ，解得12t，故B正确；对于C，4t 时，(0,1)OA ，(1,1)OB ，(1,4)OD ，(1,0)AB ，(1,3)AD ，1(3)0(1)30 ，AB 与AD 不共线，即A，B，D三点共线，故C错误；

15、对 于D，(2,6)AC ，(2,1)BDt ，46(1)62AC BDtt ，|2 10AC ，2|25BDtt，（北京）股份有限第 6 页 共 22 页 AC与BD 的夹角为锐角，cosAC，26202 1025tBDtt，即620t，13t ，当/ACBD 时，2(1)6(1)0tt，即1t ，所以13t 且1t ，故D错误故选：AB10直线l与抛物线22yx相交于1(A x，1)y，2(B x，2)y，若OAOB，则()A直线l斜率为定值B直线l经过定点COAB面积最小值为 4D124y y 【解答】解：可设直线l的方程为xmyt，0t，与抛物线22yx联立，可得2220ymyt，则2

16、480mt，122yym，122y yt，221212()4y yx xt，因为OAOB，所以2121220 x xy ytt，解得2t，则直线l恒过定点(2,0)，且124y y ；OAB的面积为2212121212|()4416 42Syyyyy ym，当0m 时，S取得最小值 4故选：BCD11 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点M是11AD的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），1/PB平面115,|2MC D DQ，点R到平面11ABB A的距离等于它到点D的距离，则()A点P的轨迹的长度为2B点Q的轨迹的长度为4CPQ长度的最小值为2 5152D

17、PR长度的最小值为3 520【解答】解：对于A，对BC的中点N，连接AN，1B N，则1/ANMC，11/ABDC，/AN平面1DMC，1/AB平面1DMC，又/AN平面1DMC，1/AB平面1DMC，1ANABA，平面1/ANB平面1DMC，（北京）股份有限第 7 页 共 22 页又点P在底面四边形ABCD内（包含边界），1/PB平面1MC D，点P的轨迹为线段AN，2222151()22ANABBN，点P的轨迹的长度是52，故A错误；对于B，连接DQ，Q在底面ABCD上，15|2DQ，22222151()2DQDDDQ，解得12DQ，点Q的轨迹是以D为圆心，以12为半径的14圆，如图，点Q

18、的轨迹的长度为112424，故B正确；对于C，过点D作DPAN 于P，交点Q的轨迹于Q，此时P Q 的长度就是PQ长度的最小值，BAP D，BANADP，ABNDP A，ADDPANAB，1152DP，解得2 55DP，2 5152P QDPDQ ，PQ长度的最小值为2 5152，故C正确；对于D，点R到平面11ABB A的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线AB的距离等于点R到平面11ABB A的距离，点R到直线AB的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标

19、系，如图，则1(0,)2D，(A0，1)2，(1,0)N，直线AB的方程为12y ，直线AN的方程为210 xy，则抛物线的方程为22xy，设直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为20 xyn，联立2202xynxy，整理得224(42)0ynyn，22(42)160nn，解得14n ，（北京）股份有限第 8 页 共 22 页直线l的方程为1204xy，则直线AN与直线l的距离为22113 54201(2)d，直线AN与直线l的距离为3 520，故D正确故选：BCD12若对任意(0,)x，不等式33xealnx alna恒成立，则实数a可能为()A3eBeC3eD3e【解答】解：33xea

20、lnx alna，即为33()()xea lnalnxaln ax，（北京）股份有限第 9 页 共 22 页即3()3()xln axxeln ax e，设()xf xxe，0 x，即有(3)()fxf ln ax由()f x的导数()(1)xfxxe，因为0 x，所以()0fx，()f x在(0,)上递增，所以3()x ln ax，即3xeax恒成立设3()xeg xx，则32(31)()xexg xx，当13x 时，()0g x，()g x递增；当103x时，()0g x，()g x递减，所以()g x在13x 处取得极小值，且为最小值，最小值为3e所以3ae，故选：ABC三填空题（共三填

21、空题（共 4 小题）小题）13函数2sin(2)6yx在区间0,2上的值域是 1，2【解答】解：由于0,2x，所以72,666x，故1sin(2),162x，故2sin(2)1,26yx 即函数的值域为 1，2故答案为：1，214已知6()(21)xmx的展开式中2x的系数是 20，则实数m 815【解答】解：6()(21)xmx的展开式中2x系数是55424662(1)2(1)20CCm ，（北京）股份有限第 10 页 共 22 页解得：815m 故答案为：815（北京）股份有限第 11 页 共 22 页15在四面体ABCD中，1ABCD，2BC，且ABBC，CDBC，异面直线AB，CD所成

22、角为3，则该四面体外接球的表面积为163或8【解答】解：将四面体ABCD放到长方体中，则D在长方体的后侧面内，异面直线AB，CD所成角为3，/CEAB，3ECD或23，即D为图中1D或2D，设AC中点为H，四面体ABCD的外接球的球心为O，球的半径R，则由对称性可知：球心O在过H且垂直于平面ABC的垂线上，并且ROCOD，建立如图的空间右手直角坐标系，1ABCD，2BC，设1(2O，1，)t，0t，又(0C，0，0)，11(2D，0，3)2，21(2D，0，3)2，222ROCOD，2221311()42Rtt 或2221311 1()42Rtt ，解得12 3t 或32t，243R或22R，

23、该四面体外接球的表面积为21643R或8故答案为：163或816 设点1(P x，1)y在椭圆22182xy上，点2(Q x，2)y在直线280 xy上，则2121|xxyy的最小值为2【解答】解：设12 2cosx，12siny，0，2)，则212122|2 2cos|2sin|xxyyxy221(2|2 2cos|2|2sin|)2xy221(|2 2cos|2|2sin|)2xy221|2 2cos22 2sin|2xy1|84sin()|224，当且仅当sin()14，22 2cos0 x时取最小值，即4时，(2,1)P，(2,3)Q；故2121|xxyy的最小值为 2，故答案为：2四

24、解答题（共四解答题（共 6 小题）小题）17 在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA，2 3b（1）求角B的大小；（2）求2ac的取值范围（北京）股份有限第 12 页 共 22 页【解答】解：（1）ACB，sinsin2ACabA，sinsin2BabA，cossin2BabA，sincossinsin2BABA，cossin2sincos222BBBB，1sin22B，3B，（2）由正弦定理得2 34sinsinsin32bacBAC，2313128sin4sin8sin4()8sin4(cossin)6sin2 3cos4 3(sincos)3

25、2222acACAinAAAAAAAA4 3sin()6A，当且仅当62A，sin()(06A，3)2，2(0,6)ac 18已知数列na中，11a，点(,)nnP n a对任意的*nN，都有1(1,2)nnP P，数列 nb满足141nnbS，其中nS为na的前n项和（1）求na的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和nT【解答】解：（1）1111(1,)(,)(1,)(1,2)nnnnnnnnP POPOPnan aaa ，可得12nnaa，na是公差为 2 的等差数列，*12(1)21,nannnN；（2）由（1）可得2(1)22nn nSnn，21111()412 2121nbnnn，

26、1211111111(1)()()()233523212121nnTbbbnnnn11(1)22121nnn19如图，已知正三棱柱111ABCA BC中，12ABAAD是棱11AC上一点（1）若1113ACAD，求直线BD与平面ABC所成角的大小；（2）若D是11AC中点，求点A到平面BCD的距离【解答】解：（1）在侧面11ACC A内作1/DEAA，交棱AC于点E因111ABCA BC是正三棱柱，故1AA 平面ABC，从而DE 平面ABC联结BE，则DBE为所求线面角，另一方面，由1/DEAA且1DEAA得1111233AEADAC，故在ABE（北京）股份有限第 13 页 共 22 页中，由

27、余弦定理得，222282cos39BEABAEAB AE，因为DE 平面ABC，而BE在平面ABC内，所以DEBE于是13 7tan7AADEDBEBEBE，故直线BD与平面ABC所成角的正弦值为43（2）设所求距离为d，则3A BCDBCDVdS而211132 3223343A BCDD ABCABCVVAA S，故2 3BCDdS由题意得，5CD，7BD，故在BCD中，由余弦定理得2224cos235BDCDBCBDCBD CD，从而19sin35BDC，因此，119sin22BCDSBD CDBDC，故点A到平面BCD的距离4 5719d 20根据中国海洋生态环境状况公报，从 2017

28、年到 2021 年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为(1x x，2，3，4，5)，1tx，对数据处理后得：yt521iit521iiy51iiix y51iiit y60.51.52107617（1）根据散点图判断，模型ybxa与模型dycx哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测 2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)参考公式：回归方程yvxu中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()nniiiiiinniiiixxyy

29、x ynxyvxxxnx，uyvx【解答】解：（1）根据散点图的趋势，可知模型适宜作为y关于x的回归方程（北京）股份有限第 14 页 共 22 页（2）515222151750.4563.57.181.550.450.48755iiiiit ytydtt 8，67.1790.452.77cydt2，故y关于t的回归方程为7.182.77yt28 t，即y关于x的回归方程为7.182.77yx28x，2022 年对应的年份代码为6x，7.182.773.976y 3，故预计 2022 年全国直排海污染物中的氨氮总量为 3 吨（北京）股份有限第 15 页 共 22 页21已知双曲线22221(0,

30、0)xyabab，O为坐标原点，离心率2e，点(5,3)M在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且0OP OQ ，求22|OPOQ的最小值【解答】解：（1）由离心率2e，点(5,3)M在双曲线上，可得2ca，222abc，22531ab，解得2a，2 3b，4c，可得221412xy；（2）由0OP OQ ，可得OPOQ，可设OP的方程为ykx，OQ的方程为1yxk，由22312ykxxy解得22123xk，222123kyk，则22212(1)|3kOPk，将上式中的k换为1k，可得22212(1)|31kOQk，2133k，所以22222

31、224(1)|(3)(31)kOPOQkk，可令241(4)3ktt，则21kt，所以222222224242424|161611(4)(34)31616316()12ttOPOQttttttt，当2t 即21k 时，22|OPOQ的最小值为 24（北京）股份有限第 16 页 共 22 页22已知函数2()(1)()2xf xax lnxaR（1）若2a，求曲线()yf x在点(1，f（1）)处的切线方程；（2）若()f x有两个极值点1x，212()xxx，且不等式12(2)102axx 恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）若2a，则2()2(1)2xf xx lnx，1()2(1)2

32、fxlnxxxlnxxx，则切线的斜率为f（1）1，又13(1)222f ，所以曲线()yf x在点(1，f（1）)处的切线方程是3()12yx，即502xy；（2）1()(1)fxa lnxxxalnxxx，由条件知1x，2x是方程()0fx的两个根，所以112200alnxxalnxx，则2112xxalnxlnx，所以12211121212221(2)22111222xxxxaxxxxlnxlnxxxlnxx 设12xtx，分析可知t的取值范围是(0,1)，则0lnt，不等式(2)(1)10(2)ttlnt 恒成立，等价于(2)(1)02tlntt恒成立，设(2)(1)()2th tlntt，则()0h t 恒成立，22222224(1)()1(2)(2)(2)4()(2)(2)(2)tttth ttttttt，()i若24，则204t，所以()0h t，()h t在(0,1)上单调递增，所以()h th（1）0恒成立，所以(，22，)符合题意；()ii若24，则()h t在2(0,)4上单调递增，在2(,1)4上单调递减，所以当t的取值范围是2(,1)4时，()h th（1）0，不满足()0h t 恒成立综上，实数的取值范围是(，22，)