广东省四校（珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学）2022-2023学年高三第二次联考数学试题含答案.pdf

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1、 第 1绝密绝密启用前启用前20222023 学年 20222023 学年 珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学 高三第二次联考 数学 试题 高三第二次联考 数学 试题 说明：本试卷共 2 面，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡相应位置将考号对应信息点涂黑.2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后

2、，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每题只有一项符合题目要求一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每题只有一项符合题目要求 11已知集合2|60AxN xx ，(2,2)B ，则AB（）A(2,2)B1 C 1,0,1 D0,1 22复数z满足(1)|1|zii，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 33已知向量(2,2)am，(2,5)bm，则“1m”是“/ab”的（）A充分必要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 44已知函数22()log(

3、45)f xxx，则函数()f x的单调递增区间为（）A(,2)B(52)，C(21)，D(2,)55已知如图，ABC 是ABC用斜二测画法画出的直观图，其中2OAOB ，3OC,则ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的封闭几何体的表面积为（）A8 3 B16 3C(8 33)D(16 312)66已知定义在R上的函数()f x是偶函数，且在0,)上是增函数，且(1)0f，则不等式2(log)0fx 的解集为（）A(2,)B1(0,)2 C1(,1)(2,)2 D1(0,)(2,)277若不等式2ln0 xxax恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）ln3ln2(3,2)32ln3ln23,2

4、32ln3ln23,2)32ln3ln2(3,232sin2yx(0)2()f x()f x0,3()f x5(,)126(,6 4(,12 4(,)6 2(,)12 2,a b c0ab11ab22acbc22ac2lglg()aabABC,A B C,a b cAB|cos|cos|BA222abcABCcoscoscaBbA:1:1:4A B C:1:1:3a b c M1111ABCDABC D11ADD AM1CMADM1DD1|MAMB3 11ADM1BMCD301|2MDMDMsinyAt1()sinsin22f xxx()f xx()f x,4 4()f x3 342127()

5、()16f xf x 12 min2|3xxyACOBx 面(共 2 面)1 2|60AxN xx (2,2)B AB(2,2)1 1,0,10,1z(1)|1|zii z(2,2)am(2,5)bm1m/ab22()log(45)f xxx()f x(,2)(52)，(21)，(2,)ABC ABC2OAOB 3OC ABCAB8 316 3(8 33)(16 312)R()f x0,)(1)0f2(log)0fx(2,)1(0,)21(,1)(2,)21(0,)(2,)22ln0 xxaxaAln3ln2(3,2)32Bln3ln23,232Cln3ln23,2)32Dln3ln2(3,2

6、328 8将函数sin2yx的图象向右平移(0)2个单位长度得到()f x的图象，若函数()f x在区间0,3上单调递增，且()f x的最大负零点在区间5(,)126上，则的取值范围是()A(,6 4 B(,12 4 C(,)6 2 D(,)12 2二、二、多项多项选择题：共选择题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9 9设,a b c是实数，且0ab，则下

7、列不等式恒成立的是（）A.11abB.22acbcC.22acD.2lglg()aab1010在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，下列说法正确的是（）A.若AB，则|cos|cos|BA B.若222abc,则ABC为锐角三角形 C.等式coscoscaBbA恒成立 D.若:1:1:4A B C,则:1:1:3a b c 1111如图，点M是棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中的侧面11ADD A上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A.存在无数个点M满足1CMADB.当点M在棱1DD上运动时，1|MAMB的最小值为3 1 C.在线段1AD上存在点M，使

8、异面直线1BM与CD所成的角是30D.满足1|2MDMD的点M的轨迹是一段圆弧 1212声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数1()sinsin22f xxx，则下列结论正确的有（）A.()f x的图象关于直线x 对称 B.()f x在,4 4上是增函数C.()f x的最大值为3 34 D.若2127()()16f xf x，则12 min2|3xxyACOBx 第 2三三、填空填空题：共题：共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分请将答案填写在答

9、题卡相应的位置上请将答案填写在答题卡相应的位置上 1313已知函数22,2()log(1),2xexf xxx，其中e是自然对数的底数，则(5)f f .1414已知在ABC中，2AB，2 2AC，045BAC,P为线段AC上任意一点，则PB PC的取值范围是 .1515 已知定义在R上的函数()f x是奇函数，且满足(3)()fxf x，(1)3f，数列 na满足11a，且*1()()nnnan aanN，则20222023()()f af a .1616已知正四面体ABCD的棱长为 1，棱/AB平面，则正四面体上所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 .四四、解答解答题：共题：共

10、6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必须把过程写在答题必须把过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.1717（满分 10 分）已知nS是等差数列na的前n项和，且95Sa.（1）若34a，求数列na的通项公式；（2）若10a，求当nS取得最大值时n的值.1 18 8（满分 12 分）已知函数2()2 3sin cos2cos1f xxxx.（1）若()3f，且(0,)，求的值；（2）若对任意的,12 2x，不等式()3f xm恒成立，求实数m的最小值

11、.1919（满分 12 分）习总书记指出“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某水果树的单株产量U(单位：千克)与施用发酵有机肥费用30 x(单位：元)满足如下关系：23,02()10,251xxU xxxx，这种水果树单株的其他成本总投入为 100 元.已知该水果的市场售价为 75 元/千克，且销路畅通，供不应求，记该种水果树的单株利润 为()f x(单位：元).()f xnanSnan11nnSqS0q*nN22a3a22a na nb21nnba253b nbnnT*143()3nnnnTnNPABCD/ADBC090AD

12、CPAB12BCCDADEADPACDPABMCMPBEP CDA045PAPCE()2xf xaex()ln(2)2g xxa xaR()f x()g xa()()()2ln2F xf xg xaaEDCBAP 面(共 2 面)2 22,2()log(1),2xexf xxxe(5)f fABC2AB 2 2AC 045BACPACPB PCR()f x(3)()fxf x(1)3f na11a*1()()nnnan aanN20222023()()f af aABCD/ABnSnan95Sa34a na10a nSn2()2 3sin cos2cos1f xxxx()3f(0,),12 2

13、x()3f xmmU30 x23,02()10,251xxU xxxx()f x（1）求函数()f x的解析式；（2）当投入的发酵有机肥费用为多少元时，该种水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？2020（满分 12 分）已知数列na的首项为 1，nS为数列na的前n项和，11nnSqS，其中0q，*nN.（1）若22a，3a，22a 成等差数列，求na的通项公式；（2）设数列 nb满足21nnba，且253b，数列 nb的前n项和为nT，证明：*143()3nnnnTnN.2121（满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ADBC，090ADCPAB，12BCCDAD.E为边AD的中

14、点，PACD.（1）在平面PAB内找一点M，使得 直线CM平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P CDA的大小为045，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.2222（满分 12 分）已知函数()2xf xaex 和()ln(2)2g xxa x，aR.（1）若()f x与()g x有相同的最小值，求实数a的值；（2）设()()()2ln2F xf xg xa有两个零点，求实数a的取值范围.EDCBAP绝密绝密启用前启用前2022202220232023 学年学年 珠海市实验中学珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学、中山市实验中学

15、 高三第二次联考高三第二次联考 数学数学 参考参考答案与评分标准答案与评分标准 一一、选择题：、选择题：题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 D A C B B D D B AD ACD AD BCD 8 8【解析】【解析】依题意()sin(22)f xx在0,3上单调递增，所以222k 且22232k，其中kZ，解得124kk.因为02，所以124.()f x的零点为2kx()kZ，最大负零点在区间5(,)126上，所以51226k，解得512262kk.因为02，所以123.综上得的取值范围是(,12 4.1111【解析】【解析】对 A，若M在1AD上，

16、此时必有1CMAD，证明如下：CD 平面11ADD A，所以1CDAD，又11ADAD，则1AD 平面1ADC，1ADCM，即 A 正确；对 B，如图，旋转面11ADD A使之与面11BBDD共面，连接1AB交1DD于M，此时1|MAMB最短为1AB，大小为42 2，故 B 错误，对 C，当M在1AD和1AD交点处时，此时直线1BM与CD所成的角即直线1BM与11AB所成角，此时此异面直线所成最小，其正切值为22，即最小角大于30，故不存在，即 C 错误，对 D，在面11ADD A上建立直角坐标系，设111(,0),(,0)22DD，设(,)M x y，由1|2MDMD整理可得：2251034

17、xyx，根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故 D 正确。故选：AD.11(2)sin(2)sin2(2)sinsin2()22fxxxxxf x fxx2()coscos22coscos1(2cos1)(cos1)fxxxxxxx ,4 4x 2cos2x()0fx()f x,4 4sinyx21sin22yx1()sinsin22f xxx20,2()0fx1cos2x cos1x(0,)3x5(,2)3x1cos12x()0fx()f x(0,)35(,2)35(,)33x11cos2x()0fx()f x5(,)335()(0)(2)()33ffffmax3 3()()34f xfmi

18、n53 3()()34f xf 12273 33 3()()164)4f xf x 13 3()4f x23 3()4f x 3 3(2)34fm53 3(2)34fn,m nZ12min23xx2e1,4232 1,42ABCD22ABCDAB/CDCDGHmax1222AB GHAB CDSCDAB()sin(22)f xx0,3222k 22232kkZ124kk02124()f x2kx()kZ5(,)12651226k 512262kk 02123(,12 4M1AD1CMADCD 11ADD A1CDAD11ADAD1AD 1ADC1ADCM11ADD A11BBDD1AB1DDM

19、1|MAMB1AB42 2M1AD1AD1BMCD1BM11AB223011ADD A111(,0),(,0)22DD(,)M x y1|2MDMD2251034xyxM1212【解解析析】对 A，11(2)sin(2)sin2(2)sinsin2()22fxxxxxf x ，所以 fx的图象不关于直线x对称，所以 A 错误；对 B，2()coscos22coscos1(2cos1)(cos1)fxxxxxxx，当,4 4x 时，2cos2x，则()0fx，所以()f x在,4 4上是增函数，所以 B 正确；对 C，因为sinyx的周期为2，1sin22yx的周期为，所以1()sinsin22

20、f xxx的周期为2，不妨取一个周期0,2 上求其最值，令()0fx得1cos2x 或cos1x，当(0,)3x或5(,2)3x时，1cos12x，此时()0fx，所以()f x在(0,)3和5(,2)3上递增；当5(,)33x时，11cos2x，此时()0fx，但不恒为零，所以()f x在5(,)33上递减，又 5()(0)(2)()33ffff，所以max3 3()()34f xf，min53 3()()34f xf，所以 C 正确；对 D，若12273 33 3()()164)4f xf x ，不妨取13 3()4f x，23 3()4f x，因为 3 3(2)34fm，53 3(2)3

21、4fn，,m nZ，则12min23xx，故 D 正确。故选 BCD。二二、填空填空题：题：13132e 1 14 41,42 15.15.31 16 6.2 1,421 16 6.【解析】【解析】根据正四面体的特性，易知异面直线AB与CD之间的距离为22。将正四面体ABCD绕棱AB旋转，当棱/CD平面时，CD在平面内的射影最长，记为GH,此时正四面体上所有点在平面内射影构成的图形面积最大，且max1222AB GHAB CDS；随着CD绕AB旋转的过程中，CD在平面内的射影越来超短。当CD 平面时，CD在平面内的射影重合。所得的射影图形是以AB为底，异面直线AB与CD之间的距离为高的三角形，

22、此时射影构成的图形面积最小，即min1221224S 24；所以此正四面体上所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是2 1,42。三三、解答解答题：题：1717解:（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，1 分 根据题意有1119 89(4)224adadad，3 分 解得182ad，4 分 则8(1)(2)210nann ，即等差数列 na的通项公式为210nan；5 分（2）由95Sa得1959()2aaa，即559aa，从而50a，6 分 即140ad，从而14ad，则1(1)(5)naandnd，7 分 因为10a，所以0d，8 分 由100nnaa得(5)0(4)0ndn

23、d，解得45n，又*nN，则4n 或5n，所以当nS取得最大值时n的值为4或5.10 分 1 18 8.解：（1）由题意得()3sin2cos222sin(2)26f xxxx，2 分 由()3f得2sin(2)236，解得1sin(2)62，3 分(0,)132(,)666526633,12 2x72,636x1sin(2),162x 1()4f x()3f xm43m7m7()75()30100f xU xx27530125,02()75030100,251xxxf xxxxx27530125,02()75065030,251xxxf xxxx02x221()753012575()1205

24、f xxxxmax()(2)365f xf25x25()68030(1)68060 253801f xxx2511xx 4x max()(4)380f xf4x max()380f x3120 x CDCD，CDABABCDmin1221224S 242 1,42 na1ad1119 89(4)224adadad 182ad 8(1)(2)210nann na210nan95Sa1959()2aaa 559aa50a 140ad14ad1(1)(5)naandnd10a 0d 100nnaa(5)0(4)0ndnd45n*nN4n 5n nSn45()3sin2cos222sin(2)26f

25、xxxx()3f2sin(2)2361sin(2)62由(0,)得132(,)666，4 分 所以5266，解得3，即的值为3.6 分（2）由,12 2x得72,636x，7 分 则1sin(2),162x，从而1()4f x，9 分 要使不等式()3f xm恒成立，只需43m，10 分 解得7m，11 分 故实数的最小值为7。12 分 1 19 9.解：（1）由题意得：()75()30100f xU xx，1 分 即27530125,02()75030100,251xxxf xxxxx，4 分 化简得27530125,02()75065030,251xxxf xxxx；5 分(若未化简，若未

26、化简，第第（1 1）小题满分为）小题满分为 4 4 分分)（2）当02x时，221()753012575()1205f xxxx，此时 max()(2)365f xf；7 分 当25x时，25()68030(1)68060 253801f xxx，当且仅当 2511xx，即4x 时等号成立。此时max()(4)380f xf；10 分 综合知当4x 时，max()380f x，此时3120 x，即当投入的发酵有机肥费用为 120 元时，该种水果树单株获得的利润最大，最大利润是 380 元。12 分 20（1 1）解：解：由11nnSqS得211nnSqS，两式相减得21(1)nnaqan，1

27、分 由211SqS可得21aqa，故1nnaqa对所有*nN都成立，2 分 所以数列na是首项为 1，公比为 q 的等比数列，从而1=nnaq，3 分 由22a，3a，22a 成等差数列可得322=32aa，化简得22320qq，又0q，解得=2q，1=-2q（舍去），4 分 所以1*2()nnanN.5 分（2）由题意可知22(1)11nnnbaq，6 分 由253b 可得2513q，解得43q，43q（舍去），7 分 又222(1)114441+1333nnn，则2(1)1441+33nn，即1*4()3nnbnN，9 分 则112414431+43313nnnbbb，11 分 即*143

28、()3nnnnTnN。12 分 21.解：解：（1）由/ADBC，12BCAD可得四边形ABCD为梯形，从而AB与CD不平行。延长AB与CD相交于点M，则M 平面PAB，从而点M即为所求的一个点。2 分 理由如下：由E为边AD的中点可得12EDADBC，由/ADBC可得/EDBC，从而 四边形BCDE是平行四边形，所以/BECM。4 分 又CM 平面PBE,BE 平面PBE，则/CM平面PBE。5 分 PACDADCDPAADACD PADCDPDPDAP CDA045PDAPACDPAAB,AB CDPA ABCD1BC Rt PAD2PAADA(0,0,0)A(0,0,2)P(2,1,0)

29、C(1,0,0)E(1,0,2)PE(1,1,0)EC(0,0,2)AP PCE(,)nx y z00n PEn EC200 xzxy2xzxy 2x(2,2,1)n PAPCE222|21sin3|22(2)1n APnAP PAPCE13()2xf xaex()1xfxae0a()0fx()f x0a()0fxlnxa()f x(,ln)a(ln,)amin()(ln)ln1f xfaa0a()g x(2,)11()122xg xxx()0g x1x ()g x(2,1)(1,)min()(1)1 lng xga MPABCDEyxzEDCBAP11nnSqS211nnSqS21(1)nn

30、aqan211SqS21aqa1nnaqa*nNna1=nnaq22a3a22a 322=32aa22320qq0q=2q1=-2q1*2()nnanN22(1)11nnnbaq253b 2513q43q43q222(1)114441+1333nnn2(1)1441+33nn1*4()3nnbnN112414431+43313nnnbbb*143()3nnnnTnN/ADBC12BCADABCDABCDABCDMM PABMEAD12EDADBC/ADBC/EDBCBCDE/BECMCM PBEBE PBE/CMPBE（说明：延长说明：延长 APAP 至点至点 N N，使得，使得 AP=PNA

31、P=PN，则所找的点可以是直线，则所找的点可以是直线 MNMN 上任上任意一点意一点）（2）由PACD，ADCD且PAADA得CD 平面PAD，从而CDPD，则PDA为二面角P CDA的平面解，从而045PDA；6 分 由PACD，PAAB且,AB CD相交得PA 平面ABCD，7 分 设1BC，则在Rt PAD中，2PAAD，以点A为坐标原点建立图示空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(2,1,0)C，(1,0,0)E，8 分 所以(1,0,2)PE，(1,1,0)EC，(0,0,2)AP，设平面PCE的法向量为(,)nx y z，由00n PEn EC 得200 xzxy

32、，即2xzxy，令2x，则(2,2,1)n，10 分 设直线PA与平面PCE所成角为，则222|21sin3|22(2)1n APnAP ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13。12 分 22解：解：（1）()2xf xaex 由得()1xfxae，当0a 时，()0fx，()f x在 R 上单调递减，无最值，不合题意，舍去；1 分 当0a 时，令()0fx，则lnxa，()f x在(,ln)a 上单调递减，在(ln,)a上单调递增，从而 min()(ln)ln1f xfaa，3 分 由0a 知()g x的定义域为(2,)，11()122xg xxx，令()0g x，则1x ，()g

33、x在(2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，从而min()(1)1 lng xga，MPABCDEyxzEDCBAP4 分 则有ln1 1 lnaa ，解得ae。5 分（2）由题意可知0a，()ln(2)ln2(2)xF xaexax，由()0F x 得ln(2)ln20 xaexa，则lnln(2)2xaeax，即lnln(2)2xaexaxx ，则)ln(2)2(ln()xxaeaexx，7 分 lnyxx在(0,)上单调递增，则2xaex，原问题转化为()2xf xaex 在(2,)上有两个零点。8 分 由()20 xf xaex 得2xxae，则直线ya与曲线2()(2)xxh xxe 有两个不同交点。9 分 由2()xxh xe得1()xxh xe，从而当21x 时，()0h x；当1x 时，()0h x；当1x 时，()0h x。则当1x 时，()h x取得极大值，也是最大值，且max()(1)h xhe。11 分 又当2x 时，()0h x；当2x 时，()0h x 且当x 时，()0h x，则0ae，即a的取值范围为(0,).e 12 分