福建省三明第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、第 1页/共 6页学科网（北京）股份有限公司三明一中三明一中 2022-20232022-2023 学年学年上学期半期考上学期半期考高三数学科试卷（考试时间：120 分钟，满分 150 分）注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40

2、 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合2Z4Axx，21,1,ZBx xkkk，则ABA.1,1B.1,3C.1,1,3D.1,0,1,32.已知直线420mxy与直线250 xyn互相垂直，垂足为1,p.则mnp等于A.24B.20C.4D.03.九章算术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较

3、少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？A.13B.23C.16D.564.已知圆2200:4,O xyM xy为圆 O 上位于第一象限的一点，过点 M 作圆 O 的切线l当 l 的横纵截距相等时，l 的方程为A.2 20 xyB.202xyC.4 20 xyD.2 20 xy5.已知22ab，且02ab，则112abab的最小值为A.2B.3C.4D.56.f x为R上的偶函数，0 x 时，exf x，1ln,3af31log,ebf第 2页/共 6页学科网（北京）股份有限公司1e1log9cf则下述关系式正确的是（）A.bacB.bcaC.cabD.abc7

4、.ABC中，若235CACBABAB ，则tantanAB的值为A.2B.4C.3D.2 38.已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别是12,F F，过点1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点，现将平面12AFF沿12FF所在直线折起，点A到达点P处，使二面角12PFFB的平面角的大小为30，且三棱锥12PBFF的体积为216a c，则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5二、多选题二、多选题(本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得选项

5、符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。)9.已知抛物线22ypx0p 的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于11,A x y，22,B xy两点，若,2M m是线段AB的中点，则A4p B抛物线的方程为216yxC直线l的方程为24yxD=10AB10.已知数列 na满足11a，123nnnaanaN，则A.13na为等比数列B.na的通项公式为1123nnaC.na为递增数列D.1na的前 n 项和2234nnTn11.已知函数 sincos2f xxx，则下列结论正确的是（）A.函数 f x的图像关于原

6、点对称B.函数 f x在,02上单调递增C.函数 f x在0,上的值域为91,8D.函数 f x在,上有且仅有3个零点12.在四棱锥PABCD中，已知1ABBDAD，216PAPBPCPD，第 3页/共 6页学科网（北京）股份有限公司33BCCD则A.四边形ABCD内接于一个圆B.四棱锥PABCD的体积为336C.四棱锥PABCD外接球的球心在四棱锥PABCD的内部D.四棱锥PABCD外接球的半径为712三、填空题三、填空题：（本题共本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.）13.已知36(13i)i(,R)(1 i)aba b，则ab*14.202

7、2 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有 4 个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和 3 个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为*（用数字作答）15.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与C 的右支交于 A，B 两点，若1221F AFAF F，222F BF A，则 C 的离心率为*16.已知锐角ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinsin2ACabA，2c，则 B*；ABC面积的取值范围为

8、*四、解答题四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.（本题 10 分）近年来，美国方面滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业，随着贸易战的不断升级，中国某科技公司为了不让外国“卡脖子”，决定在企业预算中减少宣传广告预算，增加对技术研究和人才培养的投入，下表是的连续 7 年研发投入 x 和公司年利润 y的观测数据，根据绘制的散点图决定用回归模型：21eC xyC来进行拟合.表 I研发投入x（亿元）20222527293135年利润y（亿元）711212465114325表 II（注：表中lniity）71iix71iiy71iit721iix

9、x721iiyy第 4页/共 6页学科网（北京）股份有限公司18956725.2716278106721iitt71iiixxyy71iiixxtt71iiiyytt11.06304042.12825.09（1）请借助表 II 中的数据，求出回归模型的方程；（2）试求研发投入为 20 亿元时年利润的残差.（精确到 0.01）参考数据：3.410.261.795.20e0.03,e1.30,e5.46,e181.88，附：回归方程中 yx和1|21,niiiniixxyyyxxx，残差iiieyy18.（本题 12 分）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD 平面BCD，ABAD，O为BD的中点.

10、（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为 1 的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.第 5页/共 6页学科网（北京）股份有限公司19.（本题 12 分）已知数列 na各项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*）（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）数列 nc满足 cn21nnba，数列 nc的前 n 项和为nT，若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，求的取值范围20.（本题 12 分）记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac

11、，点D在边AC上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求cosABC.21.（本题 12 分）已知函数 eln2xh xx（1）若 ln2g xh xxax，讨论 g x的单调性；（2）若不等式 0h xk恒成立，求整数k的最大值第 6页/共 6页学科网（北京）股份有限公司22.（本题 12 分）已知曲线2222:10 xyCabab的上顶点到右顶点的距离为3，离心率为22，右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线:2l x 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作ADl，垂足为 D（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）

12、求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围；证明直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标三明一中2022-2023学年上学期半期考 高三数学科试卷三明一中2022-2023学年上学期半期考 高三数学科试卷考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：注意事项 注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。2选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。3非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。4请勿折叠，保持卡面清洁。贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记选择题(18为单选题;912为多选题)选择题(18为单选题;912为多选

13、题)1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.，三、解答题三、解答题17.18.19.20.21.22.第 1页/共 8页学科网（北京）股份有限公司三明一中三明一中 2022-20232022-2023 学年学年上学期数学半期考答案解析上学期数学半期考答案解析题号123456789101112答案DDBAACBAACDADBDAD13.114.14415.5316.3,3(,2 3)2四、解答题四、解答题

14、(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.(1)由21eC xyC得12lnlnyCC x，令21ln,lnty bC aC，得tabx，-2 分由表 II 数据可得：7172142.120.26,162iiiiixxttbxx20.26Cb-4 分25.271890.263.4177atbx，3.4110.03Ce-6 分0.263.41tx.所以回归方程为：0.260.03exy.-7 分(2)在20 x=时的残差：0.26 2010.035.4564ye1175.45641.54yy.-10 分18.（1）因为ABAD，O 是BD中点，所以OABD

15、，-1 分因为OA平面ABD，平面ABD 平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以OA平面BCD-3 分因为CD 平面BCD，所以OACD.-4 分（2）方法一方法一：通性通法通性通法坐标法坐标法如图所示，以 O 为坐标原点，OA为z轴，OD为 y 轴，垂直OD且过 O 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则3 1(,0),(0,1,0),(0,1,0)22CDB，设1 2(0,0,),(0,)3 3Am Em，-6 分所以423 3(0,),(,0)3322EBm BC ，设,nx y zr为平面EBC的法向量，则由00EB nEC n 可求得平面EBC的一个法向量为2(3,1

16、,)nm-8 分又平面BCD的一个法向量为0,0,OAm，-9 分第 2页/共 8页学科网（北京）股份有限公司所以222cos,244n OAmm，解得1m-10 分又点 C 到平面ABD的距离为32，所以11332 13226A BCDCABDVV ，所以三棱锥ABCD的体积为36-12 分方法二方法二【最优解【最优解】：作出二面角的平面角：作出二面角的平面角如图所示，作EGBD，垂足为点 G 作GFBC，垂足为点 F，连结EF，则OAEG因为OA平面BCD，所以EG 平面BCD，EFG为二面角EBCD的平面角因为45EFG，所以EGFG由已知得1OBOD，故1OBOC又30OBCOCB，所

17、以3BC 因为24222,133333GDGBFGCDEGOA，11113322(1 1)1333226A BCDBCDBOCVSOSOAA 方法三方法三：三面角公式三面角公式考虑三面角BEDC，记EBD为，EBC为，30DBC，记二面角EBCD为据题意，得45对使用三面角的余弦公式，可得coscoscos30，化简可得3coscos2 使用三面角的正弦公式，可得sinsinsin，化简可得sin2sin将两式平方后相加，可得223cos2sin14，由此得221sincos4，从而可得1tan2 第 3页/共 8页学科网（北京）股份有限公司如图可知(0,)2，即有1tan2，根据三角形相似知

18、，点 G 为OD的三等分点，即可得43BG，结合的正切值，可得2,13EGOA从而可得三棱锥ABCD的体积为3619.(1)数列 na各项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa，当2n时，222212113nnaaaa，可得22213nnnaaa，因为数列 na各项都是正数，所以可化为12nnaa，因为2221121,1,03aaaa，所以22a，所以212aa，所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nna-=，nN*；-3 分数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*），可得2132bb，当2n时，121nnbbn，又121nnbbn，

19、两式相减可得112nnbb，所以 nb的奇数项和偶数项均为公差为 2 的等差数列，可得奇数项为 1，3，5，7，.，2n1，.，偶数项为 2，4，6，.，2n，.，所以nbn.-6 分（法二）数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*），可得2132bb，3253bb,4374bb,由此猜测nbn，又因为1121nnbbnnn，与已知条件吻合，所以猜想成立，所以nbn.（法三）设数列 nb的通项公式为nbanb，1(1)2221nnbbanba nbanban，22,21,1,0abaab，所以nbn.(2)因为22112nnnnbcna，所以21111123416642nnTn ，所以2

20、22111111123(1)4166412822nnnTnn 第 4页/共 8页学科网（北京）股份有限公司两式相减可得22231111144166422nnnTn2211(1)1441214nnn化为4341994nnnT，-9 分若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，即为39(34)4nn恒成立，设3(34)4nndn，1nndd113(37)()43(34)()4nnnn19211216nn1351216nn，当1n 时，21dd，当2n时，1nndd，所以2n 时，nd取得最大值458，则9458，解得58，即的取值范围是5,8-12 分20.（1）设ABC的外接圆半径为 R

21、，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR，21.因为sinsinBDABCaC，-1 分所以22bcBDaRR，即BD bac-3 分又因为2bac，所以BDb-4 分（2）方法一方法一【最优解【最优解】：两次应用余弦定理：两次应用余弦定理因为2ADDC，如图，在ABC中，222cos2abcCab，在BCD中，222()3cos23babbaC-6 分由得2222223()3babcab，整理得22211203abc又因为2bac，所以2261130aacc，解得3ca 或32ca，-8 分当22,33ccabac时，333ccabc（舍去）-9 分第 5页/共 8页学科网（北京）

22、股份有限公司当2233,22ccabac时，22233()722cos31222ccABCccc所以7cos12ABC-12 分方法二方法二：等面积法和三角形相似：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC，则23ABDABCSS，即21221sinsin2332bacADABBC，而2bac，即sinsinADBABC，故有ADBABC，从而ABDC由2bac，即bcab，即CABACBBD，即ACBABD，故ADABABAC，即23bccb，又2bac，所以23ca，则2227cos212cabABCac方法三方法三：正弦定理、余弦定理相结合：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC，再

23、由2ADDC得21,33ADb CDb在ADB中，由正弦定理得sinsinADBDABDA又ABDC，所以s3sinn2iCbAb，化简得2sinsin3CA在ABC中，由正弦定理知23ca，又由2bac，所以2223ba在ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca故7cos12ABC方法四方法四：构造辅助线利用相似的性质：构造辅助线利用相似的性质如图，作DEAB，交BC于点 E，则DECABC由2ADDC，得2,333caaDEECBE第 6页/共 8页学科网（北京）股份有限公司在BED中，2222()()33cos2323BEDacba c在

24、ABC中222cos2aaBCcAbc因为coscosABCBED，所以2222222()()3322233acbacba cac，整理得22261130abc又因为2bac，所以2261130aacc，即3ca 或32ac下同解法 1方法五方法五：平面向量基本定理：平面向量基本定理因为2ADDC，所以2ADDCuuu ruuu r以向量,BA BC 为基底，有2133BDBCBA 所以222441999BDBCBA BCBA ，即222441cos999baccABCa，又因为2bac，所以22944cosacaacABCc由余弦定理得2222cosbacacABC，所以222cosacac

25、acABC联立，得2261130aacc所以32ac或13ac下同解法 1方法六方法六：建系求解：建系求解以 D 为坐标原点，AC所在直线为 x 轴，过点 D 垂直于AC的直线为 y 轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则0,0,2,0,1,0DAC由（1）知，3BDbAC，所以点 B 在以 D 为圆心，3 为半径的圆上运动设,33B x yx，则229xy由2bac知，2BABCAC，即2222(2)(1)9xyxy联立解得74x 或732x（舍去），29516y，代入式得3 6|,|6,32aBCcBAb，由余弦定理得2227cos212acbABCac21.(1)因为 ln2e

26、2,xh xxx，所以 ln2e(2)xg xh xxaxax x，求导()exg xa-1 分第 7页/共 8页学科网（北京）股份有限公司（1）当0a 时，()0g x，g x在2,+上单调递增；-2 分（2）当0a 时，令()0g x，得lnxa-3 分当ln2a，即21ea，此时 g x在2,lna上单调递减，在ln,a上单调递增；当ln2a，即210ea，此时 g x在2,+上单调递增；-5 分综上，当21ea 时，g x在2,+上单调递增；当21ea，此时 g x在2,lna上单调递减，在ln,a上单调递增；-6 分(2)不等式 0h xk恒成立，即 h xk恒成立，只需min()k

27、h x由 ln2e2,xh xxx，求导1()e2xh xx-7 分求二阶导21()e0(2)xh xx，所以()h x在2,+上单调递增；又(1)0h，(0)0h，所以()h x在2,+上存在唯一实数根0 x，满足001e02xx，即001e2xx且0(1,0)x，-9 分当02xx时，()0h x，则 h x在02,x上单调递减，当0 xx时，()0h x，则 h x在0,+x上单调递增；-10 分 000000min0001111eln2=ln=2e22+22xxh xh xxxxxxx因为0(1,0)x，所以01,22x ，又对勾函数1ytt在1,2上单调递增，所以5212tt，即1(

28、)0,2h x，又min()kh x，所以0k 且kZ所以整数k的最大值为0.-12 分22.(1)由题可知：22222322abcaabc，所以2a，1b，故椭圆的标准方程为2212xy；-4 分第 8页/共 8页学科网（北京）股份有限公司(2)由题1,0F，设直线:1AB xmymR，11,A x y，22,B xy，联立22112xmyxy，消去 x，得222210mymy，因为224420mm，12222myym，12212y ym，则2212121222 2142myyyyy ym所以四边形 OAHB 的面积21212212 2122mSOHyyyym，令21mt，1t，22 22 211tSttt，因为12tt（当且仅当1t 即0m 时取等号），所以02S，所以四边形 OAHB 的面积取值范围为0,2；-8 分22,B xy，12,Dy，所以直线 BD 的斜率1222yykx，所以直线 BD 的方程为121222yyyyxx，令0y，可得2121212121222x yymy yyyxyyyy，由（1）可得12222myym，12212y ym，12122yymy y化简可得12121212121323222yyyyyyxyyyy，则直线 BD 过定点3,02E-12 分