辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试卷含答案.pdf

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1、数学试卷第 1页，共 4页数学试题数学试题考试时间：120 分钟满分 150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 M=x|x4，集合2|20Nx xx则下列关系中正确的是（）A.MN=MB.MRN=MC.NRM=RD.MN=M2.若复数z满足1izi ，则|z A12B22C2D23.“2,1x ，220 xa”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.0a B.1a C.2a D.3a 4.已知ta

2、n226，则cos3（）A35B35-C45D455.已知偶函数 fx在区间(,0上单调递减，则满足1(21)3fxf的 x 的取值范围是（）A1 2,3 3B1 2,3 3C1 2,2 3D1 2,2 36.已知函数()sin2cosf xaxx在,34x 上单调递增，则 a 的取值范围为（）A0a B22a C2a D0a 或2a -7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A5B10C2 2D5 1048.已知1,ea b c，且ln55lnaa，ln33lnbb，ln22lncc，则（）Abc

3、aBcbaCacbDabc辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中联考辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试卷第 2页，共 4页二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，有选错的得零分，部分选对得 2 分。二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，有选错的得零分，部分选对得 2 分。9.已知,a b cR，则下列命题不正确的是（）A.ababccB.22abacbcC.220aba babab

4、 D.110ababab10.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin3sinbAbcB，且1cos3A，则下列结论正确的是（）A3acbBtan2 2ACABC的面积为22 29aDABC的周长为4c11.在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点M，N分别是棱11AD，AB的中点，则（）A 异面直线MD与AC所成角的余弦值为15B11MCD NC平面MNC截正方体所得的截面是四边形D 四面体11CAB D的外接球体积为4 312.已知数列 na满足18a，21a，2,2,nnna naan为偶数为奇数，nT为数列 na的前 n 项和，则下列说法正确的有（）An 为

5、偶数时，221nna B229nTnn C992049T DnT的最大值为 20三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分。三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分。13.已知函数 22103,0 xxf xf xx，则 4f_.14.正方形 ABCD 的边长为 2，以 AB 为直径的圆 M，若点 P 为圆 M 上一动点，则PC PD 的取值范围为_15.设函数,0ln,0 xa xf xx x，已知12xx，且 12f xf x，若21xx的最小值为 e，则 a 的值数学试卷第 3页，共 4页为_.16.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACCB，4PAA

6、CBC以A为球心，表面积为36的球面与侧面PBC的交线长为_四、解答题：本题共 6 小题，计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。四、解答题：本题共 6 小题，计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（本题满分 10 分）已知等比数列na的公比1q，且12a，13223aaa（1）求数列na的通项公式；（2）设数列na的前n项和为nS，求数列2nnS 的前n项和18、（本题满分 12 分）在coscos2BbCac，sinsinsinAbcBCac，23SBA BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

7、且_，BD是ABC的平分线交AC于点D，若1BD，求（1）求角 B(2)求4ac的最小值.19、（本题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD 平面CDP，PDCD，DEPE，且30PCD.（1）求证：平面ADE 平面ABCD；（2）若3CD，2AD，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.数学试卷第 4页，共 4页20、（本题满分 12 分）已知函数 22sinsin2 3cos3363fxxxx.（1）求函数 f x的单调递增区间；（2）若函数 2g xfxa在区间70,12上恰有3个零点123123,x x xxxx，（i）求实数a的取值范围；（ii）求123s

8、in 2xxx的值.21、（本题满分 12 分）已知正项数列 na的前 n 项和为nS，12a，且满足21444nnSan数列 nb满足12323(1)21nnbbbnbn(1)求数列 ,nnab的通项公式；(2)若从数列 na中去掉数列 nb的项后余下的项按原来的顺序组成数列 nc，设数列 nc的前 n项和为nT，求60T22、（本题满分 12 分）已知函数()lnf xx，2()1g xxx.（1）求函数()()()h xf xg x的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数()f x，()g x的图象都相切.学科网（北京）股份有限公司数学试题答案数学试题答案一单选题 A C D B A

9、C B A二.9.ABC10.ABC 11.BD 12.AC三.填空题：13.914.0,815.1-e16.四解答题17.由213223222322aaaqqq，或1q（舍去），所以12 22nnna；-5分【小问】由（1）可知2nna，所以12(12)2212nnnS，所以111()222nnnnnnS，设数列2nnS 的前n项和为nT，234111111()2()3()()(1)2222nnTn ，3452111111()2()3()()(2)22222nnTn ，-8分(1)(2)，得23412111111()()()()()222222nnnTn，即21111()11142()1(2

10、)()122212nnnnnTnTn .-10分18.解：若选：根据正弦定理由coscos2+BbCa c，得cossincos2sin+sinBBCAC，即2sincossincoscossinABBCBC，又因为sincoscossinsinsinsinBCBCBCAA，sin0A，所以1cos2B ，又0B，所以23B，-6因为BD是ABC的平分线交AC于点D，1BD，所以3ABDCBD，在ABD中，sinsincADADBABD，所以sinsinABDADcADB，2222+2cos1c BDADcBDABDcc，在CBD中，sinsinaCDCDBCBD，所以sinsinCBDCDa

11、CDB，所以ADcCDa，2222+2cos1a BDCDaBDCBDaa，学科网（北京）股份有限公司所以222222+1+1cADccCDaaa，整理得+a cac，即11+1ac，所以114444+5+5+29cacaaca cacacac，当且仅当4caac，即332ac，时取等号，故4ac的最小值9；-12分若选：根据正弦定理由sinsinsinAbcBCac，得abcbcac，即222+acbac，所以由余弦定理得2221cos22acbBac，即1cos2B ，又0B，所以23B，因为BD是ABC的平分线交AC于点D，1BD，所以3ABDCBD，在ABD中，sinsincADADB

12、ABD，所以sinsinABDADcADB，2222+2cos1c BDADcBDABDcc，在CBD中，sinsinaCDCDBCBD，所以sinsinCBDCDaCDB，所以ADcCDa，2222+2cos1a BDCDaBDCBDaa，所以222222+1+1cADccCDaaa，整理得+a cac，即11+1ac，所以114444+5+5+29cacaaca cacacac，当且仅当4caac，即332ac，时取等号，故4ac的最小值9；若选：由23SBA BC 得12sin3cos2acBacB，即sin3cos BB，所以tan3B ，又0B，所以23B，因为BD是ABC的平分线交

13、AC于点D，1BD，所以3ABDCBD，在ABD中，sinsincADADBABD，所以sinsinABDADcADB，2222+2cos1c BDADcBDABDcc，在CBD中，sinsinaCDCDBCBD，所以sinsinCBDCDaCDB，所以ADcCDa，2222+2cos1a BDCDaBDCBDaa，所以222222+1+1cADccCDaaa，整理得+a cac，即11+1ac，学科网（北京）股份有限公司所以114444+5+5+29cacaaca cacacac，当且仅当4caac，即332ac，时取等号，故4ac的最小值9；-1219.（1）因为PDCD，所以30PCDD

14、PC，所以120PDC，又因为DEPE，所以30PDEEPD，所以90EDC，所以EDDC，又因为AD 平面CDP，DE 平面CDP，所以ADDE，又因为CDADD，CDAD、平面ABCD，所以DE 平面ABCD，而DE 平面ADE，所以平面ADE 平面ABCD.-6得证.（2）如图，以D为坐标原点，分别以DE、DC、DA 所在的直线为坐标轴正方向建立空间直角坐标系，则点0,0,2A，0,0,0D，3 33,022P，0,3,2B，则3 3 9(,2)22PB ，(0,0,2)DA ，3 33(,0)22DP ，设平面ADP的法向量为(,)nx y z，则00n DAn DP ，即203 33

15、022zxy，令1x 可得平面ADP的法向量为(1,3,0)n，设直线PB与平面ADP所成角为，则3 33 33 9322sincos,6231 2PB nPB nPB n .直线PB与平面ADP所成角的正弦值为3 9362.-12学科网（北京）股份有限公司20.(1)22sincos3 2cos13263f xxxx2222sincos3cos 2sin 23cos 233333xxxxx22sin 22sin 2333xx；-3分令222232kxkkZ，解得：51212kxkkZ，f x的单调递增区间为5,1212kkkZ.-5分（i）由（1）得：2sin 43g xxa，当70,12x

16、时，4,233x，设43tx，则 g x在区间70,12上恰有3个零点等价于2sinyt与ya在,23上恰有3个不同的交点；作出2sinyt在,23上的图像如下图所示，由图像可知：当30a时，2sinyt与ya恰有3个不同的交点，实数a的取值范围为3,0；-9分（ii）设2sinyt与ya的3个不同的交点分别为123123,t t tttt，则233tt，312tt，123323232224tttttttt，学科网（北京）股份有限公司即1232 444333xxx，整理可得：1238443xxx，123212xxx，123sin 2sinsinsincoscossin12464646xxx 2

17、3212622224.-12分21.(1)因为21444nnSan，（1）所以当2n时，2144nnSan（2），所以（1）-（2）得22nn 1n4aaa4，所以2212nnaa因为0na，所以12(2)nnaan，因为2121124444,2,0Saa aa，所以2214,2aaa，所以数列 na是首项为2，公差为2的等差数列，所以2(1)22nann-3分因为12323(1)21nnbbbnbn，（3）所以当2n时，1123123(1)(2)21nnbbbnbn，（4）所以（3）-（4）得1(1)2(2)2nnnnbnn，解得12(2)nnbn，当1n 时，11b 满足上式，所以12nn

18、b-6分(2)由（1）知60120a，数列na前60项中与数列 nb的公共项共有6项，且最大公共项为67264b 又因为7668132,2128ab，-8分从而数列 nb中去掉的是2348,b b bb这7项，所以827606767 66222221342430221 2TS-12分22.（1）2()()()ln1h xf xg xxxx的定义域为(0,)，且2121(1)(21)()21xxxxh xxxxx ，学科网（北京）股份有限公司当01x时，()0h x；当1x时，()0h x，所以()h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以1x是()h x的极大值点，故()h x的

19、极大值为(1)1h，没有极小值.-5分（2）设直线l分别切()f x，()g x的图象于点11,lnxx，2222,1x xx，由()lnf xx可得1()fxx，得l的方程为1111lnyxxxx，即l：111ln1yxxx；由2()1g xxx可得()21g xx，得l的方程22222121yxxxxx，即l：222211yxxx.比较l的方程，得21212121ln11xxxx ，消去2x，得211211ln204xxx.令22(1)()ln24xF xxx（0 x），则3311(21)(1)()22xxxF xxxx.当01x时，()0F x；当1x时，()0F x，所以()F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以min()(1)10F xF .-10因为222222441 e1 eelne204e4eF，所以()F x在(1,)上有一个零点；由2117()ln244F xxxx，得24242ee7e4e7e2024424F ，所以()F x在(0,1)上有一个零点，所以()F x在(0,)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数()f x，()g x的图象都相切.-12