江西省南昌市三校（一中、十中、铁一中）2022-2023学年高三上学期第一次联考（11月）数学（理）试题含答案.pdf

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1、高三数学（理科）三校联考试卷第 1页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数 学 试 卷（理 科）数 学 试 卷（理 科）考试时长：120 分钟试卷总分：150 分一考试时长：120 分钟试卷总分：150 分一选择题：（本题共 12 小题，每小题选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 6分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合403xMxx，133xNx，则MN（）A.4,1B.1,3

2、C.4,3D.1,32.设平面向量?，?均为单位向量，则“|?2?|=|2?+?|”是“?”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3已知函数0()(1)0 xexf xf xx，则(ln2)fA2eB4eC2eD4e（第 4 题图）4.如图，在 中，=14，设?=?，?=?，则?=()A.14?34?B.34?14?C.14?+34?D.34?+14?5.如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以Ox为始边，终边分别为射线OA和OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为3 4,5 5A，(1,0)C 若6BOC，则cos()的值是（）A34 310B

3、34 310C.43 310D43 3106.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18表示，即512sin182.记2sin18m，则21 cos362sin144m（）A.2B.2C.2D.51高三数学（理科）三校联考试卷第 2页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司7.已知过点,0A a作曲线1exyx的切线有且仅有1条，则a（）A.3B.3C.3或1D.3或18.已知奇函数()在上是增函数若=(log215)，=(log24.1)，=(20.8)，则，的大小关系为()A.B.C.D.8，若数列 满足=(N)且 是递增数

4、列，则实数的取值范围是()A.2,3B.2,3C.94,3D.94,311.已知函数()2sin()cossin(|)2f xxx，且对于任意xR，都有(+)()33f xfx，下列序号中，()f x在区间,6 6上单调递增；3(0)2f；若03()23xf，则01()123f x ；若实数 m 使得方程()0f xm在4(0,)3上恰有1x，2x，3123()x xxx三个实数根，则123102=3xxx.正确的序号有（）A.B.C.D.12.黎曼函数 R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在 0，1 上，当 x=（,都是正整数，为最简真分数）时，R x=1;当=0

5、或 1 或为 0，1 内的无理数时，=0.若 +1 为偶函数，+2 为奇函数，当 0,1 时，=,则（）A.g1003515且(22)(2)(2)B.g1003515且(22)(2)(2)C.g10035=15且(22)(2)(2)D.g10035=15且(22)(2)(2)二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）高三数学（理科）三校联考试卷第 3页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司13已知 aR,若复数 z=2 2+(2+3+2)为纯虚数，则 a=14.如图，扇环中，弧=4，弧=2，=1，则扇环的面积=15

6、已知函数 f x是定义域为R的奇函数，当0 x 时，2fxfx，且 30f，则不等式 0f x 的解集为_.16.锐角 中，为角，所对的边，点为 的重心，若 ，则 cos的取值范围为_三、简答题（本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）三、简答题（本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17（12 分）已知函数()=1 32+22(1)求()的最大值及取得最大值时的集合；(2)设 的角，的对边分别为，且=1，()=0.求+的取值范围18.（12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AAC C 底面ABC，侧面11AAC C是菱形，160A AC，90ACB，2A

7、CBC.（1）若D为1AC的中点，求证：1ADAB；（2）求二面角11AACB的正弦值.19.（12 分）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积 3 分，负者积 0 分；五局结束比赛，取胜的一方积 2 分，负者积 1 分.已知甲乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分的概率.高三数学（理科）三校联考试卷第 4页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司20（12 分）已知圆C：22(1)

8、1xy，椭圆M：22184xy（1）求证：圆 C 在椭圆 M 内；（2）若圆 C 的切线 m 与椭圆 M 交于 P，Q 两点，F 为椭圆 M 的右焦点，求FPQ面积的最大值21(12 分)已知函数2211()ln24f xxaxxxax（1）若()f x在(0,)单调递增，求 a 的值；（2）当1344ae时，设函数()()f xg xx的最小值为()h a，求函数()h a的值域四、选做题22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy中，直线l的参数方程为3212xatyt（t为参数，a为常数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24co

9、ssin(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A B、两点，若16AB，求a的值23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|2|1|f xxax（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若1,2x，使得不等式2()f xx成立，求实数 a 的取值范围高三数学（理科）三校联考试卷第 5页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准高三上学期第一次三校联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一一选择题：（本题共 12 小题，每小题选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60

10、 分分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC）序号123456789101112答案BCADCBCBAADC二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.214.315.二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.214.315.3,03，16.45，63，三、简答题（本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17 已知函数()=1 32+22(1)求()的最大值及取得最大值时的集合；(2)设 的角，的

11、对边分别为，且=1，()=0.求+的取值围【答案】解：(1)()=1 32+22=2 32+2=2(2+3)+2，.2 分 1 cos(2+3)1，0 2(2+3)+2 4，()的最大值为 4，4 分当 2+3=2()，即=6()时，函数()取最大值，则此时的集合为|=6,；.6 分(2)由()=0 得：2(2+3)+2=0，即 cos(2+3)=1，2+3=2+()，即=+3()，又 0 ，=3，=1，=32，.8 分由正弦定理=得：=23，=23，又=3，+=23，即=23，+=23+=23+sin23=23(+32+12)=2(32+12)=2(+6)，.10 分高三数学（理科）三校联考

12、试卷第 6页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司 =3，(0,23)，+6(6,56)，sin(+6)(12,1，则+的取值范围为(1,2.12 分18.如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC 底面ABC，侧面11AAC C是菱形，160A AC，90ACB，2ACBC.（1）若D为1AC的中点，求证：1ADAB；（2）求二面角11AACB的正弦值.【答案】（1）见解析（2）2 77【详解】（1）侧面11AAC C是菱形，1AAAC，D为1AC的中点，1ADAC，侧面11AAC C 底面ABC，侧面11AAC C 底面ABCAC，90ACB，BC 底面ABC，BC 侧面11A

13、AC C，AD 侧面11AAC C，BCAD，1ACBCC，AD 平面1ABC，1AB 平面1ABC，1ADAB5 分.【2】取11AC中点E，连接CE，从而11CEAC，又由11ACAC，则CEAC，侧面11AAC C 底面ABC，侧面11AAC C 底面ABCAC，CE 底面ABC，以C为坐标原点，以CA，CB，CE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，(0,0,0)C，(2,0,0)A，1(1,0,3)A，1(1,2,3)B，由题意可知，平面1AAC的一个法向量为(0,2,0)CB7 分不妨设111(,)nx y z平面11ACB的一个法向量，因为1(1,0

14、,3)CA，1(1,2,3)CB，高三数学（理科）三校联考试卷第 7页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司从而11111113000230 xzCA nCB nxyz，令13z，则13x ，13y ，即(3,3,3)n，9 分设二面角11AACB为，由图可知为钝角，从而|21cos|cos,|7|CB nCB nCBn ，即2 7sin7，故二面角11AACB的正弦值为2 77.12 分19.某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积 3 分，负者积 0 分；五局结束比赛，取胜

15、的一方积 2 分，负者积 1 分.已知甲乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分的概率.【答案】（1）见解析（2）3332048【详解】（1）由题意可知，X可能取值为0，1，2，3，当X0时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1)C(1)(1)222216P X，当1X 时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C()(1)(1)22216P X；当2X 时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C()(1)22216P

16、X，当3X 时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)()C()(1)222216P X，故X的概率分布列如下：X0123高三数学（理科）三校联考试卷第 8页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司P5163163165166 分【小问 2 详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分为事件A，则甲的三场比赛积分分别为 1、1、3 或者 0、2、3 或者 1、2、2，故33335535333333()3A316 16 1616 16 1616 16 162048P A ，故甲在参加三场比赛后，积分之和为 5 分为3332048.12 分20（12 分）已知

17、圆C：22(1)1xy，椭圆M：22184xy（1）求证：圆 C 在椭圆 M 内；（2）若圆 C 的切线 m 与椭圆 M 交于 P，Q 两点，F 为椭圆 M 的右焦点，求FPQ面积的最大值高三数学（理科）三校联考试卷第 9页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司21（12 分）已知函数2211()ln24f xxaxxxax（1）若()f x在(0,)单调递增，求 a 的值；（2）当1344ae时，设函数()()f xg xx的最小值为()h a，求函数()h a的值域解：（1）()()lnfxxax因为()f x在(0,)单调递增，所以()0fx，即()ln0 xax（）当1x 时，ln0

18、 x，则需0 xa，故minax，即1a；（）当1x 时，ln0 x，则aR；（）当01x时，ln0 x，则需0 xa，故maxax，即1a 高三数学（理科）三校联考试卷第 10页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司综上述，1a 4 分（2）()11()ln24f xg xxaxxax，11()ln24ag xxx，21()2ag xxx因为1344ae，所以()0g x，所以()g x在(0,)单调递增又因为13(1)0,()04e4agag e 所以存在0(1,)xe，使00gx，且当00,xx时，()0g x，函数()g x单调递减；当0,xx时，()0g x，函数()g x调递增故

19、()g x最小值为000011ln()24g xxaxxah a由00gx，得00011ln24axxx，因此000031()lnln42h axxxx令11()ln,(1,)24xxxx xe，则13()ln024xx，所以()x在区间(1,)e上单调递增，又因为1344ae，且13(1),()44ee，所以01xe，即0 x取遍(1,)e的每一个值，令2311131()lnln(1),()lnln(2ln3)(ln1)0422444xxxxxxexxxxx 函数()x在(1,)e单调递增又e(1)0,()4e，所以e0()4x，故函数()h a的值域为e0,4.12 分22（10 分）【选

20、修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标xOy中，直线l的参数方程为3212xatyt（t为参数，a为常数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24cossin(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；高三数学（理科）三校联考试卷第 11页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司(2)设直线l与曲线C相交于A B、两点，若16AB，求a的值（1）33033xya,24yx;(2)1a【详解】（）直线l的参数方程为3212xatyt（t为参数，a为常数），消去参数t得l的普通方程为：3()3yxa即33033xya 2 分24cossin，2sin4cos

21、即22sin4 cos，即24yx故曲线C的直角坐标方程为24yx 5 分（）将直线l的参数方程代入曲线中得28 3160tta，7 分121 264(3)038 316aattt ta 9 分212121 2|483161ABttttt taa10 分23【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()|2|1|f xxax（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若1,2x，使得不等式2()f xx成立，求实数 a 的取值范围解：（1）当2a 时，()|2|2|1|f xxx当2x 时，()2224f xxx ，解得43x ，此时x；当21x 时，()2224f xxx，解得0 x，此时01x；当1x 时，()2224f xxx，解得43x，此时413x因此，当2a 时，不等式()4f x 的解集为40,3.5 分高三数学（理科）三校联考试卷第 12页（共 4 页）学科网（北京）股份有限公司（2）当12x时，2|2|1|xaxx可化为2|22xaxx，所以，222xaxx或222xaxx，即存在1,2x，使得232axx或22axx 22313224axxx，因为1,2x，所以21324xx，则14a ，2217224axxx ，因为1,2x，所以222xx，所以2a ，因此，实数 a 的取值范围为1(,2),4