2023届新高考数学小题微点特训全集含答案微点特训29 直线的方程.pdf

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1、 直线的方程 考点对点练 保分必拿 考点一直线的方程若k,b三个数成等差数列,则直线yk xb必经过定点()A(,)B(,)C(,)D(,)直线l经过A(,),B(,m)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A BCD 设直线x(k)yk 过定点P,则点P的坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为,则斜边所在直线的斜率为()A 或B 或C 或D 或 考点二两直线的位置关系已知a,bR,则“a”是“直线a xy和直线x(a)y垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件若两条平行直线l:xym(m)与l:xn

2、 y 之间的距离是,则mn()A B C D(多选题)已知直线l:xm y,l:(m)xy,则下列说法正确的是()A若ll,则m或mB若ll,则mC若ll,则mD若ll,则m过 点E(,)和 点F(,)的 直 线 与 过 点Mk,()和点N,k()(k)的直线的位置关系是()A平行B重合C平行或重合D相交或重合已知实数x,y满足xy,当x时,则yx的最大值为;最小值为 考点三距离问题 到直线xy 的距离等于的直线方程为()A xyB xyC xy或xy D xy或xy 当点P(,)到直线m xym的距离最大时,m的值为()A B C D 在平面直角坐标系x O y中,直线l:k xy与直线l:

3、xk y相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线xy的距离的最大值为()A B CD 已知点A(,),B(,),C(,),直线ya xb(a)将A B C分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A(,)B,C,D,)已知直线l:a xy 和直线l:(a)xy 若ll,则实数a的值为,此时,两直线l与l之间的距离为 已知点A(,),B(,)P是x轴上一点,且|P A|P B|,则P A B的面积为微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题直线l经过A(,),B(,m)(mR)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为()A,pB,C,D,()若等边三角形一边所在直线的斜率为,则该三角形另

4、两条边所在直线斜率为()A,B,C,D,若a,b为正实数,直线x(a)y与直线b xy 互相垂直,则a b的最大值为()AB CD 在平面直角坐标系内,过定点P的直线la xy 与过定点Q的直线mxa y 相交于点M,则|MP|MQ|()A B C D 直线l:k xyk与x轴交于点M,直线l:xk yk 与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为()A(xy)(xy)Bxy C(xy)(xy)D xy已知P(a,b)与P(a,b)是直线yk x(k为常数)上 两 个 不 同 的 点,则 关 于x和y的 方 程 组axby,axby的解的情况是()A无论k,P,P如

5、何,总是无解B无论k,P,P如何,总有唯一解C存在k,P,P,使之恰有两解D存在k,P,P,使之有无穷多解直线a xya恒过定点M,则直线xy关于M点对称的直线方程为()A xy B xy C xy D xy 数学家欧拉在 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知A B C的顶点A(,),B(,),且|A C|B C|,则A B C的欧拉线的方程为()AxyB xy Cxy D xy 二、多项选择题已知直线l过点P(,),且与直线l:xy以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是()

6、A直线l与直线l 的斜率互为相反数B直线l与直线l 的倾斜角互补C直线在y轴上的截距为D这样的直线l有两条 如图,平面中两条直线l和l相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l和l的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”下列四个命题中正确命题为()A若pq,则“距离坐标”为(,)的点有且仅有个B若p q,且pq,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个C若p q,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个D若pq,则点M在一条过点O的直线上三、填空题 已知直线l过点P(,)且与以A(,),B(,)为端点的线段A B有公共点,则直线l倾斜角的取值范围为 设mR,过定

7、点A的动直线xm y和过定点B的动直线m xym交于点P(x,y),则|P A|P B|的最大值是 微点特训数学(新)如图,在 直 四 棱 柱A B C DABCD中,因为 底 面 是 菱 形,侧棱垂直底面,所以A C平面B DDB,所以B DA C在A B上取F,使得B FF A,连接E F,则E FA C,所以B DE F记A C与B D的交点为O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Ox y z,则B(,),D(,),E(,)在B B上取一点G,记为(,t),于是B D(,),E G(,t)由B DE G t,得t,即B GG B,所以E F G的边为点M的运动轨迹由题意得F G

8、B FB G,E FA C ,动点M的轨迹围成的图形的面积为()()显然当M与G重合时,MC与平面A B C D所成角最大因为M(,),C(,),所以MC(,),|MC|()(),因 为 直 线A C的一个方向向量为n(,),所以c o s(MC,n)MCn|MC|n|,即 异 面 直 线MC与A C所成角的余弦值为 真题体验练 实战抢分 B D 由点P满足B PB CB B,可知点P在正方形B C CB内A选项,当时,可知点P在线段C C(包括端点)上运动A BP中,A B,A P,BP(),因此周长LA BA PBP不为定值;所以选项A错误B选项,当时,可知点P在线段BC(包括端点)上运动

9、由图可知,线段BC平面AB C,即点P到平面AB C的距离处处相等,AB C的面积是定值,所以三棱锥PAB C的体积为定值,所以选项B正确C选项,当时,分别取线段B C,BC中点为D,D,可知点P在线段DD(包括端点)上运动很显然若点P与D或D重合,均满足题意,所以选项C错误D选项,当时,分别取线段B B,C C中点为M,N,可知点P在线段DD(包括端点)上运动此时,有且只有点P与N点重合时,满足题意所以选项D正确因此,答案为B D微点特训 直线的方程考点对点练 保分必拿 A 因为k,b三个数成等差数列,所以kb,即bk,于是直线方程化为yk xk,即yk(x),故直线必过定点(,)C 因为直

10、线l的斜率kt a nmm,所以 B 将直线方程化为(xy)k(y),当时y,xy,即xy,直线x(k)yk恒过定点(,)C 因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为,即k,设其倾斜角为,则t a n,因为斜边与直角边的倾斜角相差,则斜边的倾斜角为 或,所以t a n()t a n t a n,t a n()t a n t a n,所以斜边所在直线的斜率为或故选C A 直线a xy和直线x(a)y垂直,则a(a),解得a或a,所以“a”是“直线a xy和直线x(a)y垂直”的充分不必要条件 C 由ll,得n,解得n,即直线l:xy,两直线之间的距离为d|m()|(),解得m(m舍去),所以

11、mn 微点特训数学(新)B D 直线ll,则m(m),解得m或m,但m时,两直线方程分别为xy,xy即xy,两直线重合,只有m时两直线平行,A错,B正确;ll,则mm,m,C错,D正确 C 由题意知:kE F,kMNkk,kE FkMN,当k时,E F与MN没有公共点,E FMN,当k时,E F与MN有公共点(,),E F与MN重合,E F与MN平行或重合 如图,设点P(x,y),因为x,y满足xy,且x,所以点P(x,y)在 线 段A B上 移动,并且A,B两点的坐标分别是A(,),B(,)因为yx的几何意义是直线O P的斜率,且kO A,kO B,所以yx的最大值为,最小值为 D 因为所求

12、与直线xy的距离为,所以可得 所 求直 线与 已 知直 线平 行,设 所求 直线 方程 为xyc(c),d|c|,解得c或c,故所求直线方程为xy或xy C 直线m xym可化为ym(x),故直线过定点Q(,),当P Q和直线垂直时,距离取得最大值,故mkP Qmm,m,故选C A 因为直线l:k xy与直线l:xk y的斜率乘积kk()(当k时,两条直线也相互垂直),并且两条直线分别经过定点:M(,),N(,)所以两条直线的交点P在以MN为直径的圆上并且kMN,可得MN与直线xy垂直所 以 点M到 直 线xy的 距 离d|,就是点P到直线xy的距离的最大值 B()当直线ya xb与A B、B

13、 C相交时(如图),由ya xb,xy,得yEaba,又 易 知xD ba,|B D|ba,由SD B Eabaaba得ba,()图图()当直线ya xb与A C、B C相交时(如图),由SF C G(xGxF)|CM|得ba,(a),对于任意的a恒成立,b,(),即b,故选B 因 为 直 线l:a xy和 直 线l:(a)xy且ll,所以a(a)解得a,所以l:xy即l:xy,l:xy,所以d 设A B的中点坐标为M(,),kA B(),所以A B的中垂线方程为y(x)即xy令y,则x,即P点 的 坐 标 为,(),|A B|()()点P到A B的距离为|PM|()所以SP A B|A B|

14、PM|素养提升练 高分必抢 D 直线l的斜率为kyyxxmm,因为mR,所以k(,所以直线的倾斜角的取值范围是,()C 根据题意,设三角形另两条边所在直线的斜率为k,m,且mk,则有t a n k km m,解得k,m,故另两条边所在直线斜率为,故选C B 因为直线x(a)y与直线b xy互相垂直,所以b(a),化简得ab,因为a,b为正实数,所以aba b,即a b,当且仅当ab时取等号,所以a b的最大值为 D 由题意知P(,),Q(,),过定点P的直线a xy与过定点Q的直线xa y垂直,MPMQ,|MP|MQ|P Q|,故选D B 由 题 意 得Mk,(),N,k(),因 此P(k,k

15、),满足xy,选B B 因为P(a,b)与P(a,b)是直线yk x(k为常数)上两个不同的点,直线yk x的斜率存在,所以kbbaa,即aa,并且bk a,bk a,所以ababk aak aaaaaa,所以由方程组axby,axby消元得(aa)xbb所以方程组有唯一解 D 由a xya,可得a(x)(y),令x,y,可得x,y,所以M(,),M不在直线xy上,设直线xy关于M点对称 的 直 线 方 程 为xyc(c),则|c|,解得c 或c(舍去),所以所求方程为xy,故选D C 因为|A C|B C|,所以欧拉线为A B的中垂线又A(,),B(,),故A B的中点为(,),kA B,故

16、A B的中垂线方程为y(x),即xy,故选C微点特训数学(新)A B C 如图所示,因为直线l与l 及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l 的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项,A,B均正确;由直线xy的斜率为,所以直线l的斜率为k,可得直线l的方程为y(x),因此其在y轴上的截距为,故C选项正确;结合图象,可得这样的直线l只有一条,故D选项错误 A B CA若pq,则“距离坐标”为()的 点是两条直线的交点O,因此有且仅 有个,故 正 确 B若p q,且pq,则“距离坐标”为(,q)或(p,)的点有且仅有个,故正确 C若p q,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个,如图,故正

17、确 D若pq,则点M在的轨迹是两条过O的直线,分别为交角的平分线所在直线,故不正确 ,)如图所示:设直线l过A点时直线l的斜率为k,直线l过B点时直线l的斜率为k,则,k ,k ,所以要使直线l与线段A B有公共点,则直线l的斜率的取值范围为:,所以l倾 斜 角 的 取 值 范 围,)易 知A(,),B(,)且 两 直 线 互 相 垂 直,即A P B为 直 角 三 角 形,所 以|P A|P B|P A|P B|A B|当且 仅 当|P A|P B|时,等号成立微点特训 圆的方程考点对点练 保分必拿 C 由已知得圆心坐标为(,),所以圆的标准方程为x(y)故选C C 圆xya xy的圆心为a

18、,(),由题意可知,a,()在直线yx上,即a,解得a,点C的坐标为(,),设圆心P为(x,y),则有(x)(y)|x|,即yxy故选C A 法一:如图由题意知O BA B,因为直线O B的方程为yx,所 以 直 线A B的 斜 率 为,因 为A(,),所 以 直 线A B的方程为y(x),即xy,故选A法二:依题意,以O A为直径的圆的方程为(x)y,解方 程 组(x)y yx,得xy 或xy(舍去),即B,(),因为A(,),所以kA B,所以直线A B的方程为y(x),即xy,故选A D 由题意得,圆心C(,),半径r,|P Q|P O|,且P QC Q,|P O|r|P C|,xy(x

19、)(y),即xy 点P的轨迹方程为xy,故选D B 圆C:(x)(y),圆心C为(,),半径为易知点C(,)关于直线xy对称的点为C,设C(a,b),则ba,ab,解 得a,b,所以C(,),所以圆C的圆心为C(,),半径为,所以圆C的方程为(x)(y)故选B A 据 题 设 分 析 知,圆C半 径r的 最 小 值rm i n|,此时圆C的圆心为直线xy与直线y(x)(直线xy)的交点联立方程xyxy,解得xy,所以所求圆C的方程是x()y()xy(x)(y)或(x)(y)由题意知,直线A B的斜率k,中点坐标为(,)则直线C D的方程为y(x),即xy设圆心P(a,b),则由点P在C D上得

20、ab,又因为直径|C D|,所以|P A|,所以(a)b ,由 解 得a,b,或a,b所以圆心P(,)或P(,)所以圆P的方程为(x)(y)或(x)(y)A 将圆的方程化为(x)(y),圆心坐标为(,),半径为,则圆心到直线xy的距离d|,故圆上的点到直线xy距离的最大值为d D 由圆xy x y 知其标准方程为(x)(y),圆xy x y 关于直线a xb y (a,b)对称,该直线经过圆心(,),即a b ,ab(a,b),ab(ab)ab()abba()abba,当且仅当baab,即ab时取等号,故选D Cyx的几何意义是点(x,y)与点(,)连线的斜率,设kyx,即k xyk,当直线k

21、 xyk与圆相切时,k取得最值,此时|k|k,解得k,所以yx的取值范围是,故选C 微点特训数学(新)圆的方程 考点对点练 保分必拿 考点一圆的方程若圆C的半径为,其圆心与点(,)关于直线yx对称,则圆C的标准方程为()A(x)yBx(y)Cx(y)D(x)y若圆xya xy和圆xy关于直线yx对称,过点C(a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程是()Ayxy ByxyCyxyDyxy 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(,),以O A为直径的圆与直线yx在第一象限的交点为B,则直线A B的方程为()AxyBxyC xy D xy 自圆C:(x)(y)外一点P(x,y)引该圆的一条切线

22、,切点为Q,P Q的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A xy B xy C xy D xy 已知圆C:(x)(y),圆C与圆C关于直线xy对称,则圆C的方程为()A(x)(y)B(x)(y)C(x)(y)D(x)(y)已知过点(,)的圆C的圆心在直线xy上,则圆C的面积最小时,圆C的方程是()Ax()y()Bx()y()Cx()y()Dx()y()已知以点P为圆心的圆经过点A(,)和B(,),线段A B的垂直平分线交圆P于点C和D,且|C D|则直线C D的方程为,圆P的方程为 考点二与圆有关的最值问题圆xyxy上的点到直线xy距离的最大值是()A B C D 圆xyxy关于

23、直线a xb y(a,b)对称,则ab的最小值是()A B C D 若实数x,y满足xy,则yx的取值范围是()A(,)B(,)(,)C,D(,)已知点P为圆C:(x)(y)上一点,A(,),B(,),则|P AP B|的最大值为()A B C D 已知x,y满足xy,求(x)(y)的最小值 已知圆Cxyk xyk,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为 已知P是直线xy 上的动点,P A,P B是圆xyxy的两条切线,A,B是切点,C是 圆 心,那 么 四 边 形P A C B面 积 的 最 小 值为微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题圆C的半径为,圆心在x轴的正半轴上,直线

24、xy 与圆C相切,则圆C的方程为()Axyx BxyxCxyxDxyx 已知半径为的圆经过点(,),则其圆心到原点的距离的最小值为()A B C D 已知圆C:(x)(y),C:(x)(y)M,N分别是圆C,C上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|PN|的最小值为()A B C D 由直线yx上的点向圆(x)y作切线,则切线长的最小值为()A B C D 已知点P是圆C:(xa)(ya)上一动点,点P关于y轴的对称点为M,点P关于直线yx的对称点为N,则|MN|的最小值是()A B C D 若直线a xb y(a,b)把圆(x)(y)分成面积相等的两部分,则ab的最小值为()A B C D 设

25、点P是函数y (x)的图象上的任意一点,点Q(a,a)(aR),则|P Q|的最小值为()A B C D 唐代诗人李颀的诗 古从军行 开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为xy,若将军从点A(,)处出发,河岸线所在直线方程为xy,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为()A B C D 二、多项选择题在平面直角坐标系x O y中,已知点A(,),点B是圆C:(x)y上任一点,点P为A

26、B的中点,若点M满足MAMO,则线段PM的长度可能为()A B C D 实数x,y满足xyx,则下列关于yx的判断正确的是()Ayx的最大值为Byx的最小值为 Cyx的最大值为Dyx的最小值为三、填空题 已知A(,),B(,),动点M满足|MA|M B|,则点M的轨迹方程是;又若MAMB,此时MA B的面积为 在A B C中,A B,A C,A,动点P在以点A为圆心,半径为的圆上,则P BP C的最小值为 真题体验练 实战抢分(多选)(新高考卷,)已知点P在圆(x)(y)上,点A(,),B(,),则()A点P到直线A B的距离小于 B点P到直线A B的距离大于C当P B A最小时,|P B|D

27、当P B A最大时,|P B|(新高考卷,)在平面内,A,B是两个定点,C是动点若A CB C,则点C的轨迹为()A圆B椭圆C抛物线D直线 微点特训数学(新)A B C 如图所示,因为直线l与l 及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l 的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项,A,B均正确;由直线xy的斜率为,所以直线l的斜率为k,可得直线l的方程为y(x),因此其在y轴上的截距为,故C选项正确;结合图象,可得这样的直线l只有一条,故D选项错误 A B CA若pq,则“距离坐标”为()的 点是两条直线的交点O,因此有且仅 有个,故 正 确 B若p q,且pq,则“距离坐标”为(,q)或

28、(p,)的点有且仅有个,故正确 C若p q,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有个,如图,故正确 D若pq,则点M在的轨迹是两条过O的直线,分别为交角的平分线所在直线,故不正确 ,)如图所示:设直线l过A点时直线l的斜率为k,直线l过B点时直线l的斜率为k,则,k ,k ,所以要使直线l与线段A B有公共点,则直线l的斜率的取值范围为:,所以l倾 斜 角 的 取 值 范 围,)易 知A(,),B(,)且 两 直 线 互 相 垂 直,即A P B为 直 角 三 角 形,所 以|P A|P B|P A|P B|A B|当且 仅 当|P A|P B|时,等号成立微点特训 圆的方程考点对点练 保分必

29、拿 C 由已知得圆心坐标为(,),所以圆的标准方程为x(y)故选C C 圆xya xy的圆心为a,(),由题意可知,a,()在直线yx上,即a,解得a,点C的坐标为(,),设圆心P为(x,y),则有(x)(y)|x|,即yxy故选C A 法一:如图由题意知O BA B,因为直线O B的方程为yx,所 以 直 线A B的 斜 率 为,因 为A(,),所 以 直 线A B的方程为y(x),即xy,故选A法二:依题意,以O A为直径的圆的方程为(x)y,解方 程 组(x)y yx,得xy 或xy(舍去),即B,(),因为A(,),所以kA B,所以直线A B的方程为y(x),即xy,故选A D 由题

30、意得,圆心C(,),半径r,|P Q|P O|,且P QC Q,|P O|r|P C|,xy(x)(y),即xy 点P的轨迹方程为xy,故选D B 圆C:(x)(y),圆心C为(,),半径为易知点C(,)关于直线xy对称的点为C,设C(a,b),则ba,ab,解 得a,b,所以C(,),所以圆C的圆心为C(,),半径为,所以圆C的方程为(x)(y)故选B A 据 题 设 分 析 知,圆C半 径r的 最 小 值rm i n|,此时圆C的圆心为直线xy与直线y(x)(直线xy)的交点联立方程xyxy,解得xy,所以所求圆C的方程是x()y()xy(x)(y)或(x)(y)由题意知,直线A B的斜率

31、k,中点坐标为(,)则直线C D的方程为y(x),即xy设圆心P(a,b),则由点P在C D上得ab,又因为直径|C D|,所以|P A|,所以(a)b ,由 解 得a,b,或a,b所以圆心P(,)或P(,)所以圆P的方程为(x)(y)或(x)(y)A 将圆的方程化为(x)(y),圆心坐标为(,),半径为,则圆心到直线xy的距离d|,故圆上的点到直线xy距离的最大值为d D 由圆xy x y 知其标准方程为(x)(y),圆xy x y 关于直线a xb y (a,b)对称,该直线经过圆心(,),即a b ,ab(a,b),ab(ab)ab()abba()abba,当且仅当baab,即ab时取等

32、号,故选D Cyx的几何意义是点(x,y)与点(,)连线的斜率,设kyx,即k xyk,当直线k xyk与圆相切时,k取得最值,此时|k|k,解得k,所以yx的取值范围是,故选C 微点特训数学(新)C 取A B的中 点D(,),则P AP BP D,|P AP B|P D|,|PD|的最大值为圆心C(,)与D(,)的距离d再加半径r,又d ,所以dr 所以|P D|的最大值为 故选C 由于(x)(y)表示点(,)与直线上的点的距离的平方,可知(x)(y)的最小值为点(,)到直线xy距离的平方,所以最小值为|(,)圆C的方程可化为xk()(y)k所以,当k时圆C的面积最大,此时圆心C的坐标为(,

33、)圆的标准方程为(x)(y),其圆心为C(,),半径为,且直线与圆相离,如图所示,四 边 形P A C B的 面 积 等 于SP A C,而SP A C|P A|A C|P A|P C|,又|P C|m i n|,(SP A C)m i n,故四边形P A C B面积的最小值为 素养提升练 高分必抢 C 由题意,设所求圆的方程为(xm)y(m),则|m|,解得m或m(舍去),故所求圆的方程 为(x)y,即xyx故选C A 设圆心C(x,y),则(x)(y),化简得(x)(y),所以圆心C的轨迹是以M(,)为圆心,为 半 径 的 圆,所以|O C|OM|,所以|O C|,当且仅当C在线段OM上时

34、取得等号,故选A A 两圆的圆心分别为C(,),C(,),C(,)关于x轴的对称点为C(,),结合图形(图略)可知|P C|P C|的最小值为|CC|,因此|PM|PN|的最小值为 B 切线长的最小值是当直线yx上的点与圆心距离最 小 时 取 得,圆 心(,)到 直 线 的 距 离 为d|,圆的半径为,故切线长的最小值为dr C 设P(m,n),则M(m,n),N(n,m),|MN|(mn)(mn)m(n),则m(n)表示圆C上的点P(m,n)到定点A(,)的距离,由题得,圆心C(a,a),半径r,根据圆的性质可得,|A P|A C|ra(a)aa(a),当且仅当a时,等号成立;所以|MN|A

35、 P|()所以|MN|的最小值是 B 由已知,得圆心C(,)在直线a xb y上,所以ab,即ab,又因为a,b,所以abab()(ab)baabbaab,当且仅当baab时,等号成立,此时ba,结合ab,知a,b所以当a,b时,ab取得最小值 C 如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(,),点Q在直线l:xy上过圆心C作直线l的垂线,垂足 为点A,则|C A|,|P Q|m i n|C A|故选C A 设点A关于直线xy 的对称点为A(a,b),则A A 的中点为a,b(),kA A ba,故ba(),a b,解得a,b,则从点A到军营的最短总路程,即为点A 到军营的距离,则

36、“将军饮马”的最短总路程为 B C 设P(x,y),点P为A B的中点,所以B(x,y),代入圆C:(x)y,可得:(x)(y),整理得:点P的轨迹方程为(x)y,设M(x,y),则(x)yxy,(x)y,则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值PM,故选B C C D 由 题 意 可 得 方 程xyx为 圆 心 是C(,),半径为的圆,由yx为圆上的点与定点P(,)的斜率的值,设过P(,)点的直线为yk(x),即k xyk,圆 心 到 直 线 的 距 离dr,即|k|k,整 理 可 得k解 得k,所 以yx,即yx的最大值为,最小值为故选C D xy x A(,),B(,),设M(x,y

37、),由|M A|M B|,得(x)y(x)y,整理得:xy x;以A B为 直 径 的 圆 的 方 程 为xy,联 立xy x xy,解得|y|即M点的纵坐标的绝对值为 此时MA B的面积为S 微点特训数学(新)如图,以点A为原点,A B边所在直线为x轴建立平面直角坐标系则A(,),B(,),C(,),设P(x,y),则P B(x,y),P C(x,y),所以P BP C(x)(x)y(y)xxy yx()y,其 中x()y表示圆A上的点P与点M,之间距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|m i n|AM|(),所以(P BP C)m i n()真题体验练 实战抢分 A C D 直线A B

38、的方程为xy,即xy设P(c o s,s i n),则点P到直线A B的距离为:d|c o s(s i n)|s i n(),因为dm a x ,dm i n ,所以A选项正确,B选项错误因 为 圆 心 为Q(,),半 径r,则|Q B|()()所以当直线P B与圆相切时P B A取得最值,此时|P B|Q B|r 所以C、D选项正确,故答案为A C D A 以A B所在直线为x轴,中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(a,),B(a,),C(x,y),则A C(xa,y),B C(xa,y),A CB Cxya,所以xya,即动点C的轨迹为圆微点特训 直线与圆、圆与圆的位置关系考点对点练

39、保分必拿 C 将圆的方程化为(xa)(yb)ab,圆心坐标为(a,b),半径rab又因为圆心C到直线l:a xb y的距离dabababab,故直线l与圆C相离 C 因为圆心到直线的距离为|,又因为圆的半径为,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为的点有个 D 易求圆与x轴的两个交点为O(,),A(,),易知直线xm ym与x轴的交点在线段O A(不含端点)上时,直线与圆的两个交点位于不同的象限,此时m应满足m,即m 或xyxy,即(x)(y),圆心C(,),半径rA CB C,故圆心到直线的距离为d,即d|a|,故a或ay x或y x 如图,易知MN的斜率存在,设直线的方程为yk

40、 x,过圆心O作OHMN,易得当Q位于HO的 延 长 线 上 时 距 离 最 大,即HQ,所以HO,由点到直线的距离公式可得d|k,所以k,直线的方程为y x或y x C 由题意可得,圆C:(x)(y)的圆心为(,),半径为因为圆C:xyxm y关于直线x y对称,所以 m(),得m,所以圆C:(x)(y)的圆心为(,),半径 为,则两 圆 圆心 距|CC|()(),因为|CC|,所以圆C与圆C的位置关系是相交 A B C 圆C的方程为xyx,即(x)y,圆心C(,),半径为,由题意可得,圆心C(,)到直线k xy(kZ)的 距 离 大 于 或 等 于,即|k|k,求得 k,k或或 B 设M(x,y),则(x)yx(y),所以(x)(y),所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切,所以(a),所以 a C 设圆O的方程为(x)(y)r(r)因为圆O的方程为x(y),所以直线A B的方程为xyr,圆心O到直线A B的距离d|r|,由d,得(r),所以r,r或 故圆O的方程为(x)(y)或(x)(y)如图所示,铁丝捆扎一圈的长度为 三 条 公 切 线 的 长 度三 条 弧 长,即A BA FOO圆O的周长 A 圆C:xyxyr可化为(x)(y)r,设圆心(,)到直线的距离为d,则d|因为|A B|,所以r,所以圆C的标准方程为(x)(y),故选A 微点特训数学(新)