重庆市南开中学校2023届高三上学期第三次质量检测数学试题含答案.pdf

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1、重庆市高 2023 届高三第三次质量检测2022.11注意事项：1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知复数3i1 iz（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）A-3B3i2C32D322已知1e，2e 是不

2、共线的向量，则2 是向量122aee，121bee 平行的（）条件A必要不充分B充分不必要C充分必要D既不充分也不必要3某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等 5 种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果据悉该企业 2021年 5 种系列产品年总收人是 2020 年的 2 倍，其中 5 种系列产品的年收人构成比例如下图所示则以下说法错误的是（）A2021 年甲系列产品收人和 2020 年的一样多B2021 年乙和丙系列产品收人之和比 2020 年的企业年总收人还多C2021 年丁系列产品收人是 2020

3、 年丁系列产品收人的13D2021 年戊系列产品收人是 2020 年戊系列产品收人的 2 倍还多4已知平面向量a，b，c满足：2a，3b，aab且20abc，则c为（）A1B3C3D95 已知 A，B 是函数 sin0,4f xxxR的图像上的两个相邻最高点和最低点，且2 2AB，为得到 cosg xx的图像，只需要将函数 fx的图像（）A向左平移32个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移32个单位长度D向右平移 3 个单位长度6已知实数 a，b，c 满足13 440ab，331bc，25log3acxxxR，则 a，b，c 的大小关系是（）AabcBbcaCcbaDacb7若 lnfxax

4、x在1,3上存在12xx满足，211xx且12fxfx，则实数 a 的取值范围是（）A3 1ln,ln32 2B1ln3,ln22C3ln,ln22D0,ln28已知ABC满足1ABAC，ABC所在平面内一动点 P 满足2,APABAC R ），且1AP ，若2 105恒成立，则cos A的最小值为（）A14B13C12D0二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分9设 Z 表示整数集，且集合52,Mm mkkZ，108,Nn nkkZ，则（）AMNMBMN CMN ZZ

5、DMNZZ痧10已知 p，q 为函数 lgfxxt的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A222pqB224pqC33loglog0pqD22pq11已知 C：220ypx p的焦点1,0F，过8,0G的直线交抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）AOAOBk k为定值BAB 中点的轨迹方程为2216yxC2AFBF最小值为 27DO 在以 AB 为直径的圆外12 如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为 1 的等差数列和一个公差为 2 的等差数列，每一行是一个公差为 1 的等差数列我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次

6、构成一个数列 na：1，2，3，3，4，5，4，5，6，7，其前 n 项和为nS，则下列说法正确的有（）（参考公式：2221121 216nn nn）A10022aB22 第一次出现是100aC22 在 na中出现了 11 次D1001345S三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知,2，23cos35，则sin_14已知数列 na满足11a ，*112nnnnaan na aN，则9a _15在ABC中，D 为 BC 上一点，3CDBD，2ACAD，则ABBC_；若sin2sin3BADCAD，则cosB _16已知ABC三个内角 A，B，C 的对边 a，b，c 依

7、次成等比数列，且2b，1coscos2ACB，点 T 为线段 AB（含端点）上的动点，若满足20TB TCtt 的点 T 恰好有 2 个，则实数 t 的取值范围_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17经国务院批准，自 1998 年起，每年 9 月第三周为全国推广普通话宣传周（以下简称推普周）今年 9 月12 日至 18 日为第 25 届推普周，并以“推广普通话，喜迎二十大”为主题某校在“二十大”前夕举行了推普知识竞赛，设置了甲、乙两类问题各 2 道，参赛者需要答完四道题小明同学回答甲类每题的正确率为23，回答乙类每题的正确率为12，且各道题作答情况

8、互不影响（1）求小明两类问题各答对 1 道的概率；（2）求小明答对题目总数的分布列与期望18刍甍，中国古代数学中的一种几何体中国传统房屋的顶部大多都是刍甍 九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍,，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图下面的五面体为一个刍甍，其五个顶点分别为 A，B，C，D，E，F，四边形 ABCD 为正方形，2AB，EF平面 ABCD，1EF，2BFFC，平面BCF 平面 ABCD，O 为 BC 中点（1）求证：OE 平面 ADE；（2）求平面 ADE 和平面 BCF 所成角锐二面角的大小19在ABC中

9、，设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足cos2cosbBaA（1）求bc的值；（2）若ABC的面积为 1，求边 a 的最小值20已知nS为数列 na的前 n 项和，且满足11a，2*nnSnann nN单调递增等比数列 nb满足1b，2b，312345,ba a a a a（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）记nT为数列1nb的前 n 项和，是否存在正整数 m，n 使得1331mnmnTmTm成立？若存在，求出 m，n的值；若不存在，说明理由21已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点 B 到两焦点的距离之和为 4（1）求椭圆 C 的标准方程；

10、（2）若直线l：ykxm与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于,0MM x，,0NN x，若111MNxx，求证：直线 l 过一定点，并求出定点坐标22已知函数 3lnmf xxx（1）若函数 fx与 x 轴相切，求 m 的值；（2）若函数 fx恰好有两个零点1x，2210 xxx，证明：12131xxm重庆市高 2023 届高三第三次质量检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分1-4DBCB5-8ADCA5A【解析】由题知函数 fx的周期4T，2 sin24f xx，只需将 fx的图像向左平移32个单位长度，即可得到 c

11、ossin222g xxx的图像6D【解析】由题3414b a，ba，由331bcbc，再由22555log3log3log 10acxxxacxxR，ac，故acb7C【解析】1fa，33ln3fa，22ln2fa，由题意，若 31ff即ln32a 时，则 21ln2ffa，所以ln3ln22a，若 31ff，即ln32a 时，则 323ln2ffa，所以3ln3ln22a，综上：3lnln22a8A【解析】法一：由2APABAC 平方可得2214cos4A，令tt，带入有2214cos4ttA，所以有2254cos22cos110AtAt，令其0 由题意254cos817cos5484 1

12、 cosAAA，法二：建立坐标系0,0A，1,0B，cos,sinCAA，2cos,2 sinPAA，由题意2222cos4sin1AA展开有2214cos4A，下同法一二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分9-12ADABCABDACD9AD【解析】易得NM于是选择 AD10ABC【解析】由题可知1pq，从而确定 ABC 为正确答案11 ABD【解析】C：24yx，设直线 l：8myx联立有24320ymy，则124yym，1232y y 对于 A：124 412OAOBkky y，正确；对于 B：设中点为,x

13、y则有221222221222121224644 28882yyyyy yyyyxyyy，正确；对于 C：22221211122 2221213316 234444y yyyyyAFBF，错误；对于 D：221212643232016y yOA OBy y ，所以正确12ACD【解析】对于 A，1 2313 14105，故100a在第 14 行倒数第 6 个，10022a对于 B，22 第一次是出现在第 12 行倒数第 2 个对于 C，2221nn，可得23222n，可得 22 在 na中出现了 11 次对于 D，设第 n 行的数字之和为nb，则221322nnnnnnb故100121314

14、15 1622Sbbb2223 12131231314229134522，故答案为：ACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1343 310141711512，34161212,01,2213【解析】由题可得24sin35，2243 3sinsin331014【解析】可得*1112nnn naaN，累加得111nn na，9171a 15【解析】设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则在ABD，ABC中，分别由余弦定理有222112cos4164abaccB，2222cosbacacB，消元得：224ac，2ac，12ABcBCa，在ABD，ACD中，分别由正弦定理

15、有：sinsinBDABBADADB，sinsinCDACCADADC，两式相除得：sinsinBAD CDACCAD BDAB，2bc，从而由余弦定理得3cos4B 16【解析】由11coscoscoscos24ACACAC，又由22sinsinsinbacBAC，所以2211coscossinsinsincossin44ACACBACB，21cos1 cos4BB，1cos2B，3B，从而cos1AC，AC，即ABC为等边三角形设 BC 中点 M，则21TB TCTM ，由题意若满足20TB TCtt 的点 T 恰好有 2 个，即需要312TM，故23114tt ，实数 t 的取值范围为1

16、212,01,22四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17解：（1）设kA表示甲类问题答对 k 道，lB表示乙类问题答对 l 道（0k，1，2，0l，1，2）所求概率为1111412929P A BP AP B，3 分（2）的所有可能值为 0，1，2，3，4，且000011109436PP ABP AP B，011011411192946PP ABP A B，02112011414113294929436PP ABP A BP AB，122141411394923PP A BP AB224114949PP AB8 分综上知的分布列为01234P1361613361319从而，的期望为11

17、131170123436636393E 10 分18解：（1）取 AD 中点 M，连接 OF，OM，ME2BFFC，O 为 BC 中点，BCOF，又BCOM，故BC 平面 OMEF，故BCOE又BCAD，OEAD3 分在直角梯形 OMEF 中，2OM，1OF，1EF，可得2OE，2ME，又222OMOEME可得，OEEM由，ADMEM，可得OE 平面ADE6 分（2）如图，以 O 为坐标原点，OM 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，OF 所在直线为 z 轴，建立坐标系 可得1,0,1E，0,0,1F，2,0,0M则由（1）知平面 ADE 的一个法向量为1,0,1OE 平面 BCF

18、的一个法向量为2,0,0OM 故22cos,22 2OE OM 平面 ADE 和平面 BCF 所成角锐二面角大小为412 分19解：（1）由cos2cosbBaA，可得sincossin2cosBBAA，化简可得2sinsinsinBABC故12bc4 分（2）ABC.的面积1S，且2cb，21sinsin12ABCSc bAbA，5 分21sinbA，根据余弦定理得：222222cos42 2cosacbb cAbbb bA 22254cos54cos54cossinAbbAA bA，即254cossinAaA，8 分可得sin4cos5AA，24sin4cos16sin5aAAaA，则45

19、165sinaA，解得：3a，即边 a 的最小值为312 分20解：（1）由2*nnSnann nN得，2111112nnSnannn，上两式相减得：111210nnnanan，122nnaan，na是公差为 2，首项为 1 的等差数列，21nan，3 分由1b，2b，312345,1,3,5,7,9ba a a a a得：11b，23b，39b，单调递增等比数列 nb的通项公式为1*3nnbnN，5 分（2）由（1）得1nb的前 n 项和*31123nnTnN，6 分故不等式1331mnmnTmTm等价于11213331231133mnmnmm，即，112133332311313nmmnmm

20、，也即121112311313mnm，1212311313mnm，9 分122 3113103mnm（*），由13231nm得1m，代入（*）可得139n，所以1n，故存在符合条件的止整数 m，n，其中1m，1n 12 分21解：（1）32ca，24a，2a，3c，2221bac故椭圆方程为2214xy4 分（2）联立直线和椭圆可得2214ykxmxy，解得2221 48440kxkmxm，于是有：2222284 1 444041kmkmmk，122814kmxxk，21224414mx xk6分由题意 BP：1111yyxx，BQ：2211yyxx，分别和0y 联立得，111Mxxy，221

21、Nxxy，8 分由111MNxx，得1212111yyxx，即12122110kx xmxx，10 分整理得1210mkm，解得1m（舍去）或者12mk 故直线 l 的方程为：1 2ykxk，过定点为2,112 分22解：（1）22133mxmfxxxx当0m 时，0fx，fx单调递增，函数 fx不可能与 x 轴相切当0m 时，函数在0,3m上单调递减，在3,m 上单调递增，函数 fx与 x 轴相切，即30fm，解得13em 5 分（2）由（1）可知0m，因为1x，2x是 fx的两个不同的零点且12xx，则有122133lnlnmmxxxx，即1212123lnxxx xxmx，7 分构造函数 31ln31xfxxx，2296131xxfxxx，1,x时，0fx，即 fx在1,上单调递增，故 10fxf，即31ln31xxx在1,x时恒成立9 分令12xtx，则1t 可得12112231ln31xxxxxx，即121212lnln33xxxxxx，将代入可得，12123x xxxm，即12131xxm