河北省九师联盟2023届高三上学期11月月考数学试题含答案.pdf

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1、河北省九师联盟河北省九师联盟 2022-2023 学年高三学年高三 11 月月考数学月月考数学试题试题考生注意：考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分本试卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟2答题前答题前，考生务必用直径考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用 2B 铅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径非选择

2、题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效题卷、草稿纸上作答无效4本卷命题范围本卷命题范围：集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语、不等式不等式、函数函数、导数导数、三角函数三角函数、解解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何三角形、平面向量、复数、数列、立体几何一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是

3、符合题目要求的1已知集合P 正奇数，,Mx xab aP bP，若MP，则 M 中的运算“”是（）A加法B除法C乘法D减法2在复平面内，复数 z 对应的点(5,)b在第四象限，若|3z，则z（）A35iB53iC52iD52i3已知各项均为正数的等比数列 na的前 n 项和为nS，若4623,12SSS，则8S（）A1275B51C1285D25654 设函数()yf x的定义域为R，则函数(3)yf x与(1)yfx的图象关于（）A直线1y 对称B直线2x 对称C直线2x 对称D直线2y 对称5已知函数22()sinsin3f xxx，则()f x取最大值时，x 的一个值为（）A6B6C3D

4、566记nS为数列 na的前 n 项和，“对任意正整数 n，均有0na”是“nS为递减数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知点 M 是ABC所在平面内一点，若1123AMABAC ，则ABM与BCM的面积之比为（）A52B2C83D438已知某四面体的三组对棱的长分别相等，依次为 3，4，x，则 x 的取值范围是（）A(5,7)B(4,7)C(5,3)D(7,5)二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部

5、选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分9若函数2()ln1()f xxxR，则（）A()f x是奇函数B()f x是偶函数C()f x没有最小值D()f x没有最大值10给定平面，设 A，B 是外任意两点，则（）A在内存在直线与直线AB异面B在内存在直线与直线AB相交C在内存在直线与直线AB平行D存在过直线AB的平面与垂直11已知sinsin，则下列命题正确的是（）A若角,是第一象限角，则coscosB若角,是第二象限角，则tantanC若角,是第三象限角，则coscosD若角,是第四象限角，则tantan12如图，在长方体1111ABCDAB

6、C D中，1122ABADAA，点 P 为空间一点，若APxADyAB 1(1)xy AA，1BQBDBB ，则下列判断正确的是（）A线段AP长度的最小值为号43B当12时，三棱锥1QBDA的体积为定值C无论,x y 取何值，点 P 与点 Q 不可能重合D当12时，四棱锥QABCD的外接球的表面积为9三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13若向量,a b 满足|3,|5,1aaba b，则|b _14已知函数2222,0,()22,0,xxaxf xxxa x若对任意 3,),()|xf xx 恒成立，则实数 a 的取值范围是_15

7、在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c 已知2222,sin3sin2 sinaABaC，则cosC的最小值为_16 已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若780,0SS，则65aa的取值范围是_四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤17（本小题满分 10 分）在公差不为 0 的等差数列 na中，139,a a a成公比为3a的等比数列，又数列 nb满足2,21,2,2annkbkn nkN（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 nb的前 n 项和nT18（本小题满分 12

8、 分）如图，在直棱柱1111ABCDABC D中，111,2,ABCD ABBBBCCD BCBA AB与1AB交于点 E（1）求证：AD平面1CEC；（2）求直线1AB与平面1CEC所成角的正弦值19（本小题满分 12 分）设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A 为钝角，且tanbBa（1）探究 A 与 B 的关系，并证明你的结论；（2）求coscoscosABC的取值范围20（本小题满分 12 分）已知数列 na满足222111,321,12nnnnaaaba（1）证明：数列 nb是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列 nb中的任意三项,()ijkb b b ijk都

9、不成等差数列；（3）若关于正整数 n 的不等式nnbm的解集中有且仅有三个元素，求实数 m 的取值范围21（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2ABCBAD，2PAAD，1ABBC（）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值；（2）定义两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离22（本小题满分 12 分）已知函数()ln(1)sin()f xaxx a R（1）求()f x的图象在0 x 处的切线方程；（2）已知()f x在0,2上的最大值为ln12，讨论关于 x

10、的方程1()2f x 在0,内的根个数，并加以证明高三数学参考答案、提示及评分细则高三数学参考答案、提示及评分细则1 C若3,1ab，则14,2,3babP abPPa，因此排除 ABD，故选 C2D由题意，得5i(0)zb b，则2222|(5)3zb，解得2b （2 舍去），所以52iz 故选 D3B412346234563,12,0SaaaaSSaaaaq，23113aqqq，2231112a qqqq，解得11,25aq，则8811255112S故选 B4C设函数(3)yf x的图象上任意一点00,P xy，则00003,yfxP xy关于直线2x 的对称点为004,Qxy又函数(1)

11、yfx中，当04xx时，00143yfxf x，所以004,Qxy在(1)yfx的图象上故函数(3)yf x与(1)yfx的图象关于直线2x 对称故选 C5C2222221353()sinsinsinsincossincos32244f xxxxxxxx331cos23131113sin cossin21sin2cos21sin 2124442222622xxxxxxx 当,3xkkZ时，等号成立，取0k，得 x 的一个值为3故选 C6A当0na 时，则10nnnSSa2,nnN，1nnSS，则“对任意正整数 n，均有0na”是“nS为递减数列”的充分条件；如数列 na为0,1,2,3,4,，

12、显然数列 nS是递减数列，但是na不一定小于零，还有可能大于或等于零，所以“对任意正整数 n，均有0na”不是“nS为递减数列”的必要条件，因此“对任意正整数 n，均有0na”是“nS为递减数列”的充分不必要条件故选 A7B如图，延长AM交BC于 G，则(1)AGABAC ，因为 A，M，G 三点共线，所以AGtAM，即11(1)23ABACtABAC ，所以12113，则312，故35且65t，又CGCB ，故35CGCB ，所以21,36BGGMGCGA，所以52BMCBGMSS5125BAMS12BAMS所以2BAMBMCSS故选 B8D如图所示，设3,4ABAC，四面体AABC可以由A

13、BC和在同一平面的A BC沿着BC为轴旋转构成，前三个图讨论最短：当90ABC向90趋近时，BC逐渐减少，AABC，可以构成xAABC 的四面体；当90ABC时，构成的四面体AABC，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于22437后三个图讨论最长：当90BAC向90趋近时，BC逐渐增大，AABC，可以构成xAABC 的四面体；当90ABC时，构成的四面体AABC，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于22435综上，(7,5)x故选 D9 BD易知()f x的定义域为R，且x R，都有2()ln1()fxxf x，所以()f x为偶函数，故 B 正确，A 错误；因为211x

14、，所以2()ln1ln10f xx，所以()f x没有最大值，有最小值 0，故 C 错误，D 正确故选 BD10AD因为 A，B 是外的任意两点，所以直线AB与平面相交或平行若AB与平面相交，设交点为 O，则内不过交点 O 的直线与AB异面，但平面内不存在与AB平行的直线；若AB与平面平行，则在内存在直线 b 与AB平行，而在内与 b 相交的直线与AB异面，但内不存在直线与AB相交，由上知 A 正确，B、C 均错误；无论AB与平面平行还是相交，过 A 作平面的垂线，则这条垂线与直线AB所在平面与平面垂直（如果垂线与AB重合，则过AB的任意平面都与垂直），D 正确 故选 AD11BCD设角,的终

15、边分别为射线OP，OQ对于 A，如图 1，sinsinMPNQ，此时cos,cos,OMON OMON，所以coscos，故 A 错误；对于 B，如图 2，sinsinMPNQ，此时tan,tanACAB，且ACAB，所以tantan，故 B 正确；对于 C，如图 3，sinsinMPNQ，此时cos,cosOMON，且OMON，所以coscos，故 C 正确；对于 D，如图 4，sinsin,MPNQABAC，即tantan，故 D 正确故选 BCD12ABD由 A1(1)APxADyABxy AA 得点 P 在平面1BDA内，故AP的最小值为点 A 到平面1BDA的距离，利用等积法易求mi

16、n4()3AP，故 A 正确；当12时，点Q 的轨迹为图中直线EF，显然EFBD，易得EF平面1BDA，故三棱锥1QBDA的体积为定值，故 B 正确；由1BQBDBB ，则点 Q 在平面11BDD B内，又点 P 在平面1BDA内，且平面1BDA 平面11BDD BBD，故 P，Q 可能重合，故 C 错误；当12时，点 Q 为1DB的中点，连接AC，其与BD的交点为1O，连接1QO，则12QO，设四棱锥QABCD的外接球的球心为 O，则 O 在1QO上，设球 O 的半径为 R，则222(2)2ACRR，解得32R 故球 O 的表面积为23492，故 D 正确 故选 ABD133 2由|5ab得

17、2()25ab，即22225aa bb ，结合|3,1aa b，得2232 1|25b ，所以2|18b，即|3 2b 141,28由题意，当0 x 时，2()22f xxxa，只需222xxax恒成立，即22axx 恒成立，因为0 x 时，2yxx 的最大值为14，所以18a；当30 x 时，2()22f xxxa，只需222xxax 恒成立，即232axx 恒成立，因为30 x 时，232yxx 的最小值为 2，所以2a 故 a 的取值范围为1,2815342a，则原等式为222sin3sin4sinABC，由正弦定理得22234abc，222cos2abcCab2222221333428

18、4ababababab，当且仅当223ba时取等号，所以cosC的最小值为34162,3由题意可得171810,0,7670,28780,2addSadSa所以1732ad，令17,32atd，61515544aadtaadt令57()342tf ttt ，则224(5)1()0(4)(4)ttf ttt在7,32上恒成立，故函数()f t在7,32上单调递减，7573523,(3)2723442ff ，即65aa的取值范围是(2,3)17解：（1）公差 d 不为 0 的等差数列 na中，139,a a a成公比为3a的等比数列，所以2319313,aa a aa a，所以2111128,1a

19、da ada，解得11ad，所以,nan nN（2）由（1）可得2,21,2,2nnnkbkn nkN，当 n 为偶数时，128322(48 122)nnTn 22 14(42)2 21(2)214232nnnnn n；当 n 为奇数时，12212 21(1)(1)27232326nnnnnnnnnTTb所以222 21(2),3227,.326nnnn nnTnn为偶数为奇数18（1）证明：分别取线段1,AB CC的中点 F，G，连结,CF EF EG，如图所示因为点 F 是线段AB的中点，2,ABCD ABCD，以,AFCD AFCD，所以四边形AFCD是平行四边形，所以ADCF在1ABB

20、中，点 F 是线段AB的中点，点 E 是线段1AB的中点，所以111,2EFBB EFBB因为点 G 是线段1CC的中点，所以1111,2CCBB CGBB，所以,EFCG EFCG，所以四边形EFCG是平行四边形，所以CFGE，又ADCF，所以ADGE又AD 平面1,CEC GE 平面1CEC，所以AD平面1CEC（2）解：在直棱柱1111ABCDABC D中，1BB 平面ABCD，又,AB BC 平面ABCD，所以11,BBAB BBBC又11111,BCBA BBBAB BB BA平面11ABB A，所以BC 平面11ABB A，又BA平面11ABB A，所以BCBA不妨设2AB，以 B

21、 为坐标原点，1,BA BB BC所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,2),(2,0,0),(0,2,0)BACCAB，所以11(1,1,0),(2,2,0),(1,1,2),(1,1,2)EABCEC E 设平面1CEC的一个法向量(,)nx y z，所以10,0,n CEn C E 即20,20,xyzxyz令4x，解得0,2yz，所以平面1CEC的一个法向量(4,0,2)n 设直线1AB与平面1CEC成角的大小为，则11|8|10sin544164|n ABn AB，即直线1AB与平面1C

22、EC所成角的正弦值是10519解：（1）A 与 B 之间的关系是2AB，证明如下：因为tanbBa，由正弦定理，得sinsinsincosBBAB，所以sincosAB，即coscos2AB，又因为2A，所以0,0,222AB，于是2AB，所以2AB（2）由（1）知，2AB，所以202CB，所以04B，所以coscoscossincossin2ABCBBB 令cossintBB，则2cos(0,1)4tB且2sin21Bt，所以2215coscoscos124ABCttt 当12t 时，21tt 取得最大值，最大值为54，当1t 或 0 时，21tt 的值为 1，所以coscoscosABC的

23、取值范围是51,420（1）证明：由221321nnaa，得2213 12 1nnaa，即123nnbb又211113,124aba 则有123nnbb，所以 nb是首项为34，公比为23的等比数列，所以13243nnb（2）证明：假设存在,()ijkb b b ijk成等差数列，则2jikbbb，即1113232322434343jik，整理得22323j ij ik ij k，易知上式左侧为偶数，右侧3j i为奇数，23k ij k不可能为奇数，则上式左侧与右侧不可能相等，故数列 nb中的任意三项,()ijkb b b ijk都不成等差数列（3）解：关于正整数 n 的不等式nnbm，即13

24、243nnm，当1n 时，34m；当2n 时，1m；当3n 时，1m；当4n 时，89m，并且当3n 时，1(1)2(1)21811339nnnbnnbnn所以当3n 时，数列nnb单调递减，要使关于正整数 n 的不等式nnbm的解集中有且仅有三个元素，则3849m，放实数 m 的取值范围为3 8,4 921解：以 A 为原点，分别以棱,AB AD AP所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)BCDP（1）因为PA平面ABCD，且AD 面ABCD，所以PAADD，又ABAD，且PAAB

25、A，所以AD 平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)AD 因为(1,1,2),(0,2,2)PCPD 设平面PCD的法向量为(,)mx y z，则0,0m PCm PD 即20,220,xyzyz令1y，解得1,1zx，所以(1,1,1)m 是平面PCD的一个法向量从而3cos,3|AD mAD mAD m，所以平面PAB与平面PCD所成夹角的余弦值为33（2）易知(1,0,2)BP ，设 Q 为直线PB上一点，且(,0,2)BQBP ，又(1,1,0),(0,1,0)CDCB ，则(,1,2)CQCBBQ ，所以点 Q 到直线CD的距离2222(|cos,)CQ CDd

26、CQCQCQ CDCQCD 222219114221 1 因为22919144222999，所以23d 所以异面直线PB与CD之间的距离为2322解：（1）因为()ln(1)sinf xaxx，所以sin()ln(1)cos1xfxaxxx，(0)0,(0)0,ff，所以()f x的图象在0 x 处的切线方程为00y，即0y（2）当0,2x时，有sinln(1)cos01xxxx当0a 时，()0f x，不符合题意；当0a 时，()0fx，则()f x在0,2上单调递减，即max()(0)0f xf，不符合题意；当0a 时，()0fx则()f x在0,2上单调递增，即max()ln1ln122

27、2f xfa，解得1a 令1()()2g xf x，由（1）知()g x在0,2上单调递增因为11(0)0,ln102222gg，所以()g x在0,2内存在唯一的零点当,2x时，sin()ln(1)cos1xg xxxx，令()()h xg x，则222(1)cos1(1)ln(1)sin()(1)xxxxxh xx，所以当,2x时，有()0h x，即()g x在,2上单调递减，因为10,()ln(1)0212gg，所以()g x在,2内存在唯一零点0 x，即00gx，所以当0,2xx时，0()0g xgx，即()g x在0,2x上单调递增，所以有()02g xg，即()g x在0,2x内无零点，当0,xx时，0()0g xgx，所以()g x在0,x上单调递减因为00,()0g xg，所以()g x在0,x内有且仅有一个零点综上，关于 x 的方程1()2f x 在0,内有两个不相等的实数根