2023届新高考数学小题微点特训全集含答案微点特训25 空间几何体及其表面积和体积.pdf

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1、 空间几何体及其表面积和体积 考点对点练 保分必拿 考点一空间几何体的结构及其直观图下列说法正确的是()A有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形C有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台D以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是()A()()B()()C()()D()()水平放置的A B C的直观图如图,其中B O C O,A O,那么原A B C是一个()A等边

2、三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,多见于亭阁式建筑如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为,则侧棱与底面内切圆半径的比为()A s i nB c o sCs i nD c o s“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图,其反射面的形状为球冠,球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆为底,垂直于圆面的直径被截得的部分为高,设球冠底的半径为r,球冠的高为h,则球的

3、半径R已知正方体A B C DABCD的棱长为,动点P在正方体的表面上运动,且与点A的距离为 动点p的集合形成一条曲线,这条曲线在平面C D DC上部分的形状是;整条曲线的周长是 考点二空间几何体的表面积某同学在参加 通用技术 实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为,则该球的半径是()A B C D 微点特训数学(新)罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高 约 米如 图 所示,太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒

4、立的两个圆锥,正方向投影过去,其平面几何图形形状为一个角为,边长为的菱形现在其中一个圆锥中放置一个球体,使得球与母线、底面相切,则该球的表面积为()ABCD(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径R相等,下列结论正确的是()A圆柱的侧面积为 RB圆锥的侧面积为 RC圆柱的侧面积与球面面积相等D圆锥的表面积最小 将长、宽分别为和的长方形A B C D沿对角线A C折成 直 二 面 角,得 到 四 面 体AB C D,则 四 面 体AB C D的外接球的表面积为()A B C D 农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大

5、家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的表面积为;该六面体内有一球,则该球体积的最大值为 考点三空间几何体的体积 一个底面半径为的圆锥,其内部有一个底面半径为的内接圆柱,若其内接圆柱的体积为,则该圆锥的体积为()A B C D 已知一个圆锥的底面半径为,高为,其体积大小等于某球的表面积大小,则此球的体积是()A B C D 在直三棱柱A B CABC中,M是B B上的点,A B,B C,A C,C C,过三点A、M、C作截面,当截面周长最小时,截

6、面将三棱柱分成的两部分的体积比为()ABC D 如图,实心铁制几何体A E F C B D由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知B CE Fc m,A Ec m,B EC Fc m,A Dc m,且A EE F,AD底面A E F某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗 ,则铸得的铁球的半径为c m 设圆锥的顶点为A,B C为圆锥底面圆O的直径,点P为圆O上的一点(异于B、C),若B C,三棱锥AP B C的外接球表面积为 ,则圆锥的体积为 微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 的球O的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为()A B

7、 C D 一个正三棱锥(底面积是正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为,的球面上,球心在三棱锥的底面所在平面上,则该正三棱锥的体积是()A BCD 九章算术 中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马设A A是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以A A为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A B C D 唐狩猎纹高足银杯如图所示,银杯经锤揲成型,圆唇侈口,直壁深腹,腹下部略收,下承外撇高足纹样则采用堑刻工艺,鱼子地纹,杯腹上部饰一道凸弦纹,下部阴刻一道弦纹,高足中部有“算盘珠”式节它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(

8、假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图所示已知球的半径为R,酒杯内壁表面积为 R设酒杯上面部分(圆柱)的体积为V,下面部分(半球)的体积为V,则VV的值是()A BC D 祖暅(公元世纪,祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到S圆及S

9、环两截面,可以证明S圆S环总成立据此,短轴长为c m,长轴为c m的椭球体的体积是c m()A B C C 如图,四边形A B C D是边长为的正方形,E D平面A B C D,F C平面A B C D,E DF C,则四面体AB E F的体积为()ABC D蹴鞠(如图所示),年月 日,已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球已知某鞠(球)的表面上有四个点A、B、C、P,且球心O在P C上,A CB C,A CB C,t a nP A Bt a nP B

10、A,则该鞠(球)的表面积为()微点特训数学(新)A B C D 三棱锥SA B C的底面各棱长均为,其外接球半径为,则三棱锥SA B C的体积最大时,点S到平面A B C的距离为()A B C D 二、多项选择题已知A B C的三边长分别是A C,B C,A B 则下列说法正确的是()A以B C所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为 B以A B所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为 C以A C所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的全面积为 D以A C所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为 (多选)沙漏是古代的一种计时装置,它由

11、两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图,某沙漏由上到下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 c m,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)假设该沙漏每秒钟漏下 c m的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是A沙漏中的细沙体积为 c mB沙漏的体积是 c mC细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度为 c mD该沙漏的一个沙时大约是 秒()三、填空题 在体积为 的三棱锥S A B C中,S AA C,S BB C,A B,S AA CC B

12、B S,则该三棱锥外接球的表面积为 已知 直 角 三 角 形A B C两 直 角 边 长 之 和 为,将A B C绕其中一条直角边旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为;此时该旋转体外接球的表面积为 真题体验练 实战抢分(新高考卷,)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A B C D (新高考卷,)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果,在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为 k m(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)将地球看作是一个球心为O,半径r为 k m的球,其上点A的纬度是指O A与赤道平面所成角的度数地球表面上

13、能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S r(c o s)(单位:k m),则S占地球表面积的百分比约为()A B C D (新高考卷,)正四棱台的上、下底面的边长分别为,侧棱长为,则其体积为()A B C D (全国甲卷,)已知A,B,C是半径为的球O的球面上的三个点,且A CB C,A CB C,则三棱锥OA B C的体积为()A B CD(全国甲卷,文科)知一个圆锥的底面半径为,其体积为 ,则该圆锥的侧面积为 微点特训数学(新)()()()(),)由题意知,数列通项公式为annan,且 数列具有性质P(),anamnmnan()mam()n

14、m,nan()mam()nm n nan()m mam()nm恒成立,数列n nan为单调递增数列,(n)(n)an n nan()恒成立,即an(n)(n),由数轴标根法作图(图略)可得:最大值在n,或上取得,当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),当n时,n(n)(n),故a 真题体验练 实战抢分 C 要想n最大,前面的项应该越小越好,前 项和为 超过了 ,故n的最大值为,如,选C A C D 考查新定义问题,主要是二进制各位数字和的运算,属于偏难的题目设naaakak,则naakak,(n)(n)aaak,A正确;取n,()(),B不正确;naakak,n

15、aakak,(n)(n)(n),C正确;比较容易的判断是D选项,n可以看成数列,n的前n项和,翻译成二进制数就是(n个),所以各位数字和(n)n,正确;nn()对折次有 ,共种,面积和为S d m,对折次有 ,共种,面积和为S d m对折n次有n种类型,Sn n(n),因此nkSk nn(),nkSk nnnn(),因此nkSk nnn()nn(),所以nkSk nn()d m微点特训 空间几何体及其表面积和体积考点对点练 保分必拿 B 对于A,如图()符合条件但却不是棱柱;对于B,在图()所示的正方体中,三棱锥BB C D的三个侧面都是直角三角形,故B正确对于C,如图(),其侧棱不相交于一点

16、,故不是棱台对于D,如图(),以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥 B 当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为等腰三角形,此时()符合条件;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为双曲线的一支,此时()符合条件;故截面图形可能是()()AA OA O ,在R t A O B中,A B(),同理A C,又由题意可知,B C,所以A B C是等边三角形,故选A A 如图,正六边形是正六棱锥的底面时,等腰三角形是正六棱锥在的侧面,设侧棱S AS Bb,底面边长A Ba,底面内切圆半径O Cr,A S B,则O A B是等边三角形,ras i n a,侧面S A B中,abs i n,r bs

17、i n,即br s i n s i nrhh 如下图所示:球心到截面圆的距离为Rh,由勾股定理可得(Rh)rR,化简得rhR h,解得Rrhh 微点特训数学(新)圆弧 由题意得,此问题的实质是以A为球心、为半 径 的 球 在 正 方 体A B C DABCD各个面上交线的长度计算,正方体的各个面,根据与球心位置关系分成两类:A B C D、A ADD、A AB B为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、ABCD、BB C C、DD C C为与球心距离的截面,截痕为小圆弧,由于截面圆半径为r,故各段弧圆心角为 这条曲线长度为 故答案为:圆弧;B 设截面圆半径为r,球的半径为R,则球心到某一截

18、面的距离为正方体棱长的一半即,根据截面圆的周长可得 r,得r,故由题意知Rr(),即R(),所以R B 据题意圆锥的轴截面是边长为的正三角形,正三角形内切圆半径为,即为圆锥内切球半径,球表面积为S C D 由题意可得,圆柱、圆锥的底面半径均为R,高均为R,球的半径为R则圆柱的侧面积为 RR R,故A错误圆锥的侧面积为 R R R,故B错误球的表面积为 R,圆柱的侧面积与球面面积相等,故C正确圆锥的表面积为S侧S底 RR()R,圆柱的表面积为S侧S底 R R R,球的表面积为 R,圆锥的表面积最小,故D正确 A 取A C的中点O,连接O B、O D,如下图所示:由题意A C,因 为A B CAD

19、 C,O为A C的 中点,所以,O BO DA CO AO C,所以,O为四面体A B C D的外接球的球心,且球O的半径为R,因此,四面体A B C D的外接球的表面积为 R 故选A ,一个正三角形面积为,该六面体是由六个边长为的正三角形构成的,所以面积为;该六面体也可看成由两个全等的正四面体组合而成,正四面体的 棱长 为,如 图,在棱 长 为的正 四面 体S A B C中,取B C中点为D,连接S D,AD,作S O平面A B C,垂足O在AD上,则ADS D,O DAD,S OS DO D,当该六面体内有一球,且该球体积取最大值时,球心为O,且该球与S D相切,过球心作O ES D,则O

20、 E就是球半径,因为S OO DS DO E,所以球半径RO ES OO DS D ,所以该球体积的最大值为:V D 作出该几何体的轴截面图如图,B C,B D,设内接圆柱的高 为h,由 h,得h C A BC E D,E DA BC DC B,即A B,得A B,该圆锥的体积为 D 设球的半径为R,圆锥的体积为,由于球的体积大小等于某球的表面积大小,则 R,R,因此,该球的体积为V 故选D D 如图:因为A C 为定值,所以AMMC最小时,截面周长最小,将平面A B BA与平面B C CB放在一个平面内,如图:连接A C,与B B的交点即为M,则此时AMMC最小,此时BM,因 为A B,B

21、C,A C,所 以A BB CA C,所 以A BB C,又 三 棱 柱A B CABC为直三棱柱,所以B B平面A B C,所以B BA B,因为A BB BB,所以A B平面B C CB,AB C CM的体积VA B(BMC C)B C(),三棱柱的体积VSA B CC C,截面将三棱柱分成的两部分的体积比为VVV 设铸得的铁球的半径为rc m,依题意,可得该几何体的体积为(),则()r,解得r故答 案为 或 设圆锥A O的外接球球心为M,则M在直线A O上,设球M的半径为r,则 r ,解得r由勾 股 定 理 得BMOMO B,即()OM,可 得OM,即OM|A Or|A O|,解得A O

22、或A O当A O时,圆锥A O的体积为V();当A O时,圆锥A O的体积为V()微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢 B 设球的半径为R,由球体的体积公式有R ,得R 设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为,则rc o s,圆柱的高 为s i n,圆 柱 的 侧 面 积 为 c o ss i n s i n,当且仅当,s i n 时,圆柱的侧面积最大,圆柱的侧面积的最大值为 故选B C 设正三棱锥底面中心为O,连接O P,延长C O交A B于D,则C DO C O是三棱锥PA B C的外接球球心,O PO C,C D,B C VP A B CSA B CO P()C 根 据 正 六

23、 边 形 的 性 质,则DAA B B,DAA F F满足题意,而C,E,C,D,E,和D一样,有,当AA C C为底面矩形,有个满足题意,当AA E E为底面矩形,有个满足题意,故有,故选C C 设酒杯上部分圆柱的高为h,则酒杯内壁表面积S R R h R,则hR,VRhR,VR,VV B 根据题意,由椭圆的短轴长为,长轴长为可知,圆柱的高为h,底面半径r,由圆柱和圆锥的体积公式,结 合 题 中 结 论 知,V椭球体(V圆柱V圆锥)rhrh(),即V椭球体 ()B 分别取B C,E D,A D的中点G,P,Q,连接F G,F P,P Q,Q G,由于E D F C,P为E D中点,因此P D

24、F C,P DF C,故四边形F C D P为平行四边形,P FD C,且Q,G为DA,C B中点,Q GD CQ GP F,且Q GP F,因此四边形P F G Q为平 行四 边 形,P QF G P,P,Q为D E,D A中点,P QE A,F GE AF G平面E A B,VA B E FVF A B EVG A B EVE A B GE DSA B G C 如图所示:在A B C中,因为A CB C,A CB C,所以A BA CB C,即A B,在P A B中,t a nP A Bt a nP B A,所 以P A BP B A,即P A B是 等 腰 三 角形,过 点P作PDA B

25、,则B DAD,因 为t a n P A BP DB D,所以P D ,P BP DB D,又球心O在P C上,故P C为球O的直径,所以P B CP A C,P CP BC B,即R,解得R,所以该球的表面积是S R C 设点S到底面的距离为h,则VSA B CSA B Ch,当 三 棱 锥SA B C的体积最大时,即h最大,由题可知:A B C为边长为的等边三角形,则点S在底面的投影为A B C的中心M,且O S底面A B C,如图所示,又A B,所以AMA Bs i n ,又O AO S,所以OMO AAM,所以SMOMO S,故选C A B D 以B C所在直线为轴旋转时,所得旋转体是

26、底面半径为,母 线 长 为,高 为的 圆 锥,其 侧 面 积 为 ,故A正确;以A B所在直线为旋转轴,所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体,其半径为,故所 得 旋 转 体 的 体 积:V(),故B正确;以A C所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为,母线长为,高为的圆锥,侧面积为 ,体积为 ,故C错误,D正确 A C DA根据圆锥的截面图可知:细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径rc m,所以体积Vrh c m;B沙漏的体积Vh()h c m;C设细沙流入下部后的高度为h,根据细沙体积不变可知:h()()h,所以 h,所以h

27、c m;D因 为 细 沙 的 体 积 为 c m,沙 漏 每 秒 钟 漏 下 c m的沙,所以一个沙时为:秒故选A C D 微点特训数学(新)如图,由题意得,S A C与S B C为全等的等腰直角三角形,故S C的中点O为三棱锥S A B C外接球的球心设O SO BO AO CR,又S CO B,S CO A,O AO BO,O A,O B平 面A O B,故S C平 面A O B,设等腰三角形A O B底边A B上的高为h,则hR,所以VS A B CVS A O BVC A O BSA O BS CRR,解得R,故三棱锥SA B C外接球的表面积为 R 设直角三角形的两边分别为a,b,则

28、ab,以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为Vaba(a)(a),则V(aa),令V,解得a或a,所以当a时,V;当a时,V,所以当a时,体积最大,最大值为,此时圆锥的底面半径为,高为,设外接球的半径为R,则R(R),所以外接球的半径为,其表面积为 真题体验练 实战抢分 B 根据底面周长等于侧面展开图弧长,设母线为l,底面半径为r,则有 r l,化简得l r ,答案选B C 考查信息问题,考查卫星信号覆盖的问题,计算过程结合简单的三角函数和球的表面积公式,属于中档题 c o s ,S rc o s D 考查棱台体积的计算如图,高h(),V(S上S上S下S下)h()A 记A B C的外接

29、圆圆心为O,由A CB C,A CB C,知O为A B的中点,且A B,OC,又球的半径为,所以O AO BO C,所以O AO BA B,O O,于是O OOCO C,所以有O OOC,O OA B,进而O O平面A B C,所以VOA B CSA B CO O,故选A 设圆锥的高为h,母线长为l,则VS hrh h h,所以l()()(),所以S侧r l ,故答案为 微点特训 空间点、线、面的位置关系考点对点练 保分必拿 D 如图,在E F上任意取一点M,直线AB与M确定 一 个 平 面,这 个 平 面 与B C有且仅 有个交 点N,当M的位置不同时,确定不同的平面,从而与B C有不同的交

30、点N,而直线MN与AB,E F,B C分 别 有 交 点P、M、N,故 有 无 数 条 直 线 与 直 线AB、E F、B C都相交 A B C 在 题 图 中,连 接AC,A C,则A CB DO,又AC平面CB DM所 以 三 点C,M,O在 平 面CB D与 平 面A C CA的交 线上,即C,M,O三点共线,所以A,B,C均正确,D不正确故选A B C 由P QC BM,R QD BN,R PD CK得M平面P Q R,M平面B C D,N平面P Q R,N平面B C D,K平面P Q R,K平面B C D从而直线MN平面P Q R,故正确因为点M,N,K既在平面P Q R上,又在平面

31、B C D上,因此点M,N,K在两个平面的交线上,故正确设点M,N,K在直线l上,因为Al,则M,N,K,A四点共面故正确 可以想象三棱锥的个顶点,它们总共确定个平面可以想象四棱锥的个顶点,它们总共确定个平面 D 对于,正确;对于,逆推“与相交”推不出“a与b相交”,也可能ab;对于,正确;对于,反例:正方体的侧棱任意两条都共面,但这条侧棱并不共面,故错所以正确的是 D 对于A:若a,b,则a,b可平行,可异面,可相交,故A错误;对于B:若a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c可平行,可异面,可相交,故B错误;对于C:若a,b不同在平面内,则a与b可平行,可异面,可相交,故C错误;对于D

32、:根据异面直线的定义可知D是正确的,故选D A B C 还原正方体,画出正方体的 直 观 图,如 图F ENMA B C D,由图可知,AM与D F是相交直线,D错误;设正方体的棱长为a,则C EME a,C正确;由正方体的性质可得A B与MN平行且 相 等,所以A BNM是 平 行四边形,可得AMBN,A正确;由正方体的性质可得B C与MF平行且相等,所以B C M F是平行四边形,可得C MB F,在正方形C DMN中,C MDN,所以B FD N,B正确,故选A B C 直线AM与C C是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误 如图所示,连接BD,取A B的中点G,连接DG,BG由

33、题意得C F平面BDG,所以当点E在直线BG上时,DEC F,设B Ca,则SE B CE BB CE Ba,当E B C的面积取最小值时,线段E B的长度为点B到直线BG的距离,所以线段E B长度的最小值为a,所以SE B CS四边形A B C Daaa 微点特训数学(新)空间点、线、面的位置关系 考点对点练 保分必拿 考点一平面的基本性质及应用在三棱柱A B CABC中,E,F分别为棱A A,C C的中点,则在空间中与直线AB,E F,B C都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条(多选题)如图所示,在正方体A B C DABCD中,O为D B的中点,直线AC交平面C

34、B D于点M,则下列结论正确的是()AC,M,O三点共线BC,M,O,C四点共面CC,O,A,M四点共面DD,D,O,M四点共面如图所示,在四面体A B C D中作截面P Q R,若P Q与C B的延长线交于点M,R Q与D B的延长线交于点N,R P与D C的延长线交于点K给出以下命题:直线MN平面P Q R;点K在直线MN上;M,N,K,A四点共面其中正确结论的序号为空间任意点,没有任何点共线,它们最多可以确定个平面,空间点,其中有点共面,它们没有任何点共线,这个点最多可以确定个平面 考点二空间两直线位置关系的判断以下四个命题:三个平面最多可以把空间分成八部分;若直线a平面,直线b平面,则

35、“a与b相交”与“与相交”等价;若l,直线a平面,直线b平面,且abP,则Pl;若n条直线中任意两条共面,则它们共面其中正确的是()A B C D 已知,为不同的平面,a,b,c为不同的直线,则下列说法正确的是()A若a,b,则a与b是异面直线B若a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c也是异面直线C若a,b不同在平面内,则a与b是异面直线D若a,b不同在任何一个平面内,则a与b是异面直线(多选)如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列命题正确的是()AAMBNBB FDNCC EMEDAM与D F是异面直线如 图,正 方 体A B C D ABCD中,M,N分 别 为 棱CD,C

36、C的中点,有以下四个结论:直线AM与C C是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线BN与MB是异面直线;直线AM与DD是异面直线其中正确的结论为(把你认为正确的结论的序号都填上)在 正 方 体A B C DABCD中,点E平 面A ABB,点F是线段A A的中点,若DEC F,则当E B C的 面 积 取 得 最 小 值 时,SE B CS四边形A B C D 考点三异面直线所成的角 直线l与平面所成的角是,若直线l在内的射影与内的直线m所成的角是,则l与m所成的角是()A B C D (多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,错误的命题是()AA B与C F成 角BB D与E F

37、成 角CA B与C D成 DA B与E F成 角 在长方体A B C D ABCD中,二面角D A B D的大小为,D C与平面A B C D所成角的大小为,那么异面直线AD与D C所成角的余弦值是()ABCD 正三棱柱A B C ABC,A B,A A,D为棱AB的中点,则异面直线AD与C B成角的大小为微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题若a、b是异面直线,则下列命题中的假命题为()A过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行B过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直C唯一存在一个平面与直线a、b等距D可能存在平面与直线a、b都垂直如 图,正 方 体A B C DA

38、BCD中,若E,F,G分别为棱B C,C C,BC的中点,O,O分 别 是 四 边 形ADDA,ABCD的 中 心,则下列说法不正确的是()AA,C,O,D四点共面BD,E,G,F四点共面CA,E,F,D四点共面DG,E,O,O四点共面用一个平面截正方体,所得的截面可能是()A锐角三角形B直角梯形C有一个内角为 的菱形D正五边形m,n,l是三条不同的直线,是两个不同的平面,则下列判断正确的是()A若,m,mn,则nB若m,n,则mnC若m,n,l两两相交,且交于同一点,则m,n,l共面D若m,n,mn,则如图,正三角形A B C为圆锥的轴截面,D为A B的中点,E为弧B C的中点,则直线D E

39、与A C所成角的余弦值为()ABCD在 长 方 体 中A B C D ABCD,A B,A D,A A,M为线段AD(不含端点)上的动点,过B、M、D的平面截长方体A B C DABCD所得截面记为,设在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S,则S可能的值为()A B C D 如图,平面四边形A B C D中,E,F是AD,B D中点,A BADC D,B D,B D C,将A B D沿对角线B D折起至A B D,使平面A B D平面B C D,则四面体A B C D中,下列结论不正确的是()AE F平面A B CB异面直线C D与A B所成的角为 C异面直线E F与A C所成的角为 D直

40、线A C与平面B C D所成的角为 如图,已知圆锥C O的轴截面是正三角形,A B是底面圆O的直径,点D在A B上,且A O DB O D,则异面直线AD与B C所成角的余弦值为()ABCD二、多项选择题如图A B C DABCD为正方体,下列说法中正确的是()A三棱锥BA C D为正四面体BBC与A D互为异面直线且所成的角为 CAD与AB互为异面直线且所成的角为 DA A与BD互为异面直线且所成的角为 如图所示,在棱长为的正方体A B C DABCD中,过对角线B D的一个平面交棱A A于点E,交棱C C于点F,得四边形B F DE,在以下结论中,正确的是()A四边形B F DE有可能是梯

41、形B四边形B F DE在底面A B C D内的投影一定是正方形C四边形B F DE有可能垂直于平面B BDDD四边形B F DE面积的最小值为三、填空题 如图,在四面体A B C D中,A BC D,M、N、P、Q分别是B C、A D、A C、B D的中点,则MN和P Q所成角为,若A B与C D所成角为,则MN和C D所成角为 如图,已知平面四边形A B C D,A BB C,C D,AD,A D C 沿 直 线A C将A C D翻 折 成A C D,直线A C与B D 所成角的余弦值的最大值是 真题体验练 实战抢分(全国乙卷,)在正方体A B C DABCD中,P为BD的中点,则直线P B

42、与A D所成的角为()ABCD 微点特训数学(新)如图,由题意得,S A C与S B C为全等的等腰直角三角形,故S C的中点O为三棱锥S A B C外接球的球心设O SO BO AO CR,又S CO B,S CO A,O AO BO,O A,O B平 面A O B,故S C平 面A O B,设等腰三角形A O B底边A B上的高为h,则hR,所以VS A B CVS A O BVC A O BSA O BS CRR,解得R,故三棱锥SA B C外接球的表面积为 R 设直角三角形的两边分别为a,b,则ab,以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为Vaba(a)(a),则V(aa),令V

43、,解得a或a,所以当a时,V;当a时,V,所以当a时,体积最大,最大值为,此时圆锥的底面半径为,高为,设外接球的半径为R,则R(R),所以外接球的半径为,其表面积为 真题体验练 实战抢分 B 根据底面周长等于侧面展开图弧长,设母线为l,底面半径为r,则有 r l,化简得l r ,答案选B C 考查信息问题,考查卫星信号覆盖的问题,计算过程结合简单的三角函数和球的表面积公式,属于中档题 c o s ,S rc o s D 考查棱台体积的计算如图,高h(),V(S上S上S下S下)h()A 记A B C的外接圆圆心为O,由A CB C,A CB C,知O为A B的中点,且A B,OC,又球的半径为,

44、所以O AO BO C,所以O AO BA B,O O,于是O OOCO C,所以有O OOC,O OA B,进而O O平面A B C,所以VOA B CSA B CO O,故选A 设圆锥的高为h,母线长为l,则VS hrh h h,所以l()()(),所以S侧r l ,故答案为 微点特训 空间点、线、面的位置关系考点对点练 保分必拿 D 如图,在E F上任意取一点M,直线AB与M确定 一 个 平 面,这 个 平 面 与B C有且仅 有个交 点N,当M的位置不同时,确定不同的平面,从而与B C有不同的交点N,而直线MN与AB,E F,B C分 别 有 交 点P、M、N,故 有 无 数 条 直

45、线 与 直 线AB、E F、B C都相交 A B C 在 题 图 中,连 接AC,A C,则A CB DO,又AC平面CB DM所 以 三 点C,M,O在 平 面CB D与 平 面A C CA的交 线上,即C,M,O三点共线,所以A,B,C均正确,D不正确故选A B C 由P QC BM,R QD BN,R PD CK得M平面P Q R,M平面B C D,N平面P Q R,N平面B C D,K平面P Q R,K平面B C D从而直线MN平面P Q R,故正确因为点M,N,K既在平面P Q R上,又在平面B C D上,因此点M,N,K在两个平面的交线上,故正确设点M,N,K在直线l上,因为Al,

46、则M,N,K,A四点共面故正确 可以想象三棱锥的个顶点,它们总共确定个平面可以想象四棱锥的个顶点,它们总共确定个平面 D 对于,正确;对于,逆推“与相交”推不出“a与b相交”,也可能ab;对于,正确;对于,反例:正方体的侧棱任意两条都共面,但这条侧棱并不共面,故错所以正确的是 D 对于A:若a,b,则a,b可平行,可异面,可相交,故A错误;对于B:若a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c可平行,可异面,可相交,故B错误;对于C:若a,b不同在平面内,则a与b可平行,可异面,可相交,故C错误;对于D:根据异面直线的定义可知D是正确的,故选D A B C 还原正方体,画出正方体的 直 观 图

47、,如 图F ENMA B C D,由图可知,AM与D F是相交直线,D错误;设正方体的棱长为a,则C EME a,C正确;由正方体的性质可得A B与MN平行且 相 等,所以A BNM是 平 行四边形,可得AMBN,A正确;由正方体的性质可得B C与MF平行且相等,所以B C M F是平行四边形,可得C MB F,在正方形C DMN中,C MDN,所以B FD N,B正确,故选A B C 直线AM与C C是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误 如图所示,连接BD,取A B的中点G,连接DG,BG由题意得C F平面BDG,所以当点E在直线BG上时,DEC F,设B Ca,则SE B CE

48、BB CE Ba,当E B C的面积取最小值时,线段E B的长度为点B到直线BG的距离,所以线段E B长度的最小值为a,所以SE B CS四边形A B C Daaa 微点特训数学(新)C 如图,在平面内,lA,过l上一点B作B C,垂足为C,则直线A C即为l在内的射影l,B A C,设A C,则B C,A B,过C作C Dm,由题可知C AD,则ADC D,在R t B C D中,B DB CC D,B AD是l与m所成的角,在B AD中,c o sB ADA BADB DA BAD,B AD 故选C A B D 由 正方 体的 平 面展 开图,还原成如图所示的正方体,由C F平面A B C

49、,A B平面A B C,所 以C FA B,所 以A B与C F成 角,故A错 误;由B D平面AE D F,E F平 面AE D F,所以B D与E F成 角,故B错误;又A EC D,所以B A E是A B与C D所成角,又A B E是等边三角形,则B A E,所以A B与C D成 角,故C正确;因为A BAD,又ADE F,所以A B与E F成 角,故D错误故选A B D B 连接A B,由A BD C可得BAD为异面直线AD与D C所成角,如图,由二面角D A B D的 大 小 为,可 知DAD,ADA A,又D C与 平 面A B C D所 成 角的大小为,D CC CA A,D C

50、 C C A A,连接A B,BD,设ADA Aa,则A B a,AD a,A Ba,BD,在A BD中,由余弦定理可得,c o s BA Daaa a a,异面直线A D与D C所成角的余弦值是 如图,ADA AADA AABA AA B,C BC AA BB BA AA CA B,且A BA CB C,A A,侧 棱 和 底 面 垂 直,ADC BA AA B()(A AA CA B)A AA BA CA B,AD,C B,c o sAD,C B,且AD,C B,AD,C B,异面直线AD与C B成角的大小为素养提升练 高分必抢 D 在A中,由于a、b是异面直线,把直线b平移与直线a相交,