2023届新高考数学小题微点特训全集含答案微点特训33 双曲线.pdf

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1、 双曲线 考点对点练 保分必拿 考点一双曲线的定义已知双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点分别为F,F,实轴长为,渐近线方程为yx,动点M在双曲线左支上,点N为圆E:x(y)上一点,则|MN|MF|的最小值为()A B C D 已知F,F是双曲线C:xay(a)的两个焦点,过点F且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|A B|,则A B F的内切圆半径为()ABC D 已知定点F(,),F(,),N是圆O:xy上的任意一点,点F关于点N的对称点为M,线段FM的垂直平分线与直线FM相交于点P,则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆已知点P(,)在双曲线C:xayb(a,b)的渐近线

2、上,F为双曲线C的右焦点,O为原点,若F P O,则双曲线C的方程为 考点二双曲线的标准方程在平面直角坐标系中,经过点P(,),渐近线方程为y x的双曲线的标准方程为()AxyBxy CxyDy x已知 圆C:xxy的 圆 心是 双 曲 线C:xayb(a,b)的一个焦点,且双曲线C的渐近线与圆C相切,则双曲线C的虚轴长为()A B C D 已知双曲线C:xayb(a,b),的右焦点坐标为(,),直线x与双曲线的一个交点为P,若点P到双曲线的两条渐近线的距离之和是,则C的方程为()AxyBxyCxyDxy由伦敦著名建筑事务所S t e y nS t u d i o设计的南非双曲线大教堂惊艳世界

3、,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线yaxb(a,b)下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为,离心率为,则该双曲线的渐近线方程为()Ay xByxCyxDyx设F为双曲线E:xayb(a,b)的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形O A F B为菱形,圆xyc(cab)与E在第一象限的交点是P,且|P F|,则双曲线E的方程是()AxyBxyCxyDxy 考点三双曲线的性质 若双曲线xayb(a,b)的离心率e,则该双曲线的渐近线方程为()AyxBy xCyxDy x 已知双曲线C:xa

4、yb(a,b)的右焦点为F,若以O F(O为坐标原点)为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长,则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”,设F、F分别是双曲线xayb(a,b)的左、右焦点,P是该双曲线右支上的一点,若|P F|,|P F|分别是R t FP F的“勾”、“股”,且|P F|P F|a b,则双曲线的离心率为()A B C D 已知曲线C的方程为xky k(kR),则下列结论正确

5、的是()A当k时,曲线C为椭圆,其焦距为 B当k时,曲线C为双曲线,其离心率为C存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D当k时,曲 线C为 双 曲 线,其 渐 近 线 与 圆(x)y相切微点特训数学(新)设F是双曲线C:xayb(a,b)的右焦点,O为坐标原点,过F的直线交双曲线的右支于点P,N,直线P O交双曲线C于另一点M,若|MF|P F|,且MFN,则双曲线C的渐近线的斜率为()A B C D 已知双曲线xayb(a,b)的左焦点为F,P为双曲线右支上的一点,过点F作与x轴垂直的直线l,若点P到直线l的距离d满足d|P F|,则双曲线的离心率e的取值范围为 素养提升练 高分必抢一、

6、单项选择题已知双曲线xay的一条渐近线倾斜角为,则a()A B C D 已知双曲线C:xmyn,则nm是双曲线C的离心率大于的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点分别为F、F,P为双曲线C的右支上一点以O为圆心,a为半径的圆与P F相切于点M,且|PM|FM|,则该双曲线的渐近线为()AyxByxCy xDyx已知双曲线xy的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(,),则A P F周长的最小值为()A B()C()D 已知直线yk x(k)与双曲线xayb(a,b)交于A、B两点,以A B为直径的圆恰好经过双曲线的右

7、焦点F,若A B F的面积为a,则双曲线的离心率为()ABC D双曲线C:xayb(a,b)的左,右焦点分别为F(,),F(,),若双曲线C的渐近线上存在点M满足|MF|MF|,则双曲线C的实轴长的最小值为()ABC D 已知F,F分别为双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点,过F的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,连接A F,B F,在A B F中,s i nA B F,|A B|B F|,则双曲线C的离心率为()A BCD 设点F,F分别为双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点,点A,B分别在双曲线C的左、右支上,若FB FA,|A F|A BA F,且|A F|B F|,则双曲线C

8、的离心率为()A B C D 二、多项选择题已知双曲线C过点(,)且渐近线为yx,则下列结论正确的是()AC的方程为xyBC的离心率为C曲线yex经过C的一个焦点D直线x y与C有两个公共点 已知双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点分别为F(,),F(,),则能使双曲线C的方程为x y的是()A离心率为B双曲线过点,()C渐近线方程为xyD实轴长为三、填空题 已知F,F分别为双曲线E:xayb(a,b)的左 右 焦 点,P为E的右 支 上 一 点,|P F|P F|,若E的一条渐近线方程为yx,则实数的取值范围是 双曲线C的渐近线方程为yx,一个焦点为F(,),则该双曲线的标准方程为 已知

9、点A(,),若点P为C上一动点,且P点在x轴上方,当点P的位置变化时,P A F的周长的最小值为 真题体验练 实战抢分(全国甲卷,)已知F,F是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且FP F ,|P F|P F|,则C的离心率为()AB CD (北京卷,)双曲线Cxayb(a,b)过点(,),且离心率为,则该双曲线的标准方程为()AxyBxyCxyDxy(新高考卷,)已知双曲线C:xayb(a,b),离心率e,则双曲线C的渐近线方程为(全国乙卷,)已知双曲线C:xmy(m)的一条渐近线为xm y,则C的焦距为微点特训数学(新)k mkmk(),因 此 有:k mk()mk k mk()mk(),

10、()()得:k,所以直线MN斜率为 真题体验练 实战抢分 C 由椭圆的定义可知a,b,|MF|MF|a,由 基 本 不 等 式 可 得|MF|MF|MF|MF|()(),当且仅当|MF|MF|时等号成立,答案选C C 依题意,B(,b),设椭圆上一点P(x,y),则|y|b,xayb,可得xaaby,则|P B|x(yb)xyb ybcbyb yabb因为当yb时,|P B|b,所以bcb,得ca,所以离心率eca,故选C A 由P在C上,设P(x,y),且xy,B(,),因此|P B|x(y),由xy,xy,y,代入上式得|P B|y(y)化 简 得|P B|y(),y,因此当且仅当y时|P

11、 B|的最大值为,故答案选A 如 图 所 示:FAc,FFc,FBc,A Bc()kt a nP FFA BB Fcc()FA BFP F,所以cacacce微点特训 双曲线考点对点练 保分必拿 B 由题意,知a,则a,又由ba,得b,所以cab,则F(,)根据双曲线的定义知|MF|a|MF|MF|,所以|MN|MF|MN|MF|EN|MN|MF|FE|()(),故选B B 由 题 意b将x c代 入 双 曲 线C的 方 程,得ya则a,a,c,由|A F|A F|B F|B F|a,得A B F的周长为|A F|B F|A B|a|A F|a|B F|A B|a|A B|,设A B F的内切

12、圆的半径为r,则 r ,r B 因为线段FM的垂直平分线与直线FM相交于点P,如图所示:所以有P FPMP FMF,而O,N是中点,连接ON,故MFON,因此P FP F(FF)图当N在如图所示位置时有,所以有P FPMP FMF,而O,N是中点,连接ON,图故MFON,因此P FP F(FF),综上所述:有|P FP F|(FF),所以点P的轨迹是双曲线xy 设双曲线的一条渐近线方程为ybax,由渐近线过点P(,),得ba,且|O P|焦点到渐近线的距离是b,即|P F|b,在R t O P F中,|O F|O P|P F|,即cb又cab,所以a,b,所以双曲线C的方程为xy B 由双曲线

13、的渐近线方程为y x,可设所求双曲线的标准方程为xyk又(,)在双曲线上,则k ,即双曲线的方程为xy,双曲线的标准方程为xy B 圆C:xxy,即(x)y,圆心坐标为(,),半径r双曲线xayb(a,b)的渐近线方程为ybax,由直线和圆相切的条件:dr,可得|b|ab,由题意可得c,由cab,可得b,即有双曲线的虚轴长为b故选B微点特训数学(新)A 由焦点坐标可得ab双曲线C的渐近线方程为b xa y,将x代入双曲线方程,可得yba,不妨取P,ba(),P到两条渐近线的距离之和为bbabbbab,可得b,所以a,因此C的方程为xy B 因 为yaxb(a,b),所 以 下 焦 点 为(,c

14、),渐近线方程为yabx,即a xb y,则下焦点到a xb y的距离为db cabb,又因为e ca ba(),解得ba,即ab,所以渐近线方程为:yx D 双曲线E:xayb的渐近线方程为ybax,因为四边形O A F B为菱形,所以对角线互相垂直平分,所 以c a,A O F ,所 以ba 则 有xaya,xyca,解 得Pa,a因 为|P F|,所以aaa()(),解得a,则b,故双曲线E的方程为xy故选D B 因为 双 曲线xayb(a,b)的 离心 率e,所以ca,c a,caab,ba,b a,ba,所以该双曲线的渐近线方程为y x,故选B B 由题意知,F(c,)(cab,c)

15、,以O F为直 径 的 圆 的 方 程 为xc()yc,圆 心 为c,(),半径rc,又双曲线的渐近线的方程为ybax,即b xa y,圆 心 到 渐 近 线 的 距 离dbcabb,该 圆 被 渐 近 线 截 得 的 弦 长cbab,ba,渐近线方程为yx A 由勾股定理可得|P F|P F|FF|,由双曲线的定义可得|P F|P F|a,则(|P F|P F|)|P F|P F|FF|,即aa bc,所以ab,则c a所以eca,故选A B 对于A,当k时,曲线C的方程为x y,轨迹为椭圆,焦距c ,A错误;对于B,当k时,曲线C的方程为xy,轨迹为双曲线,则a,c,离心率eca,B正确;

16、对于C,若 曲 线C表 示 焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线,则kk,解集为空集,不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线,C错误;对于D,当k时,曲线C的方程为xy,其渐近线方程为y x,则圆(x)y的圆心到渐近线的距离d|,双曲线渐近线与圆(x)y不相切,D错误 D 设双曲线的左焦点为F,由双曲线的对称性可知四边形MFP F为平 行四边形|MF|P F|,MFPN设|P F|n,则|MF|m,即|MF|a,|MF|a a|MF|MF|m,即|MF|a,|MF|a MFN,FMF 又|FF|c,在MFF中,由余弦定理可得:caaaac o s ,即ca,ca,baca 双曲线C的渐近线

17、的斜率为,()设P(x,y),则xa,dxc因为点P在双曲线上,所以xayb,所以yba(xa),所以|P F|(xc)y(xc)ba(xa)(c x)c axaaae x,所以d|P F|xcae x,得ca(e)x,易知e,则xcaea,解得e素养提升练 高分必抢 D 由双曲线xay,得其渐近线方程为y ax,又双曲线xay的一条渐近线倾斜角为,at a n ,即a 得a A 因为双曲线C:xmyn,若nm,则am,bn,cabmn,所以ecamnmmm,故充分性成立;若nm,则an,bm,cab(mn),所 以eca(mn)nnn,故必要性不成立;故nm是双曲线C的离心率大于的充分不必要

18、条件 A 如图,连接P F、OM,M是P F的中点,OM是P FF的中位线,OMP F,且|P F|OM|a,根据双曲线的定义,得|P F|P F|a,|P F|P F|aa,P F与以原点为圆心,a为半径的圆相切,OMP F,可得P FP F,P FF中,|P F|P F|FF|,即得(a)(a)|FF|,(c)|FF|a,解得ca,即bcaa,得ba由此得双曲线的渐近线方程为yx 微点特训数学(新)B 曲线xy右焦点为F,(),A P F周长为l|A F|A P|P F|A F|A P|a|P F|,要使A P F周长最小,只需|A P|P F|最小,如图:当A,P,F 三点共线时取到,故

19、l|A F|a()D 设双曲线的左焦点为F,根据双曲线和圆的对称性,圆过双曲线的左右焦点,如图,连接A F,B F,则四边形A F B F为矩形,则可得|A F|A F|a,|A F|A F|F F|(c),所 以(|A F|A F|)|A F|A F|A F|A F|F F|A F|A F|,又因为SA B FSA F F|A F|A F|a,所以(a)(c)a,得c a,所以eca B 设M(x,y),由|MF|MF|可得(x)y(x)y,整理得(x)y,即点M在以(,)为圆心,为半径的圆上又点F到双曲线C的渐 近 线 的 距 离 为b当 双 曲 线C的 渐 近 线 与 圆(x)y 相切时

20、,b取得最大值,此时b,解得b a ,故a D 设|B F|m,则由双曲线定义可得|B F|am,|A F|A B|B F|B F|ma,则|A F|a,则s i nA B Faam,解得ma,从而|B F|a在B FF中,|FF|B F|B F|B F|B F|c o s FB F,即c a aaa s i nA B F(),解得eca D 因为FBFA,所以点F,A,B共线,且|A B|A F|因为|A F|A BA F(A FFB)A FA FFBA F,所以FBA F,所以FBA F设|A F|m,则|A B|m,由双曲线定义得|A F|mam|B F|a|A F|B F|m所以(ma

21、)(ma)mmm aa(ma)(ma),解得ma或ma若ma时,|A F|a,|B F|a,因为|A F|B F|,故舍去若ma时,|A F|a,|B F|a,|B F|a,|A B|a,c o s A B Fa a在FB F中,ca aaaca e A C 对于选项A:由已知yx,可得yx,从而设所求双曲线方程为xy,又由双曲线C过点(,),从而(),即,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a,b,c,从而离心率为eca,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(,),满足yex,从而选项C正确;对于选项D:联立x yxy,整理,得y y,由(),知直线与双曲线C只有一个交点

22、,选项D错误 A B C 由题意,可得:焦点在x轴上,且c;A选项,若离心率为,则a,所以bca,此时双曲线的方程为:x y,故A正确;B选项,若双曲线过点,(),则 a babc,解得:a b;此时双曲线的方程为:x y,故B正确;C选项,若双曲线的渐近线方程为xy,可设双曲线的方程为:x ym(m),所以c mm,解得:m,所以此时双曲线的方程为:x y,故C正确;D选项,若实轴长为,则a,所以bca,此时双曲线的方程为:xy 故D错误,设F(c,),E的一条渐近线方程为yx,ecaababa 设P(x,y),则xa,|P F|P F|a(ca)aca,|P F|P F|P F|a|P F

23、|a|P F|acae 又|P F|P F|,因此,的取值范围是,y x 双曲线C的渐近线方程为yx,一个焦点为F(,),abab,解得a,b 双曲线的标准方程为y x;设双曲线的上焦点为F(,),则|P F|P F|,P A F的周长为|P F|P A|A F|P F|P A|A F|当P点在第二象限,且A,P,F 共线时,|P F|P A|最小,最小值为|A F|而|A F|,故,P A F的周长的最小值为 真题体验练 实战抢分 A 由|P F|P F|,|P F|P F|a得|P F|a,|P F|a,在FP F中,有|FF|P F|P F|P F|P F|c o s FP F,得(c)

24、(a)a aa c o s ,即eca,故选A微点特训数学(新)A 由eca,得ca,b a,将点(,)代入双曲线方程,得aaa,故a,b,故双曲线方程为xyy x 考查双曲线离心率和渐近线 ecaba,ba,即渐近线方程为y x 由双曲线方程可知其一条渐近线为xm y,所以mm,解得m,所以C的焦距为m微点特训 抛物线考点对点练 保分必拿 A 由题意得p,由抛物线的定义知:A BA FB Fxpxpxxp D 由yx得焦点为F(,),准线x过P作PN垂直直线x于N,根据抛物线的定义,抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离所以有|P N|P F|,连接F、A,有|F A|P A|P F|,所

25、以P为A F与抛物线的交点时,点P到点A(,)的距离与点P到直线x的距离之和的最小值为|F A|所以点P到点A(,)的距离与P到直线x的距离和的最小值是 A B D 抛物线xy的焦点为F(,),准线方程为y,圆(y)x的圆心为(,),与抛物线的焦点重合,且半径r,|F B|,|A F|yA,|A B|yByA,三角形A B F的周长yAyByAyB,yB,三角形A B F的周长的取值范围是(,)D 设M(x,y),因为点A,B关于坐标原点O对称,所以O是线段A B的中点,又因为以M为圆心的圆过A,B两点,所以有O AOM,因此有|O M|O A|M A|,因为点A,B关于坐标原点O对称,|A

26、B|,所以|O A|又因为以M为圆心的圆与直线y相切,所以有|MA|y|,把|O A|、|MA|y|代入|OM|O A|MA|中,得:xy|y|,化简得:xy(y),因此点M的轨迹是抛物线,该抛物线的 焦 点 坐 标 为F,(),准 线 方 程 为:y,|MA|MP|y|MP|y|MP|y|MP|y|MP|,由抛物线的定义可知:y|MF|,所以有|MA|MP|MF|MP|,由题意可知存在定点P,使得当A运动时,|MA|MP|为定值,因此一定有|MF|MP|,此时定点P是该抛物线的焦点F,()抛物线xy的焦点为F,(),M(,)在抛物线内部,抛物线的准线方程为y过M作MN垂直抛物线的准线,垂足为

27、N,则MN与抛物线的交点为Q时,MQNQ的值最小根据抛物线的几何性质有Q FQN,此时(MQNQ)m i n B 由题意可知,抛物线的图形如 图:A B,B C ,可 得A C(),所 以C A B,A B F是正三角形,并且F是A C的中 点,A B,则p,所 以 抛物 线 方 程 为:yx故选B B 因为P O,OHO B,所以P B ,又M为P B的中点,所以OMP B,设抛物线方程为yp x(p),则H(,),所以()p,解得p,所以抛物线的焦点到准线的距离为 C 由 题意 可 知,抛物 线准 线 方程 为y p,点A,p(),切线斜率k一定存在,设过点A与抛物线相切的直线方程为yk

28、xp,切点P(xp,yp),联立抛物线与切线方程yk xpxp y,转化得xp k xp,pkp,解得k,当k时,直线方程为yxp,xp xp,解得xpp,则ypxppp,因为|P A|,所以xPyPp(),解得p;当k时,同理得p,综上所述,抛物线方程为xy C 过点F作F F A A,垂足为F 设|A F|x,因为c o s F A A,故|A F|x,则|F F|x,由抛物线定义可知,|A F|A A|x,则|A F|xp,故xp四边形A A P F的 面 积S(|P F|A A|)|F F|pp()p ,解得p,故抛物线C的方程为y x 微点特训数学(新)抛物线 考点对点练 保分必拿

29、考点一抛物线的定义直线l过抛物线yx的焦点F,且l与该抛物线交于不同的两点A(x,y),B(x,y)若xx,则弦A B的长是()A B C D 点P是抛物线y x上一动点,则点P到点A(,)的距离与点P到直线x的距离和的最小值是()ABCD(多选)如图,点F是抛物线C:xy的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x(y)的实线部分上运动,且A B总是平行于y轴,则A F B周长的取值不可能是()A B C D 已知点A,B关于坐标原点O对称,|A B|,以M为圆心的圆过A,B两点,且与直线y相切若存在定点P,使得当A运动时,|MA|MP|为定值,则点P的坐标为()A(,)B(,)C,()D,()已知

30、在平面直角坐标系x O y中,抛物线xy的焦点为F,M(,),点Q在抛物线上,则|MQ|Q F|的最小值为 考点二抛物线的标准方程 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题,直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点F是抛物线yp x的焦点,是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线A B,垂足为B,射线A F交准线l于点C,若R tA B C的“勾”|A B|、“股”|C B|,则抛物线方程为()AyxByxCyxDyx在圆锥P O中,已知高P O,底面圆的半径为,M为母线P B的中点,根据圆锥曲线的定

31、义,图中的截面边界曲线为抛物线,在截面所在的平面中,以M为原点MO为x轴,过M点与MO垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,则抛物线的焦点到准线的距离为()A B C D 已知点A是抛物线C:xp y(p)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,过A作抛物线的一条切线,切点为P,且满足|P A|,则抛物线C的方程为()AxyBxyCxyDxy已知抛物线C:yp x(p)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作A A l,垂足为A 若四边形A A P F的面积为,且c o s F A A,则抛物线C的方程为()AyxByxCyxDyx 已知抛物线C:yp x(p)的焦点

32、为F,准线为l,若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段A F与抛物线C相交于点B,|A F|B F|A F|,则抛物线C的标准方程为 考点三抛物线的性质 设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为lP是抛物线上异于O的一点,过P作P Ql于Q,则线段F Q的垂直平分线()A经过点OB经过点PC平行于直线O PD垂直于直线O P 已知抛物线C:yp x(p)的焦点为F,准线为l,A和B是C上的两个动点,且A FA B,A B F,设线段A B的中点M在l上的射影为点N,则|MN|A B|()ABC D 设抛物线C:yx的焦点为F,准线为l,过F的直线m与C交 于A,B,且与l交于M,若|MA|MB|,

33、则直线m的斜率为()A B C D 已知抛物线C:xy的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段A B的中点到准线的距离为()A B C D 已知点A(,),抛物线C:ya x(a)的焦点为F,连接F A,与抛物线C相交于点M,延长F A,与抛物线C的准线相交于点N,若|F M|MN|,则实数a的值为 设抛物线y p x(p)的焦点为F(,),准线为x,过焦点的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D,若|A F|B F|,则p ;三 角 形C D F的 面 积 为(本题第一空分,第二空分)微点特训数学(新)素养提升练 高分必抢一、单项选择题中

34、国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶 m时,水面宽 m若水面下降 m,则水面宽度为()A mB mC mD m已知抛物线C:xy的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|A F|,则|P A|P O|的最小值为()A B C D 已知抛物线yx的焦点为F,直线l过F且与抛物线交于A,B两点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为M,MA F的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段A B的中点为Q若|A B|,|P Q|()A B C D 已知F为抛物线yx的焦点,A、B、C为抛物线上三点,当F

35、AF BF C时,则存在横坐标x的点A、B、C有()A 个B 个C有限个,但多于个D无限多个已知点F是抛物线C:xp y(p)的焦点,若点M(,y)在抛物线C上,且|MF|y,斜率为k的直线l经过点Q(,),且与抛物线C交于A,B(异于M)两点,则直线AM与直线BM的斜率之积为()A B CD 设抛物线yp x(p)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D若|A F|B F|,且三角形C D F的面积为,则p的值为()A BCD 抛物线有如下光学性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴已知抛物线C:y

36、x,如图,一条平行于x轴的光线从点A(,y)(y)发出,射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线C的焦点F射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出至点B(,y),下列说法中正确的是()A光路A P Q B长度的最小值为 B光路A P Q B长度的最大值为 C光路A P Q B长度恒等于 D以上说法均不正确已知抛物线C:yp x(p)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线与抛物线C交于P,Q两点,满足P FF Q,点P在准线l上的射影为M,若PMF的面积,则P()A B C D 二、多项选择题设M,N是抛物线yx上的两个不同的点,O是坐标原点若直线OM与ON的斜率之积为,则()A|OM|O

37、N|B以MN为直径的圆的面积大于 C直线MN过定点(,)D点O到直线MN的距离不大于 如图所示,抛物线C:yx,A B为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),则下列结论正确的是()A若A B的斜率为,则|A B|B若A B的斜率为,则xMC点M恒在平行于x轴的直线上y上DxAxB的值随着A B斜率的变化而变化三、填空题 已知O为坐标原点,抛物线C:yp x上一点A到焦点的距离为,若点M为抛物线C准线上的动点,且|O M|MA|最小值为 ,则p等于 已知抛物线yp x(p)的焦点F,过其准线与x轴的交点E作直线l()若直

38、线l与抛物线相切于点M,则E M F()设p,若直线l与抛物线交于点A,B,且A BB F,则|A F|B F|真题体验练 实战抢分(新高考卷,)抛物线yp x(p)的焦点到直线yx的距离为,则p()A B C D(新高考卷,)已知O为坐标原点,抛物线C:yp x(p)的焦点为F,P为C上一点,P F与x轴垂直,Q为x轴上一点,且P QO P若|F Q|,则C的准线方程为(北京卷,)已知抛物线C:yx,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且|FM|,则M的横坐标是 ;作MNx轴 于N,则SF MN微点特训数学(新)A 由eca,得ca,b a,将点(,)代入双曲线方程,得aaa,故a,b,故双曲线

39、方程为xyy x 考查双曲线离心率和渐近线 ecaba,ba,即渐近线方程为y x 由双曲线方程可知其一条渐近线为xm y,所以mm,解得m,所以C的焦距为m微点特训 抛物线考点对点练 保分必拿 A 由题意得p,由抛物线的定义知:A BA FB Fxpxpxxp D 由yx得焦点为F(,),准线x过P作PN垂直直线x于N,根据抛物线的定义,抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离所以有|P N|P F|,连接F、A,有|F A|P A|P F|,所以P为A F与抛物线的交点时,点P到点A(,)的距离与点P到直线x的距离之和的最小值为|F A|所以点P到点A(,)的距离与P到直线x的距离和的最小

40、值是 A B D 抛物线xy的焦点为F(,),准线方程为y,圆(y)x的圆心为(,),与抛物线的焦点重合,且半径r,|F B|,|A F|yA,|A B|yByA,三角形A B F的周长yAyByAyB,yB,三角形A B F的周长的取值范围是(,)D 设M(x,y),因为点A,B关于坐标原点O对称,所以O是线段A B的中点,又因为以M为圆心的圆过A,B两点,所以有O AOM,因此有|O M|O A|M A|,因为点A,B关于坐标原点O对称,|A B|,所以|O A|又因为以M为圆心的圆与直线y相切,所以有|MA|y|,把|O A|、|MA|y|代入|OM|O A|MA|中,得:xy|y|,化

41、简得:xy(y),因此点M的轨迹是抛物线,该抛物线的 焦 点 坐 标 为F,(),准 线 方 程 为:y,|MA|MP|y|MP|y|MP|y|MP|y|MP|,由抛物线的定义可知:y|MF|,所以有|MA|MP|MF|MP|,由题意可知存在定点P,使得当A运动时,|MA|MP|为定值,因此一定有|MF|MP|,此时定点P是该抛物线的焦点F,()抛物线xy的焦点为F,(),M(,)在抛物线内部,抛物线的准线方程为y过M作MN垂直抛物线的准线,垂足为N,则MN与抛物线的交点为Q时,MQNQ的值最小根据抛物线的几何性质有Q FQN,此时(MQNQ)m i n B 由题意可知,抛物线的图形如 图:A

42、 B,B C ,可 得A C(),所 以C A B,A B F是正三角形,并且F是A C的中 点,A B,则p,所 以 抛物 线 方 程 为:yx故选B B 因为P O,OHO B,所以P B ,又M为P B的中点,所以OMP B,设抛物线方程为yp x(p),则H(,),所以()p,解得p,所以抛物线的焦点到准线的距离为 C 由 题意 可 知,抛物 线准 线 方程 为y p,点A,p(),切线斜率k一定存在,设过点A与抛物线相切的直线方程为yk xp,切点P(xp,yp),联立抛物线与切线方程yk xpxp y,转化得xp k xp,pkp,解得k,当k时,直线方程为yxp,xp xp,解得

43、xpp,则ypxppp,因为|P A|,所以xPyPp(),解得p;当k时,同理得p,综上所述,抛物线方程为xy C 过点F作F F A A,垂足为F 设|A F|x,因为c o s F A A,故|A F|x,则|F F|x,由抛物线定义可知,|A F|A A|x,则|A F|xp,故xp四边形A A P F的 面 积S(|P F|A A|)|F F|pp()p ,解得p,故抛物线C的方程为y x 微点特训数学(新)yx 如图,设直线l与x轴交于点D,过点B作B El于点E,则|D F|p由抛 物 线 的 定 义知|B E|B F|设|B E|B F|m,因 为A E BAD F,所以|A

44、F|A B|D F|B E|,即|A F|A F|B F|D F|B F|,所以|A F|A F|mpm,所以|A F|p mpm由|A F|B F|A F|,得p mpmmp mpm,解得p,所以抛物线C的标准方程为yx B 如图所示:因为线段F Q的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,|P Q|P F|,所以线段F Q的垂直平分线经过点P B 如 图,在 直 角 三 角 形A B F中,因 为A FA B,A B F,设|A F|a,则|F B|a,|A B|a;设A,B在l上的射影分别为点A,B,则|MN|A A|B B|A F|B F|aaa,|MN|a

45、,所以|MN|A B|aa B 设A,B在准线l上的射影为A,B,如图所示(不妨设直线m的倾斜角为锐角),由|MA|MB|,可得B为MA的中点,设|B B|t,则|A A|t,由抛物线的定义可得:|B F|t,|A F|t,|MB|t设直线m的倾斜角为(为锐角),s i n|B B|MB|tt,c o s,t a n当为 钝 角 时,s i n,c o s,t a n A 由题意抛物线标准方程为yx,p,p,焦点为F,(),准线方程为x,直线l方程为yx(),代入抛物线方程整理得x x ,设A(x,y),B(x,y),则xx ,设A B中点为M(x,y),则xxx ,M到准线的距离为dx 依题

46、意得抛物线的焦点F的坐标为a,(),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线定义知|MF|MK|因为|FM|MN|,所以|KN|KM|又kF Naa,kF N|KN|KM|,所以a,解得a 抛物线yp x(p)的焦点为F(,),所以p,所以p;如图所示,过点B作BM/l,交直线A C于点M,由抛物线的定义知|A F|A C|,|B F|B D|,且|A F|B F|,所以|AM|B F|,|A B|B F|,所以|AM|A B|,|BM|B F|,可知:A F xB AM,所以直线A B的斜率为k t a n B AMBMAM,设直线A B的方程为y(x),点A(x,y),B(x,y),由

47、y(x)yx,消去y整理得x x,yym,所以xx,所以|A B|xxp,所 以|C D|A B|s i n B AM;所以C D F的面积为素养提升练 高分必抢 B 由题意,以拱桥顶点为 原 点,建 立 直 角 坐 标系,设抛物线方程xp y(p),由题意知,抛物线经过点A(,)和点B(,),代入抛物线方程解得,p,所以抛物线方程xy,水面下降米,即y,解得x,x,所以此时水面宽度dx B 抛物线的准线方程为y,|A F|,A到准线的距离为,故A点纵坐标为,把y代入抛物线方程可得x不妨设A在第一象限,则A(,),点O关于准线y的对称点为M(,),连接A M,微点特训数学(新)则|P O|P

48、M|,于是|P A|P O|P A|P M|AM|故|P A|P O|的最小值为|AM|B 如图,过B作BN垂直于 准 线 且 垂 足 为N,连 接P B,P F由 题 得MA PQ A P,由 抛 物 线 的 定 义 可得:|A F|AM|,而|A P|A P|,故 所 以MP AP A F,所以|PM|P F|,P F AAMP 又B FBN,P BP B,所以P F BPNB,|P F|PN|,所以|PM|PN|,即点P是MN的中点,所以|P Q|(|AM|BN|)(|A F|B F|)|A B|A 设A(x,y),B(x,y),C(x,y),先证x,由F AF BF C知,F为A B

49、C的重心,又F(,),xxx,yyy,xxx,yyy,(yy)yy yy(yy),y(yy),yyy(),x(xx),x(x)x同理x,x B 由抛物线的定义知|MF|yp,则ypy,解得yp,又点M(,y)在抛物线C上,代入C:xp y,得p y,得y,p,所以M(,),抛物线C:xy,因为斜率为k的直线l过点Q(,),所以l的 方 程 为y k(x),联 立 方 程 得yk(x)xy,即xk xk,设A(x,y),B(x,y),由根与系数的关系得xxkxxk,则直线AM的斜率kA Mxxx,直线BM的斜率kB Mxxx,kA MkB M(x)(x)xxxxkk C 过点B作BMl交直线A

50、C于点M,交x轴于点N(图略),设点A(x,y)、B(x,y),由|A F|B F|得xpxp(),即xxp,又因为NFAM,所以|NF|AM|B F|A B|,所以|NF|(xx),所以|O F|ON|NF|x(xx)p,由可解得xp,xp,在R t A BM中,|A B|xxpp,|AM|xxp,所以|BM|p()p()p,所以SC D F pp,解得p或p(舍去)C 根据题意设Q(xQ,yQ),P(xp,yp),因为抛物线方程为:yx,所以p即p根据抛物线的定义:|P Q|xPxQp,根据题意:|P A|xAxPxP,|Q B|xBxQxQ,光路A P Q B长度等于|P A|P Q|Q