2023届高考数字专项复习培优专题 1 平面向量与三角形的“四心” 含答案.pdf

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1、1 2023届高考数字专项复习2023届高考数字专项复习培优专题?1 平面向量与三角形的“四心”三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。知识点知识点 1 1 三角形的内心三角形的内心 1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点 P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、常见内心的向量表示：（1）|0AB PCBC PACA PB+=（或0aPAbPBcPC+=）其中,a b c分别是ABC的三边ACABBC、的长（2

2、）(),(0,)|ABACAPABAC=+，则P点的轨迹一定经过三角形的内心（注：向量()ABACABAC+(0)所在直线过ABC内心(是BAC角平分线所在直线)）3 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。即两个单位向量的和向量。2 拓展：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量，的方向与的角平分线方向一致；又，；的方向与的角平分线方向一致，点的轨迹一定通过的内心 知识点知识点

3、 2 2 三角形的外心三角形的外心 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）注：外心到三角形各顶点的距离相等.2、常用外心的向量表示：（1）222|OAOBOCOAOBOC=（2）()()()0OAOBABOBOCBCOAOCAC+=+=+=变形：P 为平面 ABC 内一动点，若()()()()()()0OAOBPBPAOBOCPCPBOAOCPCPA+=+=+=，则O为三角形的外心 3 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。从而得到三

4、角形的外心。知识点知识点 3 3 三角形的“重心”三角形的“重心”1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点 G 注：重心将中线长度分成21：2、常见重心的向量表示：设G是ABC的重心，P为平面内任意一点.（1）A+B+C=0GGG OABCP()|ABACOPOAtABAC=+PABC|ABAB|ACACABAC|ABACABAC+BAC()|ABACOPOAtABAC=+()|ABACAPtABAC=+APBACPABC3（2）1P=PA+PB+PC3G（），1()3AGABAC=+，1()3BGBABC=+，1()3CGCACB=+（3）若AG=AB+AC),0,

5、+（），则G点的轨迹一定经过三角形的重心.注：若11()A xy，、22()B xy，、33()C xy，重心坐标为123123()33xxxyyyG+，.3 3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 知识点知识点 4 4 三角形的“垂心”三角形的“垂心”1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点 O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示（1）OA OBOB OCOC OA=（2）222222|OABCOBCAOCAB+=+=+知识点知识点 5 5 奔驰定理奔驰定理 奔驰定理：设O是ABC 内一点，,BOCAOCAOB的面积分别记

6、作,ABCSSS则0ABCSOASOBSOC+=+=.奔驰定理在三角形四心中的具体形式 O是的重心:1:1:1BACSSS=0OAOBOC+=+=O是的内心:BACSSSa b c=0OAOBOCabc+=+=O是的外心:sin2:sin2:sin2BACSSSABC=sin2sin2sin20A OAB OBC OC+=+=O是的垂心:tan:tan:tanBACSSSABC=tantantan0A OAB OBC OC+=+=备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用 OABCAS

7、CSBS4 考点一考点一 三角形的内心判断及应用三角形的内心判断及应用 1 ABC中，abc分别是BCACAB的长度，若a OAb OBc OCO+=，则O是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 2已知O是平面上的一个定点，ABC是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPOAABAC=+()R，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A重心 B外心 C内心 D垂心 3已知ABC，I是其内心，内角,A B C所对的边分别,a b c，则（）A1()3AIABAC=+BcABbACAIaa=+CbABcACAIabcabc=+DcABbACAIabac=+考点二考点二 三角形的外心判断及应用三角形

8、的外心判断及应用 4已知O是平面上的一定点，ABC，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC+=+，(0)+，则动点P的轨迹一定通过ABC的（）A重心 B外心 C内心 D垂心 5在ABC中，4AB=，3AC=，3A=，点O为ABC的外心，若AOABAC=+，、R，则=_.6在ABC中，6AB=，3 5AC=点M满足1154AMABAC=+过点M的直线l分别与边,AB AC交于点,D E且1ADAB=，1AEAC=已知点G为ABC的外心，AGABAC=+，则AG为_ 考点三考点三 三角形的重心判断及应用三角形的重心判断及应用 7已知,O A B C是平面上

9、的 4 个定点，,A B C不共线，若点P满足5()OPOAABAC=+，其中R，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A重心 B外心 C内心 D垂心 8 O是ABC所在平面上的一点，若1()3POPAPBPC=+（其中P为平面上任意一点），则点O是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 9已知P是ABC所在平面内的一动点，且()102APABBC=+，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 10已知O是ABC内一点，满足2132AOABBC=+，则:ABCOBCSS=（）A3:1 B1:3 C2:1 D1:2 11已知ABC中，2BC=，3AB AC=，0OAOBOC+

10、=，则OA=_ 12已知ABC是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是ABC的重心若OMOG，则222AMBMCM+=_ 13已知四边形ABCD的面积为 2022，E为AD边上一点，ABE，BCE，CDE的重心分别为1G，2G，3G，那么123GG G的面积为_ 考点四考点四 三角形的垂心判断及应用三角形的垂心判断及应用 14已知O是平面内一点，A，B，C是平面内不共线的三点，若OA OBOB OCOC OA=，O一定是ABC的（）A外心 B重心 C垂心 D内心 15已知O为ABC所在平面内一点，满足222222|OABCOBCAOCAB+=+=+，则O为ABC的_心.16若

11、O是ABC的垂心，,sincossincossinsin3ABCABCBACmBCAO=+=，则m=（）A1 B33 C3 D32 考点五考点五 三角形的“四心”问题的综合三角形的“四心”问题的综合 17数学家欧拉在其著作三角形中的几何学首次指出：ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线若ABC中，4AB=，2AC=，则下列各式中正确的序号是_ 6 20GOGH+=4AG BC=6AO BC=OHOAOBOC=+18在ABC中，下列命题中正确的有：_ ABACBC=；若0AC AB，则ABC为锐角三角形；O是ABC所在平

12、面内一定点，动点P满足()OPOAABAC=+，)0,+，则动点P一定过ABC的重心；O是ABC内一定点，且20OAOCOB+=，则13AOCABCSS=；若0ABACBCABAC+=，且12AB ACABAC=，则ABC为等边三角形.19在平面内，定点,A B C D满足|DADBDC=，2DA DBDB DCDC DA=，动点P，M满足|1AP=，PMMC=，则2|BM的最大值是（）A434 B494 C476 34+D372 334+考点六考点六 奔驰定理的应用奔驰定理的应用 20如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优美等式PBCSPA+0PACPABSP

13、BSPC+=成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：若P是ABC的重心，则有0PAPBPC+=；若0aPAbPBcPC+=成立，则P是ABC的内心；若2155APABAC=+，则:2:5ABPABCSS=；若P是ABC的外心，4A=，PAmPBnPC=+，则)2,1mn+.则正确的命题有_.21已知P是ABC内一点，且满足2340PAPBPC+=，记,PABPBCPAC的面积依次为123,S SS，则123:SSS等于（）A2:3:4 B3:2:4 C4:2:3 D4:3:2 22设O为ABC所在平面内一点，满足220OAOBOC+=，则ABC的面积与BOC的面积的比值

14、为（）A6 B83 C127 D5 1 培优专题 1 平面向量与三角形的“四心”答案 考点一考点一 三角形的内心判断及应用三角形的内心判断及应用 1【答案】B 【解析】,OBOAAB OCOAAC=+=+0aOAbOBcOC+=()()0OAABaOAbc OAAC+=()()abc OAb ABc AC+=+|bABcACbcABACOAabcabcABAC+=+OA在BAC的角平分线上，同理OB在ABC的角平分线上，点O为三角形ABC的角平分线的交点 故点O是三角形的内心.故选：B.2【答案】C 【解析】因为ABAB为AB方向上的单位向量，ACAC为AC方向上的单位向量，则|ABACABA

15、C+的方向与BAC的角平分线一致，由ABACOPOAABAC=+，可得ABACOPOAABAC=+，即ABACAPABAC=+，所以点 P 的轨迹为BAC的角平分线所在直线，故点 P 的轨迹一定经过ABC的内心.故选：C.3【答案】C 【解析】延长,AI BI CI，分别交,BC AC AB于,D E F.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理得：,11sinsinsinsin22BDcCDbADBADCBACBAC=，由于sinsinADBADC=，所以,BDCD BDccbCDb=，,BDcBDcacBDBDCDbcabcbc=+，同理可得cAIB

16、DDI=，cAIAIBDcDIAIAD=+，c ADcbcAIADADacBDcabccbc+=+.所以()ccADABBDABBCABACABbcbc=+=+=+bcABACbcbc=+，则bcbcbcbcAIADABACABACabcabcbcbcabcabc+=+=+.故选：C 考点二考点二 三角形的外心判断及应用三角形的外心判断及应用 4【答案】B 【解析】设BC的中点为D，2 因为2coscos+=+OBABAOOCABCABCPC，所以coscos=+ABACOCODBPABAC，即coscos=+ABACDPABCABC，两端同时点乘BC，所以coscosBCBCBCBCABAC

17、DPABAC+=()()coscos0coscosABBCBACBCCBCBCABBACC=+=+=，所以DPBC，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过ABC的外心.故选：B.5【答案】512 【解析】如图，令边 AB，AC 中点分别为 D，E，连接DO，EO，因点O为ABC的外心，于是得,DOAB EOAC，|cos6AC ABACABA=，12AOADDOABDO=+=+，211()822AO ABABDOABAB=+=，12AOAEEOACEO=+=+，2119()222AO ACACEOACAC=+=，依题意，2()1668AO ABABACABABAC AB=+=+=+=，29()

18、692AO ACABACACAB ACAC=+=+=+=，解得52,129=，所以512=.故答案为：512 6【答案】3 10 【解析】,D M E三点共线，可设()()101AMtADt AEt=+，15ABtAD=，()114ACt AE=，即15ADABt=，()14 1AEACt=，()115114 1tt=，即5t=，44t=，()544AGtABt AC=+；()534CGAGACtABt AC=+，()()5144BGAGABtABt AC=+，G为ABC的外心，AGBGCG=，()()()()()()()()222222222224040443040342540405151

19、88ttAB ACtACttAB ACtACt ABttAB ACtABtt AB AC+=+=+，整理可得：()()()2210873603158810136036tAB ACtACttAB ACtABt=，360315360361088ttAB ACtt=，解得：73 72t=（舍）或73 72t+=；()()2222222360362900104445 4488tAGABAB ACACttttt=+=+3()2218012607201807490tttt=+=+=，3 10AG=.故答案为：3 10.考点三考点三 三角形的重心判断及应用三角形的重心判断及应用 7【答案】A 【解析】解：根

20、据题意，设BC边的中点为D，则2ABACAD+=，因为点P满足()OPOAABAC=+，其中R 所以，()2OPOAAPABACAD=+=，即2APAD=，所以，点P的轨迹为ABC的中线AD，所以，点P的轨迹一定经过ABC的重心.故选：A 8【答案】C【解析】由题意1()3POPAPBPC=+，可得0POPAPOPBPOPC+=+，得0AOBOCO+=+，即得AOOBOC=+，取 BC 中点 M，连接 OM，如图所示，则有2AOOBOCOM=+=，所以 A、O、D 三点共线，且2AOOM=，所以点 O 是ABC 的重心.故选：C.9【答案】C 【解析】如图：设D为BC的中点，因为12ABBCA

21、BBDAD+=+=由12APABBC=+可得，APAD=，所以,A D P三点共线，因为0，所以点P在射线AD上，所以点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选：C.10【答案】A【解析】()()21212113233333AOABBCABBCABACABABAC=+=+=+=+，所以O是ABC的重心，所以:3:1ABCOBCSS=.故选：A.11【答案】43，【解析】由0OAOBOC+=知，点 O 是ABC 的重心，()22222BCACABACABAB AC=+2264ACAB=+=，2210ACAB+=，2222216399ACABACABAB ACOA+=，43OA=故答案为：43.12【答

22、案】26R 【解析】AMAGGOOM+=，则()()22222222AMAGGOOMAGGOOMAOOMAG OMGO OM+=+=+OMOG，则0GO OM=2222AMAG OMR=+同理可得：2222BMBG OMR=+，2222CMCG OMR=+4()222262AMBMCMAGBGCGMRO+=+G 是ABC的重心，则0GAGBGC+=即0AGBGCG+=22226AMBMCMR+=故答案为：26R 13【答案】6743 【解析】以点 A 为原点，射线 AD 为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设00(,),(,),(,0),(,0)(0)B a b C c dD eE x

23、xe，因ABE，BCE，CDE的重心分别为1G，2G，3G，则01(,)33Gaxb+，02(,)33Gacxbd+，03(,)33cexGd+，1232(,),(,)3 333c dae bGGG G=，123GG G面积1232212321231232123211|sin(|)()22G G GSGGG GGG GGGG GGGG G=22222211()()()()()()23333333 323 333cdaebc aed bc bd ae=+=11|2 3 33318c bd aebcdead=+(,),(,)ACc dDBae b=，同理可得四边形ABCD的面积：111|sin,|

24、()|222ABCDSACBDAC BDbcd aebcdead=+，于是得123116742022993ABCGGDGSS=，所以123GG G的面积为6743.故答案为：6743 考点四考点四 三角形的垂心判断及应用三角形的垂心判断及应用 14【答案】C 【解析】由题意知，ABC中，OA OBOB OCOC OA=，则()0OBOAOC=，即0OB CA=，所以OBCA，即OBCA，同理，OABC，OCAB；所以O是ABC的垂心.故选：C 15【答案】垂 【解析】设,OAa OBb OCc=，则,BCcb CAac ABba=，因为222222|OABCOBCAOCAB+=+=+，所以22

25、22acbbac+=+，化简得c ba c=，即()0bac=，所以0OC AB=，所以OCAB，即OCAB，同理可得,OBOC OABC，所以O为ABC的垂心 16【答案】C 【解析】在ABC中，sinsin0BC，由sincossincosBCABCBAC+sinsinmBCAO=，得coscossinsinCBABACm AOCB+=，连接CO并延长交AB于D，因为O是ABC的垂心，所以CDAB，AOADDO=+，所以()coscossinsinCBABACmADDOCB+=+5 同乘以AB得，()coscossinsinCBAB ABAC ABmADDOABCB+=+2coscosco

26、scossinsinCBcbcAm AD ABm bA cCB+=因为3A=，所以2coscos11sinsin22CBcbcmbcCB+=，由正弦定理可得11cossincossinsinsin22CCBCmBC+=又sin0C，所以有11coscossin22CBmB+=，而23CABB=，所以213coscoscossin322CBBB=+，所以得到31sinsin22BmB=，而sin0B，所以得到3m=，故选：C.考点五考点五 三角形的三角形的“四心四心”问题的综合问题的综合 17【答案】【解析】解：对于，由题意得12GOGH=，即20GOGH+=，故正确；对于，由G是ABC的重心，

27、设M为BC中点，可得22 1111()33 2233AGAMABACABAC=+=+，所以2211()()()433AG BCABACACABACAB=+=，故错误；对于，过ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，则()AO BCAOACABAO ACAO AB=|cos|cosAOACOAEAOABOAD=2211|622AEACADABACAB=，故正确；对于，因为G为ABC的重心，所以0GAGBGC+=，故()()()33OAOBOCOGGAOGGBOGGCOGGAGBGCOG+=+=+=，所以由欧拉线定理可得3OHOG=，所以OHOA

28、OBOC=+，故正确，故答案为：18【答案】【解析】ABACCB=，错误；若0AC AB，则A为锐角，但无法确定B、C的大小，ABC为锐角三角形不正确，错误；由动点P满足()OPOAABAC=+，得()APABAC=+，设点D为BC的中点，则2ABACADDBADDCAD+=+=，即2APAD=，AD为ABC的中线，P过ABC的重心，正确；6 设D为AC中点，连接OD，则OD是OBC的中线，由可知()12ODOAOC=+，由已知且20OAOCOB+=得()12OBOAOCODDO=+=，即B、O、D三点共线，且O为BD的中点，在ABD中，AO是BD边上的中线，可得OABOADSS=.同理可得B

29、CD中，OBCOCDSS=，所以，12OABOBCOADOCDOACSSSSS=，由此可得:1:1:2OABOBCOACSSS=，所以，1:2:42AOCABCSS=，错误；因为coscos0ABBCBACBCCABACAB BCAC BCBCABACABACABAC+=+=+=，可得coscosBC=，因为B、()0,C，BC=，因为1cos2AB ACAABAC=，且()0,A，所以，3A=，因此，ABC为等边三角形，正确.故答案为：.19【答案】B 【解析】由题意知|DADBDC=，即点D到,A B C三点的距离相等，可得D为ABC的外心，又由2DA DBDB DCDC DA=，可得()

30、0DA DBDB DCDBDADCDB CA=，所以DAAC，同理可得,DABC DCAB，所以D为ABC的垂心，所以ABC的外心与垂心重合，所以ABC为正三角形，且D为ABC的中心，因为21cos()22DA DBDA DBADBDA=，解得2=DA，所以ABC为边长为2 3的正三角形，如图所示，以A为原点建立直角坐标系，则(3,3),(3,3),(2,0)BCD，因为1AP=，可得设(cos,sin)P，其中0,2，又因为PMMC=，即M为PC的中点，可得3cos3sin(,)22M+，所以22237 12sin()3cos3sin37 12496(3)(3)22444BM+=+=.即2B

31、M的最大值为494.故选：B.7 考点六考点六 奔驰定理的应用奔驰定理的应用 20【答案】【解析】对于：如图所示：因为DEF、分别为CAABBC、的中点，所以2CPPE=,121,233AECABCAPCAECABCSSSSS=，同理可得13APBABCSS=、13BPCABCSS=，所以=PBCS=PACPABSS，又因为0PBCPACPABSPASPBSPC+=所以0PAPBPC+=.正确.对于：记点P到ABBCCA、的距离分别为123hhh、，231111=,222PBCPACPABa hb hhScSS=，因为0PBCPACPABSPASPBSPC+=，则2311112220PAPBa

32、 hb hcPhC+=，即2310a hb hPAPBc h PC+=+，又因为0aPAbPBcPC+=，所以123=hhh，所以点P是ABC的内心.正确.对于：因为2155APABAC=+，所以2155PAABAC=,5315PBPAABABAC=+=,5245PCPAACABAC=+=+,所以2110555532455PBCPACPABSABACSABACSABAC+=,化简得：3212055555154+PBCPACPABPBCPACPABSSSABSSSAC+=+，又因为AB AC、不共线.所以232+=0=2555=2114=0555PBCPACPABPBCPABPACPABPBCP

33、ACPABSSSSSSSSSS+，15ABPPABPBCPACPABABCSSSSSS=+=.错误.对于：因为P是ABC的外心，4A=，所以2BPC=,PAPBPC=，=cos0PB PCPBPCBPC=,因为PAmPBnPC=+，则222222PAm PBmnPB PCn PC=+，8 化简得：22+1mn=,由题意知mn、不同时为正.记cos,sinmn=22,则cossin2sin+4mn+=+=，因为3921si2sin+4n2144442+所以)2,1mn+.正确.故答案为：.21【答案】C【解析】如下图，延长PA至D，使得2PDPA=，延长PC至F，使得4PFPC=，延长PB至E，

34、使得3PEPB=，因为2340PAPBPC+=，所以0PDPEPF+=，故P是DEF的重心，设3DEFSS=，则PEFPDFPEDSSSS=，又1sin2PEFSPEPFEPFS=，所以11111sinsin223412PBCSPBPCEPFPEPFEPFS=，1sin2PDFSPDPFDPFS=，所以11111sinsin22248PACSPA PCDPFPDPFEPFS=，1sin2PDESPDPEDPES=，所以11111sinsin22236PABSPA PBDPEPDPEEPDS=，所以123111,6128SS SS SS=，则123:SSS等于4:2:3.故选：C.22【答案】D【解析】解：延长OB到D，使OBBD=，延长OC到E，使OCCE=，连接,AD DE AE，因为220OAOBOC+=，所以0OAODOE+=，所以O为ADE的重心，所以设AODAOEDOESSSS=，则12AOBAOCSSS=，14BOCSS=,所以11152244ABCSSSSS=+=,所以54514ABCBOCSSSS=，故选：D