辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、辽宁省协作校辽宁省协作校 20222023 学年度上学期期中考试高二试题学年度上学期期中考试高二试题数数 学学一一、单选题单选题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的）求的）1下列命题中正确的是（）A若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tanB若直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C平行于 x 轴的直线的倾斜角为 180D若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 902在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22xy的焦点为 F，准线为 l，则点 F 到准线 l 的距离为（）A

2、12B1C2D43圆226210 xyxy 被 x 轴所截得的弦长为（）A2 2B2 3C4D4 24已知空间的一组基底,a b c，若mabc与nxaybc共线，则xy的值为（）A2B2C1D05 直三棱柱111ABCABC中，ABC为等边三角形，11AAAB，M 是11AC的中点，则 AM 与平面11BCC B所成角的正弦值为（）A710B1510C8510D15106“a2”是“直线1:2430laxy与直线22:150lxay垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分比为1F，2F，O 为坐标原

3、点，点 P 为双曲线 C中第一象限上的一点，12FPF的平分线与 x 轴交于 Q，若214OQOF，则双曲线的离心率范围为（）A（1，2）B（14）C2,2D2,48 如图，在棱长为 2 的正方形1111ABCDABC D中，点 E、F 分别是棱 AB、BC 的中点，则点1C到平面1B EF的距离等于（）A23B2 23C2 33D43二二、多选题多选题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全部选对得部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分有错误答案得分有错误答案得

4、 0 分）分）9下面四个结论正确的是（）A空间向量a，0,0b ab，若ab，则0a bB若对空间中任意一点 O，有111632OPOAOBOC ，则 P，A，B，C 四点共面C已知,a b c是空间的一组基底，若mac，则,a b m也是空间的一组基底D任意向量a，b，c满足a bcab c10已知椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为1F、2F，P 为椭圆 C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A12PFF的周长为 8B12PFF面积的最大值为3C12PF PF 的取值范围为2,3D12PF PF的取值范围为3,411已知直线:10l kxyk 和圆22:40C xyx，

5、则下列说法正确的是（）A存在 k，使得直线 l 与圆 C 相切B若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，则AB的最小值为2 2C对任意 k，圆 C 上恒有 4 个点到直线的距离为12D当 k2 时，对任意R，曲线22:240E xyxy恒过直线 l 与圆 C 的交点12已知1A、2A是椭圆22:143xyC长轴上的两个顶点，点 P 是椭圆上异于1A、2A的任意一点，点 Q与点 P 关于 x 轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A直线1PA与2PA的斜率之积为定值43B120PA PA C12PA A的外接圆半径的最大值为7 36D直线1PA与2QA的交点 M 在双曲线22143xy上三、填空

6、题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13已知向量2,0,1n 为平面的法向量，点1,2,1A 在内，点1,2,2P在外，则点 P 到平面的距离为_14在平面直角坐标系xOy中，若圆224xy和圆224440 xyxy关于直线 l 对称，则直线 l的方程为_15已知抛物线220ypx p的焦点为 F，过 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，点,2pMp，若直线 MA，MB 的斜率分别为1k，2k，则12kk_16如图，多面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为正方形，DE 平面 ABCD，CFDE，且2ABDE，1CF，G 为棱 BC

7、 的中点，H 为棱 DE 上的动点，有下列结论：当 H 为 DE 的中点时，GH 平面 ABE；存在点 H，使得GHAE；三棱锥 BGHF 的体积为定值；三棱锥 EBCF 的外接球的表面积为14其中正确的结论序号为_（填写所有正确结论的序号）四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知ABC的顶点1,2A，AC 边上的高 BD 所在直线方程为 x2y0AC 边上的中线 BE 所在直线方程为420 xy（1）求点 B 的坐标；（2）求点 C 的坐标及 BC 边所

8、在直线方程18（本小题满分 12 分）如图，已知直四棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 是菱形，60BAD，1ABAA，E 是1AA的中点，F 是 BC 的中点（1）求异面直线1D E和1DC所成角的余弦值；（2）求直线1D E与平面1DFC所成角的正弦值19（本小题满分 12 分）已知圆 C 的圆心 C 在直线10 xy 上，且与直线23100 xy相切于点2,2P（1）求圆 C 的方程；（2）若过点2,3Q的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 长为 6，求直线 l 的方程20（本小题满分 12 分）如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD，底面 A

9、BCD 为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC，O 为 AD 的中点（1）求证：PO 平面 ABCD；（2）求二面角CPDA的正弦值；（3）线段 AD 上是否存在 Q，使得它到平面 PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由21（本小题满分 12 分）已知 O 为坐标原点，过点1,0F的圆 M 与直线:1l x 相切，设圆心 M 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）过点1,0F的直线交曲线 C 于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点4,0P，求线段 AB的长22（本小题满分 12 分）已知双曲线2222:10,0 xyCab

10、ab的离心率为 2，F 为双曲线的右焦点，直线 l 过 F 与双曲线的右支交于 P，Q 两点，且当 l 垂直于 x 轴时，6PQ；（1）求双曲线的方程；（2）过点 F 且垂直于 l 的直线l与双曲线交于 M，N 两点，求MP NQMQ NP 的取值范围 05高二数学答案第 1 页，共 6 页 2022202220232023 学年上学期期中考试高二数学答案学年上学期期中考试高二数学答案 一、单选题 1-5.D、B、D、D、B 6-8.A、B、D 二、多选题 9.ABC 10.BCD 11.BCD 12.BCD【详解】设00,Pxy，则2200143xy 1A、2A是椭圆22:143xyC长轴上

11、的两个顶点1(2A，20)(2,0)A则20200022000013422444PAPBxyyyk kxxxx，故A不正确 由120(2PA PAx ，00)(2yx，22200001)4104yxyx，故B正确 当P在短轴顶点时，124AA，217PAPA，123sin7PA A，由正弦定理：1272sinRPA A，可得12PAA的外接圆半径的最大值7 36R；故C正确 点Q与点P关于x轴对称，设0(Q x，0)y，直线1PA的方程为：0022yyxx 直线2QA的方程为：0022yyxx 两式相乘：可得222020(4)4yxyx，由22001243yx代入化简可得22143xy，即直线

12、1PA与2QA的交点M在双曲线22143xy上；故D正确 三、填空题 1355 ；1420 xy；152；【详解】由抛物线方程知：,02pF，则可设:2pl xty，11,A x y，22,B xy，由222pxtyypx得：2220yptyp，212y yp；1212121222222212121222222222p ypp ypp ypp ypypypkkpppxppxpypypxx1212221122121212222p ypp ypypyppyy yyy yyyyy212121212222p yyppyyy yy y.故答案为：2.16【详解】对：当 H为 DE 的中点时，取EA中点为

13、M，连接,MH MB，如图一图一所示：高二数学答案第 2 页，共 6 页 图一 图二 图三 因为,H M分别为,ED EA的中点，故可得MH/AD，12MHAD，根据已知条件可知：BG/1,2AD BGAD，故MH/,BG MHBG，故四边形HMBG为平行四边形，则HG/MB，又MB 面,ABE HG 面ABE，故HG/面ABE，故正确；对：因为ED 面,ABCD DA DC 面ABCD，故,DEDA DEDC，又四边形ABCD为矩形，故DADC，则,DE DA DC两两垂直，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图二图二所示：则2,0,0,0,0,2,1,2,0AEG，设0,0,Hm，0,2m

14、，若 GHAE，则 1,2,2,0,20GH AEm ，即220m，解得1m，不满足题意，故错误；对：B GFHH BGFVV，因为,B F G均为定点，故BGFS为定值，又DE/,CF CF 面,BGF DE 面BGF，故DE/面BGF，又点H在DE上运动，故点H到面BGF的距离是定值，故三棱锥B GFH的体积为定值，则正确；对：取EFC的外心为1O，过1O作平面EFC的垂线1O N，则三棱锥BEFC的外接球的球心O一定在1O N上 因为1OO 面EFC，FC 面,ABCD CB面ABCD，则CFCB，又CBCD，,CFCDC CF CD面EFCD，故CB 面EFCD,又BC 面EFC，则1

15、OO/CB，故1,OO BC在同一个平面，则过O作OPBC，连接,OB OC如图三图三所示.在EFC中，容易知5,2 2,1EFECFC，则由余弦定理可得5 1 85cos52 5EFC ，故2 5sin5EFC，则由正弦定理可得1102sin2ECOCOPEFC；高二数学答案第 3 页，共 6 页 设三棱锥EFCB的外接球半径为R，则OCOBR，在OBP中，OBR，102OP，又22211522222BPPCOOOCOCR，故由勾股定理可知：222OBOPBP，即22255544222RRR，解得：272R，则该棱锥外接球的表面积2414SR，故正确.故答案为：.四、解答题 17解：（1）因

16、为点B为高BD与中线BE所在直线的交点，由20420 xyxy，解得21xy，(21)B，.2 分（2）设(,)C m n，因为AC与高BD垂直，所以1221ACBDnkkm ，即240mn.4 分 线段AC中点12(,)22mnE在中线BE上，所以14(2)2022mn，即4110mn.6 分 由可解得，3,2mn，(3,2)C，BC边所在直线方程570 xy.10 分 18解：连结AC BD，使ACBDO因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，以O为原点，OA OB、的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz 设12ABAA，由60BAD，底面ABCD是菱形，所以2BD.（1）13

17、101 03 0 2022DCF，101 23 0 1DE，.2 分 113 1 23 11DCD E，.4 分 设异面直线1DE和1DC所成角为，则 11222222331 12110coscos5312311DC D E ，异面直线1DE和AF所成角的余弦值为105.6 分 x y z O E F A A1 B C D B1 C1 D1 高二数学答案第 4 页，共 6 页(2)1333 1 2022DCDF ，.8 分 设平面1DFC的法向量为nx y z，则 133022320n DFxyn DCxyz ，得3 1 1n，.10 分 设直线1DE与平面1DFC所成角为，则12222223

18、31 1(1)13sincos531(1)311D E n ，直线1DE与平面1DFC所成角的正弦值为35.12 分 19解：（1）过点2 2P，与直线23100 xy垂直的直线m的斜率为32k，所以直线m的方程为3222yx，即3220 xy.2 分 由322010 xyxy，解得圆心01C，所以半径22021 213r 故圆C的方程为：22113yx.4 分 （2）若斜率存在，设过点2 3Q，的直线l斜率为k，则直线l方程为：32yk x，即230kxyk，圆心01C，到直线l的距离2241kdk，又613ABr，2222243131kk，整理得 430k ，解得34k 此时直线l的方程3

19、460 xy.8 分 若斜率不存在，直线方程为2x，弦心距为2，半径13r，.10 分 弦长为222(13)26，符合题意，综上，直线l的方程为3460 xy或2x 12 分 20(1)证明见解析(2)63 (3)存在，13【分析】（1）先证得POAD，再由侧面PAD 底面ABCD证得PO 平面ABCD即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAD以及平面PCD的法向量，由向量夹角公式求得余弦，再计算正弦即可；（3）设出点0,0,1,1Qmm，由点面距离的向量求法解出m即可求出AQQD的值.（1）PAPD，O为AD的中点，POAD，侧面PAD 底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，PO平面

20、PAD，PO平面ABCD；4 分 高二数学答案第 5 页，共 6 页 （2）底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC，OCAD，又PO 平面ABCD，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD的法向量1,0,0m，1,0,0,0,1,0,0,0,1CDP，1,0,1,0,1,1PCPD，设平面PCD的法向量,nx y z，则00n PCxzn PDyz，取1x，得1,1,1n，.6 分 设二面角CPDA夹角为，则1cos3m nm n，则21613sin3，二面角CPDA的正弦值为63；.8 分 设线段A

21、D上存在0,0,1,1Qmm，使得它到平面PCD的距离为32，0,1PQm，Q到平面PCD的距离1323PQ nmdn，解得12m 或52m(舍去)，.10 分（3）则10,02Q，则112332AQQD.12 分 21解：（1）设(,)M x y，依题意，22(1)|1|xyx，整理得24yx，曲线C的方程为24yx.4 分 （2）显然直线斜率存在且不为0，设11()A x y,，22()B xy,，设直线AB方程为(1)yk x，0k，由2(1)4yk xyx得，2440kyyk，12124,4yyy yk，.6 分 设线段AB中点00(,)N x y，12022yyyk，0021211x

22、ykk，002222122433NPykk kkkxkk，22k.8 分 高二数学答案第 6 页，共 6 页 21212122211|1|(1)()4AByyyyy ykk22116(1)166kk.12 分 【或者利用焦半径公式】12121221114|211 2()446ABxxyyyykkkk ）【消去y求解也可以】22(1)2213yx (2),12 【分析】（1）根据通径226bPQa，直接求得23ba，再结合离心率为 2 即可求双曲线的方程；（2）通过对MP NQMQ NP转化为2 FP FQMF NF，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.（1）依题意，2ca，当 l垂直于 x轴时

23、，226bPQa，即23ba，即223caa，解得1a，3b，因此2213yx；.4 分（2）设:2PQlxmy，联立双曲线方程2213yx，得：22311290mymy，当0m 时，2,3,2,3,0,1,0,1PQMN，12MP NQMQ NP，.6 分 当0m时，设11223344,P x yQ xyM xyN xy，因为直线PQ与双曲线右支相交，因此1229031y ym，即33,00,33m，同理可得234293my ym，依题 MP NQMFFPNFFQMF NFFP FQ，同理可得，MQ NPMFFQNFFPMF NFFP FQ，而212342111FP FQMF NFmy yy ym，代入122931y ym，234293my ym，2222422242229 19 118 16 36331331031 33mmmmmFP FQMF NFmmmmmm，分离参数得，2429663103mFP FQMF NFmm ，.8 分 因为33,00,33m，当210,3m时，由22110,3mm，22966,61310FP FQMF NFmm ，.10 分 所以2,12MP NQMQ NFP FQMF NFP，综上可知，MP NQMQ NP的取值范围为,12.12 分