广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司韶关市韶关市 2023 届高三综合测试（一）数学届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共 8 小题，每

2、小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设全集2,1,0,1,2U ，集合2,1A ，2320Bx xx，则()UAB（）A.0,2B.1,0C.1,2D.1,02若11zi，21(2)zzi，1z是1z的共轭复数，则2z（）A.2B.2C.10D103下列区间中，函数()3sin6f xx的单调递减区间是（）A.0,2B.,2C.3,2D.3,224函数433()1xxf xx的部分图象大致为（）A.B.C.D.5已知(3,4)a，(1,0)b，catb，若bc，则向量c在向量a上的投影向量为（）A.1625aB.1625aC.45aD.45a6某污

3、水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物 10，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg20.30，lg30.48）（）A6 小时B7 小时C8 小时D9 小时学科网（北京）股份有限公司7 已知点O为坐标原点，点F是双曲线2222:1xyCab（0a，0b）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，线段PF交双曲线C于点Q.若Q为PF的中点，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.38已知函数()2lnexf xxeex，若2202120222023202320

4、232023eeeeffff1011()ab，其中0b，则1|2|aab的最小值为（）A.34B.32C.54D.22二、多项选择题二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 200 名观众进行调查，其中女性占 40根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m B女观众收看节目时长的中位数为 6.5 小时C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D

5、收看节目不少于 9 小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310已知正方体1111ABCDABC D，设E是棱BC的中点，则A1BD 平面1C DEB.1BCACC平面11ABC与平面ABCD所成角的正弦值为33D三棱锥1DACD与三棱锥1BACD体积相等11 设A是抛物线2:4C xy上一点，F是C的焦点，A在C的准线l上的射影为M，M关于点A的对称点为N，曲线C在A处的切线与准线l交于点P，直线NF交直线l于点Q，学科网（北京）股份有限公司则AF到l距离等于 4B.FMFNCFPQ是等腰三角形D|MQ的最小值为 412以下四个不等关系，正确的是A.ln1.5 ln41B.ln1.10.1C

6、.19202019D.22ln24ln4e三、填空题三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.6212xx的展开式的中间一项的系数为_（具体数字作答）.14已知(0,)，且1 cos22sin2，则cos()_.15 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念 数学中根据不同定义有好多种距离.平 面 上，欧 几 里 得 距 离 是11,A x y与22,B xy两 点 间 的 直 线 距 离，即221212ABdxxyy.切比雪夫距离是11,A x y与22,B xy两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即1212max,ABdxxyy.已知P是直线:2

7、150lxy上的动点，当P与o（o为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为_.16 已知三棱锥PABC中，PBC为等边三角形，ACAB，PABC，2 3PA，2 6BC，则三棱锥的外接球的半径为_；若M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最大值为_.四、解答题四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题 10 分）在ABC中，D为AC的中点，且sin2sinBDCBAC.（1）证明：2BABD；（2）若22ACBC，求ABC的面积18（本小题 12 分）已知数列 na的首项145a，且满足143nnna

8、aa，设11nnba.（1）求证：数列 nb为等比数列；（2）若1231111140naaaa，求满足条件的最小正整数n.19（本小题 12 分）学科网（北京）股份有限公司北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了 10 所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这 10 所学校中随机抽取 2 所，在抽取的 2 所学校参与“单板滑雪”的人数超过 30人的条件下，求这 2 所学校参与“自由式滑雪”的人数超过 30 人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过 4

9、0 人的学校可以作为“基地学校”，现在从这 10 所学校中随机抽取 3 所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这 3 个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试 规定：在一轮测试中，这 3 个动作至少有 2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”已知在一轮集训测试的 3 个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于 8 次，那么至少要进行多少轮测试？20（本小题 12 分）已知矩形ABCD中，4AB，2BC，E是CD的

10、中点，如图所示，沿BE将BCE翻折至BFE，使得平面BFE 平面ABCD（1）证明：BFAE；（2）若(01)DPDB 是否存在，使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是63？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21（本小题 12 分）已知椭圆22:142xyC的左、右顶点分别为A，B，点D（不在x轴上）为直线6x 上一点，直线AD交曲线C于另一点P.（1）证明：PBBC；（2）设直线BD交曲线C于另一点Q，若圆O（O是坐标原点）与直线PQ相切，求该圆学科网（北京）股份有限公司半径的最大值.22（本小题 12 分）已知函数2()1f xx，()ln(1)g xmx，mR.（1）若直线:20l

11、 xy与()yg x在(0,(0)g处的切线垂直，求m的值；（2）若 函 数()()()h xg xf x存 在 两 个 极 值 点1x，2x，且12xx，求 证：1122x h xx h x2023 届高三综合测试（一）数学参考答案及评分标准届高三综合测试（一）数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的

12、一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题（每小题 5 分）题号12345678答案BCBDBCAA1.【解析】由题意，23201,2Bx xx，所以2,1,2AB ，所以 1,0UAB ，故选 B.2.【解析】21(2)(1)(2)3zziiii，所以，2223()10z ，故选 C.3.【解析】函数()3sin6f xx，由题意，322()262kxkkZ，解得422()33kxkkZ，取0k，可得函数()f x的一个单调递减区间为4,33，故选 B.4.【解析】

13、()f x是奇函数且(1)0f，所以选 D.5.【解析】因为bc，所以3t ，0,4c，所以向量c在向量a上的投影向量为1625a caaaa，所以选 B.6.【解析】设原来池中污染物的质量为m，依题意，经过n小时污染物的质量0.9nm，所以，10.92nmm，lg2lg27.51 lg91 2lg3n，故选 C.7.【解析】以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，OPPF，直线OP的方程为byxa，,0F c，直线PF的方程为ayxcb，学科网（北京）股份有限公司由()byxaayxcb，解得2Paxc，Pabyc，12PQPF ，Q是PF的中点，故222Qacxc，2Qabyc，代

14、入双曲线方程，得222222221acabccab，整理，得2222222144acaa cc，222ca，2e.故选 A.法 2：以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，OPPF，PFb，从而1122PQPFb，设双曲线左焦点为1F，连结1QF，则由定义知11222QFaQFab，在RtFPO中，cosPFbPFOOFc，在1FQF中，由余弦定理得：2221112cosQFQFQFQFQFQFO，即2221112(2)22222babbcbcc，化简得ab，所以2e，8.【解析】因为()()()2ln2()ln2()exeexf xf exxeexeexe ex 由上面结论可得220

15、21202220222023202320232023eeeeffff 所以2ab，其中0b，则2ab.当0a 时，1|121212()1 525111222222 224ababbaababababab 当且仅当，23a，43b 时等号成立；当0a 时，1|112152()11222222abaabababab 1523212224baab，当且仅当2a ，4b 时等号成立；因为3544，所以12aab的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）.题号9101112学科网（北京）股份有限公司答案BCADBCDACD9.【解析】对于

16、 A，由(0.050.0750.0750.200)21m，解得0.1m，故 A 错误；对于 B，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的3526.54，故 B 正确；对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.4 80.2 10120.158.3 小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.3 80.1 106.6 小时，故 C 正确；对于 D，由频率直方图可知，男性观众收看到达 9 小时人数为200 60%(0.20.15)42人，女性观众收看达到 9 小时人数为20040%0.18人，故 D 错误.故选：BC.10.【解析】对于 A，设1CD交1C D于F，可得1EF

17、BD，从而得到1BD 平面1C DE；所以 A 正确；对于 B，可以求得1BC，AC所成角为3，所以 B 不正确.对于 C，转化为求平面11ABC与平面1111ABC D所成角，可求得其正弦值63，C 不正确；对于 D，设正方体棱长为 1，1116D ACDB ACDVV，D 正确.所以选 AD.11.【解析】对于 A，焦点到准线距离2p，A 不正确.对于 B，因为C：24xy的准线为l：1y ，焦点为0,1F，设00,A xy，则0,1M x，00,21N xy，所以 200000,2,240FM FNxxyyx ，所以90MFN，（或由抛物线定义知AMANAF，所以90MFN，）故选项 B

18、 正确；对于 C，因为A处的切线斜率，02APxk，而20000012242NFxyxkxx，所以APNFkk，从而APNF，又A是线段MN中点，所以，P是线段MQ的中点，又90MFN，所以，PQPF，所以 C 正确.对于 D，因为02NFxk，所以直线FN的方程为012xyx，令1y ，得04,1Qx，学科网（北京）股份有限公司所以0000442 44MQxxxx，当且仅当02x 时，最小值为 4，故选项 D正确；综上可知选 BCD.12.【解析】对于 A，因为，2222ln1.5ln4ln 6lnln1.5 ln41244e，所以，A 正确；对于 B，由切线不等式ln11xxx，得ln1.

19、11.1 10.1，B 不正确对于C，由19202019得19ln2020ln19，1920ln19ln20，设 lnxf xx，0 x 且1x，2ln10lnxfxx，得xe，当01x和1xe时，0fx，函数 f x单调递减，当xe时，0fx，函数 f x单调递增，所以1920ln19ln20，C 正确.对于 D，因为24ln2ln4，22242222lnlnln422eeeeee，且 24ff，且2242ee，所以 222eff，即224ln4ln2e，D 正确.故选 ACD.二、填空题（第 13、14、15 题每小题 5 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）.题号131415

20、16答案1605563；2 3213.【解析】依题意，展开式的中间一项是第 4 项，3334621(2)TCxx，其系数为33362(1)160C .14.【解析】21 cos22sintansin22sincos，tan2，0,，2 5sin5，5cos5，5cos()cos5.15.【解析】因为点P是直线l：2150 xy上的动点，要使OP最小，则OPl，此时2lk ，所以12POk，由方程组215012xyyx，解得，6x，3y 所以，P，Q两点之间的比雪夫距离为 6.16.【解析】由已知可证明PA，AB，AC两两垂直且长度均为2 3，所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是

21、正方体的外接球，设外接球的半径为R，则学科网（北京）股份有限公司22211(2 3)(2 3)(2 3)322RAG.设三棱锥外接球球心为1O，内切球球心为2O，内切球与平面PBC的切点为K，易知：1O，2O，K三点均在AG上，且AK 平面PBC，设内切球的半径为r，由等体积法：1133ACPABPABCBCPABCSSSSrSAP，得3 1r，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AKGK，6AG，4GK，M，N两点间距离的最大值为242(31)2 32GKr.四、解答题（第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分）.17.（本小

22、题满分 10 分）（1）证明：在ABD中，由正弦定理得：sinsinBABDBDABAD即，sinsinBABDABDBAD2 分学科网（北京）股份有限公司因为sinsinsinBDABDCBDC，所以，sinsinBABDCBDBAD又由已知sin2sinBDCBAD所以，2BABD2BABD4 分设BDx，则2BAx，在BCD中，由余弦定理得：2222cosBDBCCDBC CDBCD即222cosxBCD在ABC中，由余弦定理得：2222cosABBCACBC ACBCA即2454cosxBCD7 分解得：3cos4BCA，7sin4BCA所以1177sin1 22244ABCSBC A

23、CBCA .10 分18.（本小题满分 12 分）解：（1）11311141111nnnnnnnabaabaa2 分3 134 14nnaa111114ba 数列 nb为首项为114b，公比为34等比数列5 分（2）由（1）可得12311111111naaaa13144314n314n 8 分即1231111314nnnaaaa 学科网（北京）股份有限公司1231111314nnnaaaa 10 分而314nn 随着n的增大而增大要使1231111140naaaa，即311404nn，则140n n的最小值为 140.12 分19.（本小题满分 12 分）解：记“这 10 所学校中随机选取 2

24、 所学校参与“单板滑雪”的人数超过 30 人”为事件A，“这 10 所学校中随机选取 2 所学校参与“自由式滑雪”的人数超过 30 人”为事件B则 26210CP AC，24210CP ABC所以，25P ABP B AP A.4 分（2）X的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在 40 人以上的学校共 4 所，所以034631020101206CCP XC，124631060111202CCP XC，2146310363212010CCP XC，304631041312030CCP XC，所以X的分布列如下表：X0123P1612310130所以131623210305E X

25、 8 分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀”为事件C，则 2332122033327P CCb，由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n，由题意列式20827n，得545n，因为*nN，所以n的最小值为 11，故至少要进行 11轮测试12 分20.（本小题满分 12 分）（1）证明：依题意ABCD矩形，4AB，2BC，E是CD中点分别在等腰直角三角形ADE和BCE求得2 2AEBE，又4AB，所以，222AEBEAB学科网（北京）股份有限公司AEBE2 分因为，平面BEF 平面ABCD平面BEF 平面ABCDBE所以，AE 平面BEF，又BF 平面

26、BEF，所以AEBF5 分（2）以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.则0,0,0C，4,0,0D，0,2,0B，2,0,0E，设N是BE的中点，FEFB有FNBE，又平面BEF 平面ABCD.平面BEF 平面ABCDBEFN平面ABCD，1,1,2F8 分假设存在满足题意的，则由(01)DPDB .可得，43,1 2,2PFDBDF .设平面DEF的一个法向量为,x y zn，则00DEDFnn，即20320 xxyz，令2y，可得0 x，1z ，即0,2,1n10 分PF与平面DEF所成的角的正弦值sincos,|PFPFPF nnn2222 21

27、2633(34)(21)(2)学科网（北京）股份有限公司解得34（1舍去）.综上，存在34，使得PF与平面ADE所成的角的正弦值为6312 分21.（本小题满分 12 分）解（1）设00,P xy002APykx，直线AD的方程为0022yyxx，令6x，得0086,2yDx，0000822622BDyxykx，2 分又002BPykx，且2200142xy20002000221224BDBPyyykkxxx，PBBD，4 分（2）当直线PQ不垂直x轴时，设直线PQ方程为ykxm，11,P x y，22,Q xy由方程组2224xyykxm得222124240kxkmxm 222(4)4 12

28、240mkkm，2242km21212224241212kmmxxxxkk6 分由（1）可知，1BDBPkk 1212122yyxx 121212240 xxxxyy又2212121212yykxmkxmk xxkm xxm，代入上式得：2212121240kxxkmxxm8 分即：2222222 124401212mkkmkmmkk得到223840mmkk学科网（北京）股份有限公司23mk 或2mk（舍去），10 分所以直线PQ方程为23yk x恒过2,03S，当PQ垂直x轴时，同样成立。设O到直线PQ为d，则23dOS所以，半径的最大值为2312 分另解：由（1）知00008222622B

29、DADyxykkx，设直线AD的斜率为k，则直线BD的斜率为2k.直线AD的方程为：2yk x，设11,P x y，由222222(2)218840142yk xkxk xkxy，由21284221kxk，得2122421kxk，从而1124221kyk xk，同理直线BD的方程为：22yk x，设22,Q xy，由2222222(2)81323240142yk xkxk xkxy，由222324281kxk，得22216281kxk，从而22282281kyk xk，当221222241622181kkxxkk时，214k，则1223xx，此时直线PQ过点2,03S，根据对称性，可猜想直线P

30、Q恒过点，8 分当214k 时，212242213kxk，2221622813kxk，2122124032122421 43213SPkykkkkkxk，22222280381216221 43813SQkykkkkkxk.SPSQkk，从而,P Q S三点共线，即直线PQ恒过一定点2,03S.设O到直线PQ为d，则23dOS所以，半径的最大值为23.12 分22.（本小题满分 12 分）（1）解：1mgxx g x在 0,0g处的切线斜率 0kgm 2 分学科网（北京）股份有限公司直线:20l xy与切线垂直，112m，2m.3 分（2）证明：由函数有两个极值点，则 2222011mxxmh

31、 xxxx，在1x 上有两个不等的实根，即2220 xxm，在1x 有两个不等式的实根，12,x x，442480mm，111 22mx，211 212mx102m，则121212xxmx x，且110,2x，21,12x，5 分要证1122x h xx h x，即证1221h xh xxx则2111121211112221ln 1112ln 112 ln 1h xxmxxxx xxxxxxxx ，同理可得：2222112ln 1h xxxxx 7 分则12211122212 ln 12ln 1h xh xxxxxxxxx，22222212 1ln2ln 1xxxxx，9 分令 212 1ln

32、2 ln 1p xxxxxx，1,12x，求导，222ln11xp xxxxx，1,12x，由1,12x，则2201xxx，则 0px，则 p x在1,12x，上单调递增，102p xp，12210h xh xxx，即1221h xh xxx1122x h xx h x成立.12 分（2）另证：由函数有两个极值点，则 2222011mxxmh xxxx，在1x 上有两个不等的实根，即2220 xxm，在1x 有两个不等式的实根，1x,2x，442480mm，111 22mx，211 212mx学科网（北京）股份有限公司102m，则121212xxmx x，且110,2x，21,12x5 分要证

33、1122x h xx h x，即证：11220 x h xx h x又33112211112222ln 1ln 1x h xx h xmxxxxmxxxx3311221212ln 1ln 1m xxxxxxxx 21122121212ln 1ln 11m xxxxxxxxx x又12121,2mxxx x所以1122222222212 1ln2ln 1x h xx h xmxxxxx 又102m所以只需证明：22222212 1ln2ln 10 xxxxx，21,12x9 发令 212 1ln2 ln 1p xxxxxx，1,12x，求导，222ln11xp xxxxx，1,12x，由1,12x，则2201xxx，则 0px，则 p x在1,12x，上单调递增，102p xp所以11220 x h xx h x，即1122x h xx h x12 分