中学生标准学术能力诊断测试THUSSAT2022年11月诊断性测试文科数学试卷含答案.pdf

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1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年年 11 月测试月测试 文科文科数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1 已知0,1,2,3,4A=，13Bxx=，则RAB=A0,1 B1,2 C1,4 D0,3,4 2 若()2i1 iz+=，其中i为虚数单位，则z=A105

2、 B2 C102 D5 3 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为 3 米，圆柱的高为 2.5 米，底面直径为 8 米，则建造该毡帐需要毛毡（）平方米 A36 B40 C46 D50 4 若实数,x y满足约束条件020 xyxy+，则2zxy=的最小值为 A1 B1 C2 D2 5 已知向量()1,1a=，6a b=，2b=，则向量,a b的夹角为 A6 B4 C3 D23 6 下列函数中，与函数3yx=的奇偶性和单调性都一致的函数是 A2yx=Bsinyxx=+C|2xy=

3、Dtanyx=7 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知02 sin3bAa=，且B为锐角，若333cab=+，则A=A6 B4 C3 D2 8 某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了 100 名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图 根据此频率直方图，下列结论中错误的是 A估计该校学生的平均完成作业的时间超过 2.7 小时 B 所抽取的学生中有 25 人在 2 小时至 2.5 小时之间完成作业 C该校学生完成作业的时间超过 3.5 小时的概率估计为 20%D估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在 2 小时至 3小时之间 9 函

4、数()21 cos1 exf xx=+图象的大致形状是 A B C D 10若cossin552cossinxxxx+=，则x的值可以是 A10 B5 C310 D25 11已知点,P Q在椭圆2214xy+=上，O为坐标原点，记直线,OP OQ的斜率分别为,OPOQkk，若14OPOQkk=，则22OPOQ+=A2 B3 C4 D5 12九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程 在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 1，则鳖臑体积的最小值为 长方体 堑堵 阳马 鳖臑

5、A2 223+B 3 3 C4 223+D 2 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 xyOxyOxyOxyO（第 8 题图）第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 13已知圆C经过点()4,0，()1,3，且圆心在x轴上，则C的标准方程为 14某校航模队甲组有 10 名队员，其中 4 名女队员，乙组也有 10 名队员，其中 6 名女队员现从甲、乙两组中各抽取2名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 15如图所示，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A,B两点），2DCB=，且DCCB=，若2AB=

6、，则OC OD的取值范围为 16已知()exf xn=+，()()lng xxn=，若对于任意(),xn+，都有()()f xg x，则实数n的取值范围为 三、解答题：三、解答题：本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题题为必考题，每个试题考生都必须作答第为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（12 分）为了了解某植物植株得枯萎病是否与感染红叶螨有关，随机抽取了该植物植株 100

7、株，得到下面列联表：得枯萎病 无枯萎病 感染红叶螨 32 16 未感染红叶螨 24 28（1）随机抽取该植物中的一株，根据上表，分别估计该株植物感染红叶螨和得枯萎病的概率；（2）能否有95%的把握认为该植物植株得枯萎病与感染红叶螨有关？附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+18（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，且对任意nN，都有()230nnSaa a=（1）当1a=时，求数列 na的通项公式；（2）设3lognnba=，数列 nb的前n项和为nT，若5nTT，求a的取值范围 19（12 分）在三棱柱111ABCABC中，ABAC，1BC 平面ABC，EF、分

8、别是棱11ACAB、的中点（1）设G为11BC的中点，求证：EF平面11BCC B；（2）若2ABAC=，直线1BB与平面1ACB所成角的正切值为22，求多面体1BEFGC的 体积V 20（12 分）已知抛物线2:4yx=的焦点为F，准线为l（1）设l与x轴的交点为E，点P在上，且在x轴上方，若|2|2PFPE=，求直线EP的方程；（2）过焦点F的直线与相交于AB、两点，点C在上，且ACBC，CFAB，求ABC的面积 21（12 分）已知函数()311312f xxax=+，()1lng xx=（1）若直线yax b=+与曲线()yf x=和()yg x=都相切，求实数a的值；（2）设函数()

9、()()()()2f xg xf xg xh x+=，若函数()yh x=在()0,+上有三个不同 的零点123,x xx，且123xxx，求证：31x=，122112xx+（二）选考题：（二）选考题：共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号分作答时请写清题号 22（10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11xttytt=+=（t为参数），以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos106+=（1）写出直线

10、l的直角坐标方程；（2）点P在曲线C上，求点P到直线l距离的最小值 23（10 分）选修 45：不等式选讲 已知a，b，c都是正数，且1abc+=（1）若bc=，求函数()2f xxaxb=+的最小值；（2）求证：2221abcbca+()2P Kk 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 ODCBAFEC1B1A1CBA（第 15 题图）（第 19 题图）第1页 共5页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年年 11 月测试月测试 文科文科数学参考答案数学参考答案 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题

11、，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B A A B A D B C D C 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13()2219xy+=14 815 15(1,2 16()1,+三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第

12、题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17（12 分）（1）共 100 株，感染红叶螨的有 48 株，得枯萎病的有 56 株 所以随机抽取该植物的一株，感染红叶螨的概率估值为1225 3 分 得枯萎病的概率估值为1425 6 分（2）()()()()()2210032 28 16 24100 262144=4.26232 1624283224162848 52 56 44K=+2 分 因为24.2623.841K 4 分 所以有95%的把握认为该植物植株得枯萎病与感染红叶螨有关 6

13、 分 18（12 分）（1）由题意知111232Saaa=，所以1aa=因为1a=，所以11a=因为()1112233nnnnnaSSaa+=所以13nnaa+=2 分 所以 na是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 3 分 所以13nna=4 分（2）由（1）知13nnaa=，所以()133log3log1nnbaan=+2 分 第2页 共5页 所以()23311loglog222nn nnTnaa n=+=4 分 因为5nTT，所以39111log222a 6 分 得35log4a ，所以5433a 8 分19（12 分）（1）连接FG，GC因为点,E F G分别为1111,AC AB

14、BC的中点 所 以11FGAC且1112FGAC=，11ECAC 111122ECACAC=所以ECFG，且ECFG=所以四边形ECGF是平行四边形，所以EFCG 2 分 又因为CG 平面11BCC B，EF 平面11BCC B所以EF平面11BCC B 4 分（2）因为1BC 平面ABC，所以1BCAB，1BCAC又因为ABAC，所以AB 平面1ACB所以1BB A即是直线1BB与平面1ACB所成的角 2 分 所以112tan2ABBB AAB=因为2AB=，所以12 2AB=因为1BCAC，2AC=，所以12BC=4 分 因为11ABAB，AB 平面1ACB，所以1FB 平面1B EC所以

15、11111111332F B ECB ECVFB SFBEC BC=6 分 因为12ABACBC=所以11FB=，1EC=，所以113F B ECV=由（1）知多面体1BEFGC为四棱锥所以1223F B ECVV=8 分 20（12 分）（1）由24yx=可得的准线为直线1x=，所以点()1,0E 过点P作的准线的垂线，垂足为H，则PHPF=GFEC1B1A1CBA第3页 共5页 因为2=2PFPE，所以22PHPE=2 分 设直线EP的倾斜角为，则2cos2=所以直线EP的斜率为 1 所以直线EP的方程为1yx=+4 分（2）()1,0F，设()11,A x y，()22,B xy，()3

16、3,C xy若ABx轴，由CFAB，得()0,0C，AB、为()()1,21,2、此时不满足ACBC，所以不满足题意 1 分 直线AB方程为1xmy=+，直线CF的方程为11xym=+将1xmy=+代入抛物线方程得2440ymy=所以124yym+=，124y y=将11xym=+代入抛物线方程得2440yym+=所以233440yym+=2 分直线ACBC、的斜率分别为314yy+、324yy+因为ACBC，所以3132441yyyy=+所以()231231216yyyyy y+=所以2334120ymy+=4 分 由解得3241mym=，()()222244 110mmm+=所以332 3

17、my=或者332 3my=所以当直线AB方程为31xy=+时，()3,2 3C，4CF=因为12,y y满足24 340yy=6 分 所以()2212121212416ABmyyyyy y=+=+=所以ABC的面积为 32 同理可得当直线AB方程为31xy=+时ABC的面积也为 32 8 分 21（12 分）（1）()2fxxa=，()1gxx=令()fxa=，得0 x=第4页 共5页 所以直线yaxb=+与曲线()yf x=相切于点10,12，得112b=2 分 设直线112yax=+与曲线()yg x=相切于点()00,xy 则01ax=且0011ln12axx+=所以11120 xe=，

18、1112ae=4 分 （2）由题意得()()()()()()(),fxfxg xh xg xg xfx=，()g x在()0,+上有唯一零点 1 因为()10012f=，当x 时，()f x 所以()f x在(),0上至少有一个零点，在()0,+上至多有两个零点 因为()h x在()0,+上有三个不同的零点 所以 1 为()h x的零点，不是()f x的零点 进而()()510112gfa=+，即512a 1 分 因为当()1,x+时，()0g x 所以()h x在()1,+上无零点，在()0,1上有两个零点12,x x 所以31x=2 分 因为当()0,1x时，()0g x，所以()f x在

19、()0,1上有零点12,x x 因为()10012f=，()51012fa=+所以()f x在()0,1上存在极小值()00f x 由()2fxxa=，得()2000fxxa=，()00,1xa=()()()()33011210312312f xfaaa aa=+=+所以15412a 4 分 设方程()()()31241113123xaxxxxxxx+=则1240 xxx+=，12414x x x=，12244 13x xx xx xa+=所以()121214x xxx+=，()212123x xxxa+=设12txx=+，则213 53,44 4tat=6 分 因为()214w ttt=在(

20、)0,+递增，且()314w=，21524w+=所以2112t+，即122112xx+8 分 第5页 共5页（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号题计分作答时请写清题号 22（10 分）（1）因为cos106+=，所以 31cossin1022+=2 分 因为cosx=，siny=所以直线l的直角坐标方程为320 xy+=4 分（2）设(),P x y，则1xtt=+，1ytt=所以点P到直线l的距离()3 1113123222ttttttd+=2 分

21、设()3 131utt=+则()()2313 12 2u+=，即(),2 22 2,u +所以当312t=时，2 2u=，当312t=时，2 2u=所以()()3 13 12,2 222 22,tt+所以()313122 22tt+，当且仅当312t=时取等 所以点P到直线l的距离的最小值为2 1 6 分 23（10 分）（1）因为bc=，所以21ab+=所以()22,22,222,xabxbf xabbxaxabxa+=+2 分 所以()f x在(),2b 上递减，在(),a+上递增 4 分 所以当2bxa时，()f x取得最小值 1 6 分（2）因为22abab+，22bcbc+，22caca+2 分 所以2221abcabcbca+=当且仅当13abc=时取等 4 分