复变函数课程教学大纲.doc

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1、复变函数与积分变换考试大纲适用专业： 信息与计算科学 电子科学与技术 电气自动化学 时： 48（理论 40 实验 8）考试时长： 120 分钟 一、 本课程的地位和作用复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。它的许多概念、理论和方法与数学分析有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。它是本科院校理工科专业的重要专业课。它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，在流体力学、 电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美

2、地研究这类具体问题。积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。二、本课程的考试目的、目标（1）考试试卷要求尽可能科学、合理、规范（2）考试尽可能客观地反映学生的学习水平和教师的教学水平（3）促进学生与学生之间、教师与学生

3、之间相互交流，提高学生学习的积极性及教师的教学水平（4）提高学生的实践操作能力，会在电脑上应用数学软件解决一些实际问题。三、考试试卷涉及内容和基本要求第一章 复数与复变函数1考试涉及内容（1）复数及其四则运算（2）复数的模与辐角，复数的三角表示法及乘除运算（3）复数的乘幂与方根（4）复数在几何中的应用（5）复平面上点集的有关概念。区域、曲线的有关概念，约当定理（6）复数方程表示曲线以及不等式表示区域（7）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算（8）复变函数与映射（或变换）的概念（9）复变函数的极限的概念及性质（10）复变函数连续性的概念、运算法则及性质2考试基本要求（1）了解引进复数

4、的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的运算（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法（4）了解复平面上点集的一般概念（5）了解引进扩充复平面的思想和方法（6）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念（7）掌握利用MATLAB计算极限第二章 解析函数1考试涉及内容（1）复变函数的导数与微分（2）解析函数的概念与基本性质（3）Cauchy-Riemann方程（4）解析函数的求导公式与求导法则（5）复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数（7）初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反

5、三角函数，反双曲函数（8）调和函数的概念（9）解析函数与调和函数的关系2考试基本要求（1）深刻理解解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微、解析的等价刻画（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式（4）掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）（5）了解初等多值函数（6）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系（7）掌握利用MATLAB计算微分第三章 复变函数的积分1考试涉及内容（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算（2）Cauchy积分定理及其推广（3）Cauchy积分公式，最大模原理

6、（4）解析函数的高阶导数公式（5）Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理2考试基本要求（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质（2）熟练掌握和运用Cauchy积分定理（3）掌握柯西积分公式和高阶导数分式（4）了解Cauchy不等式、Liourille定理、Morera定理（5）掌握利用MATLAB计算复积分第四章 解析函数的级数表示1考试涉及内容（1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则（2）复变函数项级数的概念（3）幂级数的收敛状况，特别地在收敛圆周上的收敛状况（4）幂级数的收敛圆、收敛半径、和函数的求法（5）解析函数在一点邻域内的泰勒展式（6）常用初等解析

7、函数的泰勒展式（7）双边幂级数的概念（8）解析函数的Laurent展式（9）掌握利用MATLAB求解析函数的泰勒展开式2考试基本要求（1）理解复函数项级数的概念（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径、和函数（3）理解解析函数的幂级数定义（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用（5）掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理（6）会求解析函数的泰勒展式、Laurent展式第五章 留数及其应用1考试涉及内容（1）解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特征性质（2）解析函数在无穷远点的性质（3）留数的定义。留数定理（4）留

8、数的计算（含无穷点处的残数的计算）（5）三种类型实积分的计算（6）辐角原理，儒歇定理（7）解析函数零点的孤立性2考试基本要求（1）掌握解析函数的三种类型奇点的定义，特征以及判别方法。了解解析函数在无穷远点的性质（2）掌握留数的概念，深刻理解留数定理，并会用留数定理计算复积分（3）熟练掌握留数的计算方法（包括在无穷远点的留数）（4）了解应用留数定理计算实积分的方法（三种）（5）了解辐角原理、儒歇定理，并能判定解析函数零点位置（6）掌握利用MATLAB求解析函数在孤立奇点处的留数第六章 共形映射1考试涉及内容（1）共形映射的概念，单叶解析函数的映射性质（2）导数的几何意义（3）共形映射的基本问题（

9、4）分式线性函数及其映射性质（5）某些初等函数所构成的保形变换（6）实例2考试基本要求（1）理解导数的模与辐角的几何意义、解析变换的特性保域性与保角性（2）理解线性变换的特性（3）能求一些简单的单连通区域与单位圆或半平面之间的变换（4）了解MATLAB绘制复变函数图像*第七章 解析函数在平面场的应用1考试涉及内容（1）复势的概念和平面向量场（2）复势的应用（3）用共形映射研究平面场2考试基本要求（1）了解复势的概念和平面向量场（2）了解复势的应用（3）了解用共形映射研究平面场第八章 傅里叶变换1考试涉及内容（1）傅里叶变换的概念（2）单位冲激函数（3）傅里叶变换的性质2考试基本要求（1）正确理

10、解傅里叶变换的概念，会求函数的傅里叶变换（2）掌握单位脉冲函数及其傅里叶变换（3）理解傅里叶变换的性质（4）会用MATLAB求函数的傅里叶变换及其逆变换第九章 拉普拉斯变换1考试涉及内容（1）拉普拉斯变换的概念（2）拉氏变换的性质（3）拉普拉斯逆变换（4）拉氏变换的应用及综合举例2考试基本要求（1）理解拉普拉斯变换的概念、拉普拉斯变换的性质（2）会求拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换（3）了解卷积的概念及卷积定理（4）了解用拉普拉斯变换求解微分方程的方法（5）会用MATLAB求函数的拉普拉斯变换及其逆变换四、主要教材及参考书教材：复变函数与积分变换，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2003.参考

11、教材：1复变函数，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社，1994.2积分变换，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.3复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2003.4复变函数论，钟玉泉编，高等教育出版社（第二版）,2004.5复变函数与积分变换辅导讲案, 李建林, 西北工业大学出版社,2007. 6复变函数与积分变换全析精解, 李建林, 西北工业大学出版社,2005.7复变函数与积分变换(导教,导学,导考)，李建林,工业大学出版社(第三版),2006.8复变函数论方法，拉普伦捷夫，沙巴特普，人民教育出版社,1956.9复变函数引论，普里瓦诺夫著，高等教育出版社（第一版），1956.10复变函数教程，方企勤，北京大学出版社社，1996.11新编复变函数题解，孙清华，赵德修编，华中科技大学出版社，2001.6