第十五章 虚位移原理优秀PPT.ppt

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1、在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚虚位移原理位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。第一页，本课件共有33页15-1约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功平面单摆例如例如：曲柄连杆机构1约束及其分类约束及其分类为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质点系为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质点

2、系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。方程。下面从不同角度对约束分类。第二页，本课件共有33页（1）几何约束和运动约束）几何约束和运动约束当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束运动约束。如图4，车轮作纯滚动。又如图3，质点M在固定曲面上运动，其曲面方程就是该质点的约束方程，即限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限制条件都是几何约束。几何约束运动约束第三页，本课件共有33页当约束条件与时间有关，并随时

3、间变化时，这类约束称为非定常约束非定常约束。如图，初始时摆长 l0,匀速v拉动绳子。则（2）定常约束和非定常约束）定常约束和非定常约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束定常约束。定常约束方程中不显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。该方程中显含时间t（3）其他约束）其他约束若约束方程中含有坐标对时间的导数，且方程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，这类约束称为非完整约束非完整约束。反之，若约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束。第四页，本课件共有33页完

4、整约束的一般形式为几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。如右图，刚性杆限制了质点M拉伸和压缩方向的位移，这类约束称为双侧双侧约束（或固执约束）约束（或固执约束）。若刚性杆改为绳，则只限制单一方向运动，该类约束称为单侧约束（或非固执约束）单侧约束（或非固执约束）。显然双侧约束方程为等式，单侧约束方程为不等式。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2 l2本章只讨论定常的双侧几何约束：式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。第五页，本课件共有33页某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移

5、虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。M2虚位移虚位移系统中质点在平衡时本来是不动的，但我们设想在约束允许条件下，给某质点一个任意的、极其微小的位移。实位移是在一定条件下真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；而虚位移仅与约束条件有关，在定常约束下，实位移只是所有靴位移中的一个，而虚位移可以有多个，甚至无穷多个。第六页，本课件共有33页而对于非定常约束，如图所示，由于实位移与时间有关，而虚位移是将时间固定后，约束允许的位移，此时实位移不再是虚位移之一。*质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方

6、法：(一一)几何法几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。(二二)解析法解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为第七页，本课件共有33页力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功虚功，记为 。3虚功虚功虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符号dW，但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可以有虚功。第八页，本课件共有33页例例1 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知

7、OC=BC=a，OA=l)解解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。1、几何法、几何法第九页，本课件共有33页将C、A、B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得2、解析法、解析法对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：第十页，本课件共有33页如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所做虚功的和等于零，称这种约束为为理想约束理想约束。质点系受有理想约束的条件：4理想约束理想约束*在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束，现从虚功的角度，这些约束也为理想约束。第十一页，本课件共有33页1）光滑支承面2）光滑铰链4）

8、无重刚杆。5）不可伸长的柔索。3）刚体的纯滚动*5自由度、广义坐标自由度、广义坐标一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2n)3n对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立坐标。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目自由度的数目，简称为自由度自由度。第十二页，本课件共有33页 通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标广义坐标。广义坐标的选择不是唯

9、一的。广义坐标可取线位移（x,y,z,s 等）也可取角位移（如,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、qk 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。第十三页，本课件共有33页例如例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。第十四页，本课件共有33页 例如例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度 取广义坐标，第十五页，本课件共有33页15-2 虚位移

10、原理虚位移原理如图，设一质点系静止平衡，任取一质点，则该质点也处于静止平衡状态，有若给质点系某虚位移，则作用与该质点上力的虚功之和为对质点系所有质点，都可以得到上面同样的等式，把这些等式相加，得如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和为零，即（15-1）第十六页，本课件共有33页所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚功原理，式（15-1）又称虚功方程。该方程也可写成解析式：（15-2）*上面的推导证明了虚位移原理的必要性，下面给出其充分性：充分性：即质点系满足 ，质点

11、系一定平衡。若 ，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。在 方向上产生实位移 ，取 ，则对质点系：而理想约束下与前题条件矛盾故 时质点系必处于平衡。第十七页，本课件共有33页*虚位移原理的应用虚位移原理的应用1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4、求平衡构架内二力杆的内力。虽然虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的功即可。第十八页，本课件共有33页例例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的

12、，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。解解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。第十九页，本课件共有33页1、几何法、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得虚功方程：由 的任意性，得第二十页，本课件共有33页 2、解析法、解析法 由于系统为单自由度，可取为广义坐标。由于 任意，故 第二十一页，本课件共有33页解解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，现用两种方法求解。例例2 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及。y第二

13、十二页，本课件共有33页应用虚位移原理，代入(a)式，得：解法一：解法一：第二十三页，本课件共有33页由于 是彼此独立的，所以：由此解得：第二十四页，本课件共有33页而代入上式，得解法二：解法二：先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。第二十五页，本课件共有33页 再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。而代入上式后，得：图示中：第二十六页，本课件共有33页例例3 多跨静定梁，求支座B处反力。解解：将支座B 除去，代入相应的约束反力 。第二十七页，本课件共有33页第二十八页，本课件共有33页例例4 滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅

14、直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M？解解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故可以用虚位移原理求解。第二十九页，本课件共有33页 选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。由虚位移原理，得：第三十页，本课件共有33页 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力

15、。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象：、正确选取研究对象：第三十一页，本课件共有33页 2、正确进行受力分析、正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦 力和待求的约束反力。3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。4、应用虚位移原理建立方程。、应用虚位移原理建立方程。5、解虚功方程求出未知数。、解虚功方程求出未知数。第三十二页，本课件共有33页第三十三页，本课件共有33页