正弦定理与余弦定理一.ppt

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1、5.95.9正弦定理与余弦定理（一）正弦定理与余弦定理（一）山口中学蒋世信12/4/2022回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？即正弦定理，定理对任意三角形均成立即正弦定理，定理对任意三角形均成立利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？探索发现探索发现12/4/2022jBjAC在在锐角锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 AC AC ，j 与与 CB的夹角为的夹角为 即即定理推导定理推导j AC+j CB=j ABj AC+j CB=j ABj AC

2、+j CB =j ABj AC +j CB =j AB)90cos()90cos(90cosAC-向量的数量积向量的数量积 ，为向量为向量a 与与b 的夹角的夹角 如何构造向量及等式？如何构造向量及等式？同理，过同理，过C作单位向量作单位向量 j 垂直于垂直于CB ，可得，可得则有则有则有则有 j j 与与与与 AC AC 的夹角为的夹角为的夹角为的夹角为 j 与与 AB的夹角为的夹角为 因为因为AC+CB=AB所以所以12/4/2022 在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？入单位向量？怎样取数量积？则有

3、则有j 与与 AB 的夹角为的夹角为 ，在钝角在钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于AC AC，jACB j 与与CB 的夹角为的夹角为 .同样可证得：同样可证得：由由由由AC+CB=ABAC+CB=AB12/4/2022 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角边和其中一边的对角，可

4、以求出三角形的其他的边和角.12/4/2022 例例1 在在 中，已知中，已知 ，求，求B B与与a,a,b.定理运用定理运用解：解：解：解：12/4/2022例例2 在在 中，已知中，已知 ，求，求 .解：由解：由 得得 在在 中中 A 为锐角为锐角 A B 12/4/2022解：解：解：解：例例例例 中中中中,a=2,a=2,求求求求b b与与与与B,C.B,C.ca,ca,CACA 或或或或当当当当 时时时时,当当当当 时时时时,12/4/2022ABCbaa=bsinA 一解ABB1CbaabsinAab两解ABCbaab 一解ABCbaabsin A无解（1）当）当A为锐角时（如下图

5、）为锐角时（如下图）12/4/2022（2）当A为直角或钝角时（如下图），CAbaACbaB12/4/2022（2）(2008北京北京)在在 中，若中，若 ,，则，则A等于等于()A B C D（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（）CC演练反馈演练反馈一选择题一选择题一选择题一选择题(3)(3)中中中中,a=2,a=2,则则则则b b等于等于等于等于()()A.4A.4B.2B.2C.2C.2或或或或D.2D.2或或或或D12/4/2022二二.不解三角形，判断三角形的个数不解三角形，判断三角形的个数(1)a5，b4，A120(2)a30，b30，A50(3)a7，b14

6、，A30(4)a9，b10，A60(5)a6，b9，A45(6)c50，b72，C135个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个12/4/2022(1)(1)通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量工具的作用法，同时了解了向量工具的作用法，同时了解了向量工具的作用法，同时了解了向量工具的作用.(2)(2)明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题.即：即：即：即：已知两边和其中一边所对的角已知两边和其中一边所对的角已知两边和其中一边所对的角已知两边和其中一边所对的角；两角一边两角一边两角一边两角一边.（一）课本习题（一）课本习题（一）课本习题（一）课本习题 5.9 25.9 2、3 3、4 4（二）预习课本余弦定理（二）预习课本余弦定理（二）预习课本余弦定理（二）预习课本余弦定理总结提炼总结提炼课后作业课后作业12/4/2022感谢领导和同行们的观赏感谢领导和同行们的观赏12/4/2022