概率论与数理统计第七章.ppt

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1、 第 七 章 参 数 估 计湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第 七 章 参 数 估 计第一节 矩 估 计第二节 极大似然估计第三节 估计量的优良性准则估计量的优良性准则第四节 正态总体的区间估计（一）第五节 正态总体的区间估计（二）总体是由总体分布来刻画的总体是由总体分布来刻画的.总体总体分布类型分布类型的判断的判断在实际问题中在实际问题中,我们根据问题本身的专业知识或以往的经验我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法或适当的统计方法,有时可以判断总体分布有时可以判断总体分布的类型的类型.总体分布的总体分布的未知参数未知参数的估计的估计总体分总体分布的参数

2、往往是未知的布的参数往往是未知的,需要通过样本来估需要通过样本来估计计.通过样本来估计总体的参数通过样本来估计总体的参数,称为参数估称为参数估计计,它是统计推断的一种重要形式它是统计推断的一种重要形式.本章讨论本章讨论:u 参数估计的常用方法参数估计的常用方法.u 估计的优良性准则估计的优良性准则.u 若干重要总体的参数估计问题若干重要总体的参数估计问题.例如例如 (1)(1)为了研究人们的市场消费行为为了研究人们的市场消费行为,我们要先搞清楚人们的收入状况我们要先搞清楚人们的收入状况.假设某城市人均年收入假设某城市人均年收入X X N(N(,2 2).但参数但参数 和和 2 2 的具体值并不

3、知道的具体值并不知道,需要需要通过样本来估计通过样本来估计.(2)(2)假定某城市在单位时间假定某城市在单位时间(譬如一譬如一个月个月)内交通事故发生次数内交通事故发生次数 X X P(P().).参数参数 未知未知,需要从样本来估计需要从样本来估计.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量).为为 F(x,)，其中其中

4、 为未知参数为未知参数(可以是可以是参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ）设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间1.57,1.84内，内，假如我们要估计某队男生的平均身高假如我们要估计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的样本，我们的任务是要根据选出的样本（的任务是要根据选出的样本（5个数）求出个数）求出总体均值总体均值 的估计的估计.而全部信息就由这而全部信息就由这5个个数组

5、成数组成.一、点估计概念及讨论的问题一、点估计概念及讨论的问题例例1 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据9,7,6,6.5,5,5.2,呢呢?据此据此,我们应如何估计我们应如何估计和和而全部信息就由这而全部信息就由这100个数组成个数组成.为估计为估计 ,我们需要构造出适当的样本我们需要构造出适当的样本的函数的函数T(X1,X2,Xn)，每当有了样本，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值就代入该函数中算出一个值,用来作为用来作为 的的估计值估计值.把样本值代入把样本值代入T(X1,X2,Xn)中，得中，得到到 的

6、一个点估计值的一个点估计值.T(X1,X2,Xn)称为参数称为参数的点估计量，的点估计量，二、二、寻求估计量的方法寻求估计量的方法1.矩估计法矩估计法2.极大似然法极大似然法3.最小二乘法最小二乘法4.贝叶斯方法贝叶斯方法这里我们主要介绍前面两种方法这里我们主要介绍前面两种方法.第 七 章第一节 矩 估 计其基本思想是其基本思想是用样本矩估计总体矩用样本矩估计总体矩.理论依据理论依据:矩是基于一种简单的矩是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方思想建立起来的一种估计方法法.是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出的最早提出的.大数定律大数定律记总体记总体k阶矩为阶矩为样

7、本样本k阶矩为阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法就称为矩估计法.记总体记总体k阶中心矩为阶中心矩为样本样本k阶中心矩为阶中心矩为 设总体设总体X的分布函数中含有的分布函数中含有k个未知参数个未知参数 步骤一步骤一、我们把总体我们把总体X X的的m m阶原点矩阶原点矩E(E(X Xm m)记为记为 a am m,m=1,2,m=1,2,k,k 一般地一般地,a am m(m=1,2,(m=1,2,k),k)是总体分布中是总体分布中的参数的参数 1 1,2 2,k k的函数的函数.故故应该把应该把a am m (m=1,2,(m=1,2,k

8、),k)记之为记之为:am(1,2,k)(m=1,2,k)方法方法步骤二、步骤二、算出算出m m阶样本原点矩阶样本原点矩:步骤三、步骤三、令令 am(1 1,2 2,k k)=A)=Am m (m=1,2,(m=1,2,k),k)得关于得关于 1 1,2 2,k k的的 方程组方程组步骤四、步骤四、解这个方程组解这个方程组,其解记为其解记为 它们就可以做为它们就可以做为 1 1,2 2,k k的估计的估计.这这样求出的估计叫做样求出的估计叫做矩估计矩估计.X X1 1,X,X2 2,X Xn n是独立同分布的是独立同分布的.X X1 1m m,X,X2 2m m,X Xn nm m也是独立同分

9、布的也是独立同分布的.于是有于是有:E(XE(X1 1m m)=E()=E(X X2 2m m)=)=E(=E(X Xn nm m)=E()=E(X Xm m)=a)=am m.根据大数定律根据大数定律,样本原点矩样本原点矩A Am m作为作为 X X1 1m m,X,X2 2m m,X Xn nm m的算术平均值依概率收敛到均的算术平均值依概率收敛到均值值a am m=E(=E(X Xm m).).即即:原理解释原理解释解解:由矩法由矩法,样本矩样本矩总体矩总体矩从中解得从中解得的矩估计的矩估计.即为即为数学期望数学期望是一阶是一阶原点矩原点矩 例例1 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为

10、是未知参数是未知参数,其中其中X1,X2,Xn是取自是取自X的样本的样本,求参数求参数 的矩估计的矩估计.解解:由密度函数知由密度函数知 例例2 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的矩估计的矩估计.具有均值为具有均值为 的指数分布的指数分布故故 E(X-)=Var(X-)=即即 E(X)=Var(X)=解得解得令令用样本矩估计用样本矩估计总体矩总体矩即即 E(X)=Var(X)=设总体的均值为设总体的均值为,方差为方差为 2 2,于是于是由此列出方程组由此列出方程组:例例3 3 均值均值,方差方差 2 2的矩估计的矩估计均值均值,方差方差 2 2

11、的矩估计是的矩估计是:例如例如 求求正态总体正态总体 N(N(,2 2)两个未知参两个未知参数数 和和 2 2的矩估计为的矩估计为总体总体均匀分布均匀分布 X X U(a,b).U(a,b).求求:两个参数两个参数a,ba,b的矩估计的矩估计 解解:又如又如 但是但是 由方程组求解出由方程组求解出a,ba,b的矩估计的矩估计:矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行,并不需要并不需要事先知道总体是什么分布事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息.一般场合下一般场合下,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一

12、性.其主要原因在于建立矩法方程时，其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性一定的随意性.稍事休息稍事休息 第七章第二节 极大似然估计极大似然法极大似然法 是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种种参数估计方法参数估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的,GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇.费歇费歇在在1922年重新发现了年重新发现了 这一方法，并首先研究了这这一方法，并首先研究了这 种方法的一些

13、性质种方法的一些性质.极大似然法的基本思想极大似然法的基本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一某位同学与一位猎人一起外出打猎起外出打猎.如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下.你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率概率一般大于这位同学命中的概率.看来这看来这一枪是猎人射中的一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想然法

14、的基本思想.极大似然估计原理：极大似然估计原理：当给定样本当给定样本X1,X2,Xn时，定义时，定义似似然函数然函数为：为：设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本，的一个样本，样本的联合密度样本的联合密度(连续型）或联合概率函数连续型）或联合概率函数(离散型离散型)为为 f(X1,X2,Xn;).f(X1,X2,Xn;)似然函数：似然函数：极大似然估计法就是用使极大似然估计法就是用使 达到最达到最 大值的大值的 去估计去估计 .称称 为为 的极大似然估计（的极大似然估计（MLE）.看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多将以多大可能产生样本值大可能产生样本值X1

15、,X2,Xn的一种度量的一种度量.f(X1,X2,Xn;)(4)在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中,用样本值代入用样本值代入 就得参数的极大似然估计值就得参数的极大似然估计值.求极大似然估计求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合概率函数由总体分布导出样本的联合概率函数 (或联合密度或联合密度);(2)把样本联合概率函数把样本联合概率函数(或联合密度或联合密度)中自变中自变 量看成已知常数量看成已知常数,而把参数而把参数 看作自变量看作自变量,得到得到似然函数似然函数L();(3)求似然函数求似然函数L()的最大值点的最大值点(常常转化常常转化

16、为求为求ln L()的最大值点的最大值点)，即，即 的的MLE;两点说明：两点说明：1、求似然函数、求似然函数L()的最大值点，可以应的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于用微积分中的技巧。由于ln(x)是是x的增函的增函数，数，lnL()与与L()在在 的同一值处达到的同一值处达到它的最大值，假定它的最大值，假定 是一实数，且是一实数，且lnL()是是 的一个可微函数。通过求解所谓的一个可微函数。通过求解所谓“似似然方程然方程”：可以得到可以得到 的的MLE.若若 是向量，上述方程必须用似然方程是向量，上述方程必须用似然方程组代替组代替.2、用上述求导方法求参数的、用上述求导方法求参数的M

17、LE有时有时行不通，这时要用极大似然原则来求行不通，这时要用极大似然原则来求.两点说明：两点说明：下面举例说明如何求极大似然估计下面举例说明如何求极大似然估计L(p)=f(X1,X2,Xn;p)例例1 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 XB(1,p)的的一个样本，求参数一个样本，求参数p的极大似然估计的极大似然估计.解：似然函数为解：似然函数为:对数似然函数为：对数似然函数为：对对p求导并令其为求导并令其为0，=0得得即为即为 p 的的MLE.正态总体正态总体 N(N(,2 2)两个未知参数两个未知参数 和和 2 2的极大似然估计的极大似然估计.(.(注注:我们把我们把 2 2看作一个

18、参数看作一个参数)解解:例例2 2 似然方程组为似然方程组为根据第一式根据第一式,就得到就得到:代入第二式代入第二式,就得到就得到:由上由上,似然方程组的解唯一似然方程组的解唯一.下面验证下面验证它是极大值点它是极大值点.是是L(L(,2 2)的的最大值点最大值点.和和 2 2的极大似然估的极大似然估计量是计量是 总体 泊松分布 X P().求:参数的极大似然估计.解解:例例3似然方程为 是logL()的最大值点.的极大似然估计量是 总体均匀分布 X U(a,b).求:两个参数a,b的极大似然估计 解解:例例 4 4 我们由上看到我们由上看到,L(a,b)L(a,b)作为作为a a和和b b的

19、二元函的二元函数是不连续的数是不连续的.所以所以我们不能用似然方程组来求我们不能用似然方程组来求极大似然估计极大似然估计,而必须从极大似然估计的定义出而必须从极大似然估计的定义出发发,求求L(a,b)L(a,b)的最大值的最大值.为使为使L(a,b)L(a,b)达到最大达到最大,b ba a应该尽量地小应该尽量地小.但但 b b 又不能小于又不能小于maxxmaxx1 1,x,x2 2,x xn n .否则否则,L(a,b)=0.L(a,b)=0.类似地类似地a a不能大过不能大过minxminx1 1,x,x2 2,x,xn n.因此因此,a a和和b b的极大似然估计为的极大似然估计为解：

20、似然函数为解：似然函数为对数似然函数为对数似然函数为例例5设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本求求 的极大似然估计的极大似然估计.其中其中 0,求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得即为即为 的的MLE.对数似然函数为对数似然函数为解：似然函数为解：似然函数为 例例6 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其中其中 0,求求 的极大似然估计的极大似然估计.i=1,2,n对数似然函数为对数似然函数为解：似然函数为解：似然函数为i=1,2,n=0 (2)由由(1)得得=0 (1)对对 分别求偏导并令其为分别求偏导并令其为0,对数似然函数为对

21、数似然函数为用求导方法无法最终确定用求导方法无法最终确定用极大似然原则来求用极大似然原则来求.是是对对故使故使 达到最大的达到最大的 即即 的的MLE，于是于是 取其它值时，取其它值时，即即 为为 的的MLE.且是且是 的增函数的增函数由于由于 第七章第三节估计量的优良性准则估计量的优良性准则 从前面两节的讨论中我们看到从前面两节的讨论中我们看到:u 有时候同一个参数可以有几种不同有时候同一个参数可以有几种不同的估计方法的估计方法,这时就存在采用哪一个估计这时就存在采用哪一个估计的问题的问题.u 另一方面另一方面,对一个参数对一个参数,用矩法和极用矩法和极大似然法这两种方法即使得到的是同一种大

22、似然法这两种方法即使得到的是同一种估计估计,也存在一个衡量这个估计优劣的问也存在一个衡量这个估计优劣的问题题.估计量的优良性准则讨论的就是估计量的优良性准则讨论的就是:评价一个估计的标准问题评价一个估计的标准问题.假设总体分布的参数为假设总体分布的参数为.对对 一切可能的一切可能的 成立成立,则称则称一、一、无偏性无偏性 是是 的一个估计的一个估计.注意注意!它是一个统计量它是一个统计量.从而是随机变量从而是随机变量.对于样本对于样本X X1 1,X,X2 2,X Xn n不同的取值不同的取值,它也会它也会取不同的值取不同的值.如果如果 的均值等于未知参数的均值等于未知参数,即即为为 的无偏估

23、计的无偏估计.去估计未知参数,有时候可能偏高,有时候可能偏低,但是平均来说它等于.“一切可能的”是指该参数估计问题中,参数取值范围内的一切可能的值.我们之所以要求对一切可能的都成立,是因为在该参数估计问题中,我们并不知道参数的真值.自然要求它在参数的一切可能取值范围内都成立:无偏性的意义是,用一个估计量J 说明说明 设X1,X2,Xn为抽自均值为的总体X的样本,考虑的估计量:我们举例体会怎样把握“一切可能的”.例如:若指的是正态总体N(,2)的均值,那么,它的一切可能取值范围是(-,).若指的是方差2,则它的一切可能取值范围是(0,).例例1 1 设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,Xn为

24、来自该总体的样本,依第六章所讲取其样本均值和样本方差:即样本均值和样本方差是和2的无偏估计.l定理定理证明证明:求证:样本标准差S不是总体标准差的无偏估计.证明证明:J 注意注意例例 7.3.27.3.2E(S2)=2 就是Var(S)+E(S)2=2Var(S)0 E(S)2=2-Var(S)2 E(S).即:一般说S不是的无偏估计.用估计量 去估计,其误差为:它随样本X1,X2,Xn的值而定,也是随机的,即:二、二、均方误差准则均方误差准则 是随机变量 由于它是随机变量,我们通常是通过对它求均值来看看误差有多大.我们要注意:为了防止求均值时正误差和负误差相互抵消,我们先将其平方再求均值,并

25、将其称为均方误差,记为MSE(),即 这时两个估计中哪一个估计的均方误差小,我们就把哪一个估计看作比较优,这种判定估计量的准则叫均方误差准则.均方误差能够分解成两部分:l均方误差准则均方误差准则证明证明:J 说明说明 上式表明,均方误差由两部分构成:第一部分是估计量的方差.注意:如果一个估计量是无偏的,则第二部分是零.即有:第二部分是估计量的偏差的平方.方差准则方差准则 如果限定在无偏估计里考虑问题,这时两个估计中哪一个估计的方差小,我们就把哪一个估计看作比较优,这种判定估计量的准则叫方差准则.设X1,X2,Xn为抽自均值为的总体,考虑的如下两个估计:我们看到:显然两个估计都是的无偏估计.再计

26、算其方差:例例3 3 表示去掉第个样本式后,对其余n-1个样本所求的样本均值.这表明,当我们用样本均值去估计总体均值时,使用全体样本总比不使用全体样本要好.第七章第四节正态总体的区间估计 （一）引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计.它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大.区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计

27、湖中鱼数的问题中，若譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极的极大似然估计为大似然估计为1000条条.若我们能给出一个区间，在此区间若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信内我们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参相信它包含真参数值数值.湖中

28、鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作，这里，这里 是一个是一个很小的正数很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能置信水平为置信水平为 的的置信区间，其中置信区间，其中 为两个统计量为两

29、个统计量.称区间称区间 为为 的的 寻找置信区间的方法寻找置信区间的方法,一般是从确定一般是从确定误差限误差限入手入手.使得使得称称 为为 与与 之间的误差限之间的误差限.我我们们选选取取未未知知参参数数的的某某个个估估计计量量 ，根根据置信水平据置信水平 ，可以找到一个正数，可以找到一个正数 ，只要知道只要知道 的概率分布，确定误差限并不难的概率分布，确定误差限并不难.下面我们就来正式给出置信区间的定义下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法并通过例子说明求置信区间的方法.由不等式由不等式可以解出可以解出 ：这个不等式就是我们所求的置信区间这个不等式就是我们所求的置

30、信区间.前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分前面已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要复习一下要复习一下.在求置信区间时，要查表求分位数在求置信区间时，要查表求分位数.设设0 1,对随机变量对随机变量X，称满足称满足的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数.例如例如:标准正态分布的标准正态分布的上上 分位数分位数例如例如:分布的上分布的上 分位数分位数自由度为自由度为n的的F分布的上分布的上 分分位数位数自由度为自由度为n1,n2的的 书书末末附附有有 分分布布、t 分分布布、F分分布布的的上上侧侧分

31、分位位数数表表，供供使使用用.需需要要注注意意的的事事项项在在教教材上有说明材上有说明.至于如何由标准正态分布函数表查表至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决话，这个问题不难解决.现在回到置信区间题目上来现在回到置信区间题目上来.一、一、置信区间定义：置信区间定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信水平置信水平（置信度、（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间.分别称为置信下限

32、和置信上限分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)(X1,Xn)(X1,Xn)2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估

33、计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.N(0,1)选选 的点估计为的点估计为求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.（1）设）设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，二、置信区间的求法二、置信区间的求法 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解：寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.对给定的置信水平对给定的置信

34、水平查正态分布表得查正态分布表得对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率),根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间,使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平.使使为什么为什么这样取这样取？对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得使使从中解得从中解得也可简记为也可简记为于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 从解题的过程，我们归纳出求置信区从解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下间的一般步骤如下:1.明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平置信水平 是多少是多少?2.寻找参数寻找参数

35、 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn)3.寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量T的函数的函数 S(T,),且其分布为已知且其分布为已知.4.对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T,)的分布，确定常数的分布，确定常数a,b，使得使得 P(a S(T,)b)=5.对对“aS(T,)b”作等价变形作等价变形,得到如得到如下下形式形式:则则 就是就是 的的100()的置信区间的置信区间.这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的情形的情形.若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总

36、体的近未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.某工厂生产的零件长度某工厂生产的零件长度X X被认为服从被认为服从N(N(,0.04,0.04),现从该产品中随机抽取现从该产品中随机抽取6 6个个,其长度的其长度的测量值如下测量值如下(单位毫米单位毫米):):14.6,15.14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求求:该零件长度的置信系数为该零件长度的置信系数为0.950.95的区间估的区间估计计.n=6,n=6,=0.05,Z=0.05,Z/2/2=Z

37、=Z0.0250.025=1.96=1.96 2 2=0.2=0.22 2.解解:例例1 1(2)已知已知因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数使使即即先求均值先求均值 的区间估计的区间估计:1、均值均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.即为即为从中解得从中解得由于由于从中解得从中解得2 求方差求方差 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 使使于是于是 即为所求即为所求.为了估计一件物体的重量为了估计一件物体的重量,将其称了将其称了1 1O O次次,得到的重量得到的重量(

38、单位：千克单位：千克)为为:10.10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.910.2,1O.3,9.9 设所称出的物体重量设所称出的物体重量X X服从服从N(N(,2 2).).求求:该物体重量该物体重量 的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置信区间解解:例例2 2 n=10,n=10,=0.05,=0.05,t t10-110-1(/2)=t/2)=t9 9(0.025)=2.2622(0.025)=2.2622 求求:2 2的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置

39、信区间.解解:例例3(续例续例2)2)n=10,n=10,=0.05,S=0.05,S2 2=0.0583,=0.0583,查附表得查附表得:三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间

40、叫限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.称为单侧置信下限称为单侧置信下限.又若统计量又若统计量 满足满足则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.称为单侧置信上限称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.

41、95的单侧置信下限的单侧置信下限.例例4 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差由于方差 未知，取枢轴量未知，取枢轴量解：解：的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位数，确定分位数使使即即于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间为信区间为 将样本值代入得将样本值代入得的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为即即 同学们可通过练习，掌握各种求未知同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的参数的 置信区间的具体方法置信区间的具体方法.这一讲，我们介绍了区间估计这一讲，我们介绍了区间估计.