清华大学微积分高等数学课件第讲函数极限.ppt

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1、作业作业P34习题习题2.1 3(2)(3).P39习题习题2.2 1(2)(3).2(2)(6)(9)(13).3(1)预习：P404912/5/20221第二讲第二讲 函数极限函数极限一、函数极限一、函数极限二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则四、两个重要极限四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量12/5/20222极限的重要性极限的重要性（1）极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2）极限是一种概念）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了

2、解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求12/5/20223函数极限问题是研究当自变量函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限一、函数的极限趋向于趋向于的变化趋势的变化趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数（两种基本变化趋势）两种基本变化趋势）趋向于一点趋向于一点(一一)自变量的变化自变量的变化 趋向于无穷趋向于无穷12/5/20224定义定义1：（二）函数极限的定义（二）函数极限的定义1.函数在一点的极限函数在一点的极限12/5/20225注意注意考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域

3、，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。例例112/5/20226例例212/5/20227定义定义2：（左、右极限）（左、右极限）12/5/20228一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？例例观察图形观察图形问题：问题：12/5/202292.函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限定义定义3：类似的可定义类似的可定义或或12/5/202210例如例如12/5/202211定义定义4：3.函数极限的精确定义函数

4、极限的精确定义12/5/202212二、函数极限的性质二、函数极限的性质性质性质2:（有界性）（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界函数极限如果存在，则函数一定有界.性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的函数极限如果存在，则一定是唯一的.12/5/202213性质性质3:（保号性）（保号性）性质性质412/5/202214（一）四则运算定理（一）四则运算定理注注：表示表示的任一种趋向的任一种趋向.三、极限的运算法则三、极限的运算法则12/5/202215（二）复合函数的极限定理（二）复合函数的极限定理注注意意例如：例如：12/5/202216（三）夹逼定理（三）夹

5、逼定理:（四）（四）初等函数的极限初等函数的极限12/5/202217四、两个重要极限四、两个重要极限1.2.12/5/202218利用夹逼定理利用夹逼定理考虑不等式考虑不等式即证明证明亦即12/5/202219将（1）式与（2）式结合起来，得到有有12/5/202220即12/5/202221定义定义1 1：在某个变化过程中在某个变化过程中,极限为零极限为零 的函数的函数,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量（一）定义一）定义例如：例如：注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！12/

6、5/202222定义定义2 2：在某个变化过程中在某个变化过程中,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。12/5/202223例例12/5/202224（二）无穷小与无穷大的性质（二）无穷小与无穷大的性质性质性质1：注意：注意：性质性质1只可以推广到有限个函数只可以推广到有限个函数例例12/5/202225性质性质3：性质性质2：12/5/202226 例例 例例12/5/2022271.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）（三）三个重要关系三）三个重要关系12/5/2022283.无穷大与无界函数无穷大与无界函数问题：问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？两个无穷小量的商是否为无穷小量？12/5/202229