清华微积分高等数学第五讲导数与微分一.ppt

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1、P59 习题习题3.1 3.1 作作 业业 预习预习P60 67.P70 78 8.9(3)(6).11(2)(6).12.13.12/5/20221第五讲第五讲 导数与微分（一）导数与微分（一）二、导数定义与性质二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式一、引言一、引言三、函数的微分三、函数的微分四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系12/5/20222一、引言一、引言两个典型背景示例两个典型背景示例 例例1 1 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设设汽车汽车沿沿t轴作直线运动轴作直线运动,若己知其运动若己知其运动规律规律(路程与时间的函数关系路程与时

2、间的函数关系)为为求在时刻求在时刻 的瞬时速度的瞬时速度.12/5/20223解解 如果如果极限极限存在存在,这个极限值就是质点的这个极限值就是质点的瞬时速度瞬时速度.12/5/20224 例例2 2 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？12/5/2022512/5/2022612/5/20227二、导数定义与性质二、导数定义与性质1.导数定义：导数定义：12/5/20228注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：12/5/20229注意注意2 导数的意义：导数的意义：物理意义物理意义几何意义几何意义 导数是函数在一点的变化率导数是函数在一点的变化率

3、12/5/202210例例:线密度问题线密度问题12/5/202211左导数左导数右导数右导数2.单侧导数定义：单侧导数定义：定理：定理：12/5/2022123.导函数定义：导函数定义：12/5/202213三、函数的微分三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来导数是从函数对自变量变化的速度来研究研究;而微分则是直接研究函数的增量，而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。这有许多方便之处。（一）函数的微分的定义（一）函数的微分的定义12/5/20221412/5/202215四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系定理定理1:函数可微与可导是等价的函数可微与可导是

4、等价的12/5/202216证证 (1)12/5/202217证证 (2)12/5/202218定理定理2：证证注意注意 可导必连续可导必连续,连续不一定可导！连续不一定可导！12/5/202219解解12/5/202220尖点尖点12/5/202221解解有铅垂切线有铅垂切线12/5/202222解解振荡振荡不存在不存在！12/5/20222312/5/202224 微分的几何意义微分的几何意义微分三角形微分三角形12/5/20222512/5/202226五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式12/5/20222712/5/202228微分基本公式微分基本公式12/5/2022295.利用定义求导的例子利用定义求导的例子解解12/5/202230解解12/5/202231解解12/5/202232解解12/5/202233问题：如何求其他函数的导数？问题：如何求其他函数的导数？基本导数公式基本导数公式导数运算法则导数运算法则其他基本初等函数其他基本初等函数初等函数初等函数 四则四则复合复合反函数反函数隐函数隐函数参数方程参数方程对数微分法对数微分法12/5/202234