清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一.ppt

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1、作业作业 P227 习题习题 8.1 1(2)(4)(6)(8).4.P236 习题习题 8.2 1(2)(4)(6).12/5/20221 第二十一讲第二十一讲 简单常微分方程简单常微分方程(一一)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程12/5/20222 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量学及工程技术提出大量需要寻求函数需要寻求函数关系关系的问题。在这些问题中，函数关的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到题的条件和某些

2、物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即系式，即微分方程微分方程，然后由微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。和某些已知条件把未知函数求出来。一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念12/5/20223重力重力切向分力切向分力解解12/5/20224根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,得得到到注意到注意到从而有从而有微分方程微分方程初始条件初始条件定解条件定解条件定定解解问问题题12/5/20225 定义定义1:含有未知函数的导数含有未知函数的导数的方程的方程 称为称为微分方程微分方程.未知函数是未知函数是一元函数一元函数,

3、含有未知函数的含有未知函数的导导数数的微分方程称为的微分方程称为常微分方程常微分方程.未知函数是未知函数是多元函数多元函数,含有未知函数的含有未知函数的偏导数偏导数的微分方程称为的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.例如例如12/5/20226例如例如二阶二阶 未知函数的导数的最高阶数称为未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.定义定义2:(微分方程的阶微分方程的阶)12/5/20227 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为方程称为线性微分方程线性微分方程.定义定义3:(线性与非线性线性与非线性)12/5/20228定义定义4:(微分

4、方程的微分方程的解解)称为微分方程的称为微分方程的通解通解.微分方程的微分方程的通解：通解：12/5/2022912/5/202210微分方程的微分方程的特解：特解：一个常微分方程的一个常微分方程的满足定解条件满足定解条件的解的解称为微分方程的称为微分方程的特解特解通解有时也写成通解有时也写成隐式形式隐式形式称为微分方程的称为微分方程的通积分通积分12/5/20221112/5/202212有有n n个个定解条件定解条件12/5/202213 定义定义5:(积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族)积分曲线族积分曲线族12/5/202214二、二、一阶常微分方程的一阶常微分方程的 初等积分法

5、初等积分法所谓初等解法所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解就是用不定积分的方法求解常微分方程常微分方程.初等解法只适用于若干非常简单的一阶常初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分以及某些特殊类型的二阶常微分方程方程.12/5/202215(一一)变量可分离型变量可分离型(三三)一阶线性方程一阶线性方程(二二)可化为可化为可分离变量可分离变量(五五)全微分方程全微分方程(四四)伯努利伯努利(Bernoulli)方方程程(六六)积分因子积分因子12/5/202216两边积分两边积分通解通解分离变量分离变量这两个方程的共同特点这两个方程的共同特点是变量可

6、分离型是变量可分离型(一一)分离变量法分离变量法12/5/202217(1)(1)解解 两边积分两边积分分离变量分离变量即即12/5/202218(分离变量时分离变量时,这个解被丢掉了这个解被丢掉了!)!)于是得到方程于是得到方程通解通解12/5/202219(2)解解分离变量分离变量两端积分两端积分,得得通解通解奇异解奇异解12/5/202220(二二)可化为可化为可分离变量可分离变量这两个方程的共同特点是这两个方程的共同特点是什麽什麽?可化为可化为齐次型方程齐次型方程12/5/202221求解方法求解方法这是什麽这是什麽方程？方程？可分离变可分离变量方程！量方程！12/5/202222分离

7、变量分离变量两端积分两端积分12/5/202223取指数并且脱去绝对值取指数并且脱去绝对值由此又得到由此又得到通解通解12/5/20222412/5/202225两端积分两端积分得得通解通解12/5/20222612/5/202227(三三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程12/5/202228性质性质1：性质性质2：性质性质3：12/5/202229性质性质4：性质性质5：12/5/202230(1)如何解齐次方程？如何解齐次方程？非非齐齐次次齐齐次次可分离型！可分离型！标准形式：标准形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程12/5/202231分离变量分离变量是是p(x)

8、一个原函数不一个原函数不是不定积分！是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意：注意：齐次通解的结构：齐次通解的结构：12/5/202232(2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)的解具有形式的解具有形式将这个解代入将这个解代入(1),经计算得到经计算得到12/5/202233化简得到化简得到即即12/5/202234积分积分从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解非齐次通解非齐次通解或或12/5/202235非齐次通解的结构：非齐次通解的结构：特解特解非齐次特解非齐次特解12/5/20223612/5/202237这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y)x=x(y)的一阶线性方程！的一阶线性方程！解解 变形为：变形为：第一步第一步:先求解齐次方程先求解齐次方程齐次方程通解是齐次方程通解是12/5/202238第二步第二步:用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简代入方程并计算化简积分得积分得通解通解12/5/202239