文科经管类微积分微积分(上)总复习.ppt

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1、一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续二、导数与微分二、导数与微分微微积积分分（上）总复习（上）总复习三三、导数的导数的应用应用四四、不定积分不定积分一、函数、极限、连续1.函数 定义定义:定义域 值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性 复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如例如.函数函数函数函数基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数上页下页铃结束返回首页 设函数y=f(x)在区间I上有定义,x

2、1及x2为区间I上任意两点,且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.下页2 极限3 极限存在准则及极限运算法则4.无穷小无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限两个重要极限 等价无穷小代换5.连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点例例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示提示:有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.设函数试确定常数 a 及 b.主要内容主要内容（

3、一）导数与微分的概念（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算（二）导数与微分的运算第二章第二章 导数与微分导数与微分微积分微积分微积分微积分(上上上上)期末复习课件期末复习课件期末复习课件期末复习课件导导数数的的概概念念导数的定义导数的定义几何意义几何意义可导与连续可导与连续的关系的关系函数可导一定连续，函数可导一定连续，但连续不一定可导但连续不一定可导.高阶导数的定义高阶导数的定义记作记作二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.导导数数的的运运算算求导法则求导法则和、差、积、商和、差、积、商的求导法则的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则初等函数初等

4、函数的求导的求导分段点要分段点要分别分别求导求导基本初等函数基本初等函数或分段函数的或分段函数的导数导数特殊求导特殊求导方法方法隐函数求导隐函数求导隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直用复合函数求导法则直用复合函数求导法则直用复合函数求导法则直接对方程两边求导接对方程两边求导接对方程两边求导接对方程两边求导.对数求导法对数求导法方法方法方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数求出导数求出导数.微微分

5、分可微的条件可微的条件可微的条件可微的条件微分的求法微分的求法微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性微分形式的不变性近似计算的近似计算的近似计算的近似计算的基本公式基本公式基本公式基本公式函数增量的近似值函数增量的近似值函数的近似值函数的近似值2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分3 3、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则第二章第

6、二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分(2)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(3)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分(4)(4)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.5 5、微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分

7、公式第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则8 8、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分二、典型例题例例1 1解解第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分例例2 2解解第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分目录目录后退后退主主页页退退出出本章的重点与难点本章的目的与要求本章的复习指导例例3 3解解两边取对数两边取对数第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分目录目录后退后退主主页页退退出出本章的重点与难

8、点本章的目的与要求本章的复习指导第二章第二章 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分2.2.需求对价格的弹性需求对价格的弹性定义：设某商品的市场定义：设某商品的市场需求量为需求量为Q Q，价格为，价格为P P，需求函数为需求函数为Q=Q(P)Q=Q(P)可导，则称可导，则称为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为通常记为主要内容主要内容重要理论重要理论重要理论重要理论-中值定理中值定理中值定理中值定理导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用-洛比达法则洛比达法则洛比达法则洛比达法则应用导数研究讨论函数性质

9、及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用三、三、中值定理中值定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导若(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式应用：(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明方程有解(存在满足方程)方方方方法法法法导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用导数在求极限中的应用-洛比达法则洛比达法则洛比达法则洛比达法则函函函函数数数数的的的的性性性性质质质质单单

10、调调性性单调性的判别法单调性的判别法单调区间的求法单调区间的求法函函数数极极值值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法函函数数最最值值最值存在判别法最值存在判别法函数最值的求法函数最值的求法曲曲线线凹凹凸凸性性曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法上凹上凹下凹下凹拐点拐点(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值连续函数的极值连续函数的极值可导函数单调性判别可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值

11、值拐拐点点上凹的上凹的驻点驻点单增单增单减单减应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形应用导数研究讨论函数性质及作图形例例1.设且 证明至少存在一点使解解:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设上页下页铃结束返回首页故由于证证证证只要证从而利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式 例例8 证明多项式证明多项式 在在 上不可能有两个零点上不可能有两个零点.分析分析:反证法反证法 由罗尔定理由罗尔定理矛盾矛盾设有两个零点设有两个零点例13例例5 5证：证：综上所述综上所述,当当 x 0 时时,总有总有 e x 1+x

12、令令 f(x)=e x(1+x)则则 f (x)=e x1当当 x 0 时时,f (x)0,f(x)在在 0,+)为增函数为增函数即即 e x 1+x f(x)f(0)=0.当当 x 0 时时,f (x)1+x f(x)f(0)=0.利用函数的单调性证明不等式：利用函数的单调性证明不等式：例例4 4证证因此因此,例例解解奇函数奇函数作图作图极大极大值值拐点拐点极小值极小值主要内容主要内容第四章第四章 不定积分不定积分不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分的概念不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型不定积分计算方法及类型基本要求：正确进行不定积分的计算基本

13、要求：正确进行不定积分的计算基本要求：正确进行不定积分的计算基本要求：正确进行不定积分的计算不不定定积积分分的的概概念念与与性性质质不不定定积积分分的的概概念念原函数原函数不定积分的定义不定积分的定义基本积分表基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式式得出积分公式.不不定定积积分分的的性性质质不不定定积积分分计计算算方方法法及及类类型型直接积分法直接积分法直接积分法直接积分法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法被积函数进行恒等变形，使用基本积分表计算不定积分的方法换元积分法换元积分法换元积分法换元积分

14、法第一类换元法第一类换元法第一类换元法第一类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式分部积分公式分部积分公式特殊类型函数特殊类型函数特殊类型函数特殊类型函数的积分法的积分法的积分法的积分法有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分拆项法拆项法.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号.三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换（凑微分法）

15、（凑微分法）例例7 7解：解：倒代换倒代换或解：或解：例例7 7例例.求下列不定积分求下列不定积分:(分部分部)(根式代换根式代换)(拆项拆项法或法或倒代换倒代换)(拆项拆项法法)令则(分部分部)(分部分部)(配方配方)(凑微分凑微分)上页下页铃结束返回首页分母可因式分解的真分式的不定积分分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分.例例1.解解:6ln|x 3|5ln|x 2|C.下页例34 求解:分母是二次质因式的不定积分分母是二次质因式的不定积分 解解:求求分母是二次质因式的真分式的不定积分分母是二次质因式的真分式的不定积分