中国矿业大学周圣武概率论与数理统计4第四章随机变量的数字特征-2教学内容.ppt

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1、周周 圣圣 武武概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)(sh l tn j)Tel:13852138385 E-mail:中国矿业大学中国矿业大学 理学院理学院第一页，共31页。第三章 4.2 方方 差差 2.方差方差(fn ch)的性质的性质 1.方差方差(fn ch)的定义的定义 3.几种重要分布几种重要分布(fnb)的方差的方差 第二页，共31页。上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字的数字(shz)特征特征.但是但是(dnsh)

2、在一些场合，仅仅知道平均值在一些场合，仅仅知道平均值是不够的是不够的.第三页，共31页。例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量(cling)10次，将测量次，将测量(cling)结果结果X用坐标上的点表示如图：用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价若让你就上述结果评价(pngji)一下两台一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量测量(cling)结结果的均值都是果的均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪

3、器的测量结果集中在均值附近第四页，共31页。又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击(shj)10发炮弹，其落点距目标的位置如图：发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击你认为哪门炮射击(shj)效果好一些呢效果好一些呢?甲炮射击甲炮射击(shj)结果结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心第五页，共31页。由此可见由此可见,研究随机变量与其研究随机变量与其(yq)均值的偏离程度是十均值的偏离程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程

4、度呢?容易看到容易看到这个数字特征这个数字特征(tzhng)就是我们这一讲要介绍的就是我们这一讲要介绍的方差方差(fn ch)通常用通常用来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.合理合理,但是存在正负相消，不可行但是存在正负相消，不可行.带绝对值的运算，不利于分析带绝对值的运算，不利于分析.第六页，共31页。方差方差(fn ch)(fn ch)的算术平方根的算术平方根为为X X的方差的方差(fn ch)(fn ch)。定定义义(dngy)(dngy)设设X X 是是一一个个随随机机变变量，若量，若存在，则称存在，则称称为称为均方差均方差或或标准差标准差。1.

5、方差的概念方差的概念第七页，共31页。注意注意(zh y)：是关于是关于(guny)随机变量随机变量X 的函的函数数的数学的数学(shxu)期望。期望。离散型离散型 已知已知X 分布律分布律连续型连续型 已知已知X 的概率密度的概率密度第八页，共31页。命题命题 计算计算(j sun)方差的简便公式方差的简便公式 方差描述方差描述(mio sh)了了X 的取值与的取值与E(X)的偏离的偏离程度。程度。证明证明(zhngmng)第九页，共31页。解解 比较比较(bjio)量个人射击的平均环数，甲的平均环数为量个人射击的平均环数，甲的平均环数为 例例1 1X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.

6、5 甲、乙两人射击甲、乙两人射击(shj)，他们的射击，他们的射击(shj)水平由下表给出：水平由下表给出：试问那个试问那个(n ge)人的射击水平较高？人的射击水平较高？X：甲击中的环数甲击中的环数 Y：乙击中的环数乙击中的环数 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 9.2(环环)乙的平均环数为乙的平均环数为9.2(环环)第十页，共31页。从平均从平均(pngjn)环数上看，环数上看，甲、乙射击水平甲、乙射击水平(shupng)是一样的。是一样的。但两人射击但两人射击(shj)环数的方差分别为：环数的方差分别为：这表明这表明乙的射击水平比甲稳定乙的射击水平比甲稳定。第十一页，共31页

7、。例例2 2解解第十二页，共31页。1.1.设设C C是常数是常数(chngsh),(chngsh),则则D(C)D(C)=0;=0;2.2.若若C C是常数是常数(chngsh),(chngsh),则则 D(CX)=C D(CX)=C 2D(X);2D(X);2.2.方差方差(fn ch)(fn ch)的性质的性质 3.3.若若X与与Y 独立独立，则，则 若若X与与Y 独立独立，且，且a,b 是常数，则是常数，则第十三页，共31页。其中其中(qzhng)一般一般(ybn)(ybn)情况：若情况：若X1,X2,Xn X1,X2,Xn 相互独立相互独立,则则第十四页，共31页。分布分布期望期望方

8、差方差3 3常见常见(chn jin)(chn jin)分布的期望与方差分布的期望与方差第十五页，共31页。例例3 3设设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量随机变量,且且，则求随机，则求随机变量变量服从什么分布？服从什么分布？解解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然为正态随机变量的线性组合，所以仍然(rngrn)服从正服从正态分布态分布(fnb)，且其参数为，且其参数为故故第十六页，共31页。例例4 4设设 X,Y 是两个相互独立的且均服从正态分布是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量的随机变量,则求随机变量则求随机变量的数学的数学期望期

9、望解解 记记则则故故第十七页，共31页。例例5 5设设 X 的可能取值为的可能取值为且且，求，求 X 的分布律。的分布律。解解 设设 X 的分布的分布(fnb)律为律为所以所以(suy)第十八页，共31页。已知已知例例6求求的次数，的次数，对对X 独立观察独立观察 4 次，次，Y 表示表示X 的观察值大于的观察值大于解解 由题意由题意(t y)可知可知第十九页，共31页。例例7设设，且，且 求求 X 和和 Y 的联合分布律的联合分布律;求求 X+Y 的方差。的方差。解解 X,Y 的取值都为的取值都为-1和和1，则，则第二十页，共31页。X+Y 的分布的分布(fnb)律为律为第二十一页，共31页

10、。练习题练习题1.设设X1,X2,Xn相互独立，且都服从相互独立，且都服从(fcng)参数为参数为的指数分布，令的指数分布，令求求E(Y),E(Z),D(Y),D(Z)。2.P106：1，2，3第二十二页，共31页。3.设股票的价格设股票的价格(jig)St在适当的概率空间中的概率分布在适当的概率空间中的概率分布为为其中常数其中常数r0,0。以该股票为标的资产，执行价格为。以该股票为标的资产，执行价格为K的欧的欧式看涨期权式看涨期权(q qun)在当前时刻在当前时刻t的价值为的价值为求求Ct。第二十三页，共31页。4.设随机变量设随机变量X服从几何服从几何(j h)分布，概率分布为分布，概率分

11、布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,，求求 E(X),D(X)。0p1,第二十四页，共31页。5.第二十五页，共31页。附例附例 在在 0,1 0,1 中随机中随机(su j)(su j)地取两个地取两个数数 X,Y,X,Y,求求 D(min X,Y)D(min X,Y)解解110第二十六页，共31页。第二十七页，共31页。小结小结(xioji)这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍(jisho)了随机变量的方差了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字一个数字(shz)特征特征.下一讲，我们将介绍刻划两下一讲，我们将介绍

12、刻划两r.v间线性相关程度的一个重间线性相关程度的一个重要的数字特征：要的数字特征：协方差、相关系数协方差、相关系数第二十八页，共31页。问题问题 对于对于(duy)(duy)二维随机变量二维随机变量(X,Y):(X,Y):已知联合已知联合(linh)分布分布边缘边缘(binyun)分布分布 对二维随机变量对二维随机变量,除每个随机变量各自的概除每个随机变量各自的概率特性外率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系一个怎样的数去反映这种联系.第二十九页，共31页。若若X,Y相互相互(xingh)独立，独立，这项为零这项为零若这项不为零，则不相互独立，那么若这项不为零，则不相互独立，那么X与与Y之间存在之间存在(cnzi)什么关系？什么关系？第三十页，共31页。作作 业业P119：8，16，18第三十一页，共31页。