条件分布与二维随机变量的独立性.ppt

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1、 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v X,Y，在给定在给定Y取某个或某取某个或某些值的条件下，求些值的条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布.条件分布条件分布第二讲第二讲 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以机抽取一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和表示其体重和身高身高.则则X和和

2、Y都是随机变量，它们都有一定都是随机变量，它们都有一定的概率分布的概率分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 现在若限制现在若限制1.7Y0，则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布列的条件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,类似定义在类似定义在X=xi条件下条件下随机变量随机变量Y 的条件分布列的条件分布列.作为条件的那个作为条件的那个r.v,认为取值是认为取值是给定的，在此条件下求另一给定的，在此条件下求另一r.v的的概率分布概率分布.条件分布列是一种概率分布列，它具有条件分布列是一种概率分布列，它具有概率分布列的一切性质

3、概率分布列的一切性质.正如条件概率是一正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质种概率，具有概率的一切性质.例如：例如：i=1,2,例例1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0p1)，射击进行到击中目标两次为射击进行到击中目标两次为止止.以以X 表示首次击中目标所进行的射击次表示首次击中目标所进行的射击次数数，以，以Y 表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数.试求试求X和和Y的联合分布列及条件分布列的联合分布列及条件分布列.解：解：依题意，依题意，Y=n 表示在第表示在第n次射击时击中次射击时击中目标目标,且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射

4、击中有一次击中目标.X=m表示首次击中目标时射击了表示首次击中目标时射击了m次次n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中 n=2,3,;m=1,2,n-1由此得由此得X和和Y的联合分布列为的联合分布列为 不论不论m(m1|Y=y)例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:P(X1|Y=y)为此为此,需求需求出出 由于由于于是对于是对y0,故对故对y0,P(X1|Y=y)例例3 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率服从单位圆上的均匀分布，概率密度为密度为求求解：解：X的边缘密度为的边缘密度为 当当|x|1时时,有有 例例4 设设r.vX在在区区间间(0,1)均均匀匀分分布布

5、，当当观观察察到到X=x(0 x1)时，时，r.vY在区间在区间(x,1)上均匀分布上均匀分布.求求Y 的概率密度的概率密度.解：解：依题意，依题意，X具有概率密度具有概率密度对对于于任任意意给给定定的的值值x(0 x0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解：解：0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故X和和Y不独立不独立.例例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间

6、是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的概率是多少？的概率是多少？设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)解解:所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为

7、单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：解二：P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需小时，乙船需停泊停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求小时，

8、而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率其中一艘船要等待码头空出的概率.在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的.若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，则则信信号号将将产产生生互互相相干扰干扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的成为三线段，求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a 我们已经知道，我们已经知道，设设(X,Y)是连续型是连续型r.v，若对任意

9、的若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立.由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，也可用此条件判别二维连续型也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量的两个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.对离散型对离散型r.v有类似的结论，请同学们有类似的结论，请同学们自行给出自行给出.这一讲，我们介绍了条件分布与随机变量这一讲，我们介绍了条件分布与随机变量独立性的概念和计算，并举例说明对离散独立性的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布及型和连续型随机变量如何计算条件分布及判断随机变量是否独立判断随机变量是否独立.请课下通过练习请课下通过练习进一步掌握进一步掌握.作业P79 1、3、4、6、9