第四章导热问题的数值解法优秀PPT.ppt
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1、第四章导热问题的数值解法第一页,本课件共有39页1、重点内容:、重点内容:掌握导热问题数值解法的基本思路;掌握导热问题数值解法的基本思路;利用热平衡法和泰勒级数展开法建立利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。节点的离散方程。2、掌握内容:、掌握内容:数值解法的实质。数值解法的实质。3、了解内容:、了解内容:了解非稳态导热问题的两种了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。差分格式及其稳定性。第二页,本课件共有39页求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解,从而获得分析解。随着计算解条件下的积分求解,从而获得分析解。随着计算机
2、技术的迅速发展,对物理问题进行离散求解的数机技术的迅速发展,对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速,这些数值解法主要有以下值方法发展得十分迅速,这些数值解法主要有以下几种:几种:(1 1)有限差分法)有限差分法 (2 2)有限元方法)有限元方法 (3 3)边界元方法)边界元方法 第三页,本课件共有39页分析解法与数值解法的异同点:分析解法与数值解法的异同点:相同点:相同点:根本目的是相同的,即确定根本目的是相同的,即确定 t=f(x t=f(x,y y,z)z);。不同点:不同点:数值解法求解的是区域或时间数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的空间坐标系中离散
3、点的温度分布代替连续的温度场;分析解法求解的是连续的温度场的温度场;分析解法求解的是连续的温度场的分布特征,而不是分散点的数值。分布特征,而不是分散点的数值。第四页,本课件共有39页数值解法的实质数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理
4、关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。的数值解。第五页,本课件共有39页4-1导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点(区域离散化)确定节点(区域离散化)建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否物物理理问
5、问题题的的数数值值求求解解过过程程1第六页,本课件共有39页二维矩形域内稳态无内热源,二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题常物性的导热问题2 例题条件例题条件(a)第七页,本课件共有39页(b)xynm(m,n)MN3 基本概念:控制容积、网格线、节点、基本概念:控制容积、网格线、节点、界面线、步长界面线、步长二维矩二维矩形域内形域内稳态无稳态无内热源,内热源,常物性常物性的导热的导热问题问题第八页,本课件共有39页如图(如图(a a)所示二维矩形域内无内热源、稳态、)所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下:步骤如下:(1 1
6、)建立控制方程及定解条件)建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题,它的控制方程(即针对图示的导热问题,它的控制方程(即导热微分方程导热微分方程)为:)为:第九页,本课件共有39页(2 2)区域离散化(确立节点)区域离散化(确立节点)用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域,用网格线的交点作为域划分成若干个子区域,用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置,称为需要确定温度值的空间位置,称为节点节点(结结点点),节点的位置用该节点在两个方向上,节点的位置用该节点在两个方向上的标号的标号 m m,n n 表示。表示。相邻两节点间的距离称相邻两
7、节点间的距离称步长步长。如图如图(b)(b)所示。所示。第十页,本课件共有39页 (3 3)建立节点物理量的代数方程(离散方程)建立节点物理量的代数方程(离散方程)节点上物理量的代数方程称离散方程。其过节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下:程如下:首先划分各节点的类型;首先划分各节点的类型;其次,建立节点离散方程;其次,建立节点离散方程;最后,代数方程组的形成。最后,代数方程组的形成。对节点对节点(m,n)(m,n)的代数方程,当的代数方程,当 x=y x=y 时,时,有:有:第十一页,本课件共有39页(4 4)设立迭代初场设立迭代初场 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代代数方程组的
8、求解方法有直接解法与迭代解法,传热问题的有限差分法中主要采用迭解法,传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时,需对被求的温度代法。采用迭代法求解时,需对被求的温度场预先设定一个解,这个解称为初场,并在场预先设定一个解,这个解称为初场,并在求解过程中不断改进。求解过程中不断改进。第十二页,本课件共有39页(5 5)求解代数方程组求解代数方程组求解时遇到的问题:求解时遇到的问题:线性;线性;非线性;非线性;收敛性收敛性等。等。如图如图 (b b),除),除 m=1 m=1 的左边界上各节点的温的左边界上各节点的温度已知外,其余度已知外,其余(M-1)N (M-1)N 个节点均需建立离
9、散个节点均需建立离散方程,共有方程,共有(M-1)N (M-1)N 个方程,则构成一个封闭个方程,则构成一个封闭的代数方程组。的代数方程组。1 1)线性代数方程组:)线性代数方程组:代数方程一经建立,其代数方程一经建立,其中各项系数在整个求解过程中不再变化;中各项系数在整个求解过程中不再变化;第十三页,本课件共有39页2 2)非线性代数方程组:)非线性代数方程组:代数方程一经建立,其代数方程一经建立,其中各项系数中各项系数 在整个求解过程中不断更新。在整个求解过程中不断更新。3 3)是否收敛判断:)是否收敛判断:是指用迭代法求解代数方是指用迭代法求解代数方程是否收敛,即本次迭代计算所得之解与上
10、一程是否收敛,即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。第十四页,本课件共有39页(6)解的分析解的分析通过求解代数方程,获得物体中的温度分布,通过求解代数方程,获得物体中的温度分布,根据温度场应进一步计算通过的热流量,热应根据温度场应进一步计算通过的热流量,热应力及热变形等。因此,对于数值分析计算所得力及热变形等。因此,对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析,以获得的温度场及其它物理量应作详细分析,以获得定性或定量上的结论。定性或定量上的结论。第十五页,本课件共有39页4 建立离散方程的常用方法:建立离散方程的常
11、用方法:(1)Taylor(1)Taylor(泰勒)级数展开法;(泰勒)级数展开法;(2)(2)多项式拟合法;多项式拟合法;(3)(3)控制容积积分法;控制容积积分法;(4)(4)控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)第十六页,本课件共有39页(1)泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式,用节点根据泰勒级数展开式,用节点(i,ji,j)的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i+1,ji+1,j)而温度而温度t ti+1,ji+1,j用节点用节点(i,j)(i,j)的温度的温度t ti,ji,j来表示节点来表示节点(i-1,j)(i-1,j)的的温度温
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