矩阵的广义逆优秀PPT.ppt
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1、矩阵的广义逆现在学习的是第1页,共19页矩阵的广义逆矩阵的广义逆概述概述:矩阵的逆:矩阵的逆:A A n n n n ,B B n n n n ,B A=A B=I,B A=A B=I,则则则则B=A B=A 1 1 广义逆的目标:广义逆的目标:逆的推广逆的推广对一般的矩阵对一般的矩阵 A m n可建立部分逆的性质。可建立部分逆的性质。当矩阵当矩阵A n n可逆时,广义逆与逆相一致。可逆时,广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。的理论分析。现在学习的是第2页,共19页 4.1 矩阵的左逆与右逆矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆一、满秩矩阵和单侧
2、逆1、左逆和右逆的定义、左逆和右逆的定义定义定义4.1(P.93)A A C C m m n n,B B C C n n mm,BA=IBA=In n,则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵B B 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A A 的的的的左左左左逆,记为逆,记为逆,记为逆,记为 B=B=。例题例题1 矩阵矩阵A的左逆的左逆A=。A A C C m m n n ,C C C C n n mm ,AC=IAC=Imm,则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵C C 为为为为 矩阵矩阵矩阵矩阵A A 的的的的右右右右逆,记为逆,记为逆,记为逆,记为 C=C=。现在学习的是第3页,共19页 2、左逆和右逆存在的条件
3、、左逆和右逆存在的条件 的存在性的存在性直观分析直观分析直观分析直观分析 存在存在矩阵矩阵A A列满秩列满秩 =(A AHA A)1A AH 定理定理定理定理4 4.1.1(P.93)设设设设A A C C mm n n ,下列条件等价,下列条件等价,下列条件等价,下列条件等价1.1.A A左可逆左可逆左可逆左可逆2.2.A A的零空间的零空间的零空间的零空间N N(A A)=0=0。3.3.mm n n,秩(秩(秩(秩(A A)=n=n,即矩阵即矩阵即矩阵即矩阵A A是列满秩的。是列满秩的。是列满秩的。是列满秩的。4.4.矩阵矩阵矩阵矩阵A AHH A A可逆。可逆。可逆。可逆。例题例题例题
4、例题2 2 求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵A=A=的左逆。的左逆。的左逆。的左逆。现在学习的是第4页,共19页矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性定理定理定理定理4.24.2 (P.94)A A C C m m n n ,则下列条件等价:则下列条件等价:则下列条件等价:则下列条件等价:1.1.矩阵矩阵矩阵矩阵A A右可逆。右可逆。右可逆。右可逆。2.2.A A的列空间的列空间的列空间的列空间R R(A A)=C=Cmm3.3.n n mm ,秩(秩(秩(秩(A A)=m=m,A A是行满秩的。是行满秩的。是行满秩的。是行满秩的。4.4.矩阵矩阵矩阵矩阵A AA AH H
5、可逆可逆可逆可逆 =A AH H(AAAAH H)1 1讨论:可逆矩阵讨论:可逆矩阵讨论:可逆矩阵讨论:可逆矩阵A An n n n的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系 可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵A A的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵A A的逆的逆的逆的逆A A A A 1 1=(A AHHA A)1 1A AHH=A AH H(AAAAH H)1 1现在学习的是第5页,共19页二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论讨论AX=b 有解与左、右逆存在的关系。有解与左、右逆存在的关系
6、。借助于左、右逆求借助于左、右逆求AX=b的形如的形如X=Bb的解。的解。1、右可逆矩阵、右可逆矩阵定理定理4 4(P.95)1.A C m n右可逆,则右可逆,则 b Cm,AX=b有解。有解。2.X=b 是方程组是方程组AX=b的解。的解。现在学习的是第6页,共19页二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2 2、左可逆矩阵、左可逆矩阵、左可逆矩阵、左可逆矩阵求解分析:求解分析:求解分析:求解分析:定理定理定理定理4 4 3 3 (P.94)设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A C C m m n n左可逆,左可逆,左可逆,左可逆,B B是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的任的任
7、的任的任何一个左逆,则何一个左逆,则何一个左逆,则何一个左逆,则1.1.AX=bAX=b有形如有形如有形如有形如X=BbX=Bb的解的充要条件是的解的充要条件是的解的充要条件是的解的充要条件是 (I Imm ABAB )b=0 b=0 ()()2.2.当当当当()()式成立时,方程组的解是惟一的,而且惟一解是式成立时,方程组的解是惟一的,而且惟一解是式成立时,方程组的解是惟一的,而且惟一解是式成立时,方程组的解是惟一的,而且惟一解是X=X=(A AH HA A)1 1A AH H b b证明:证明:证明:证明:讨论讨论讨论讨论:对任何满足式对任何满足式对任何满足式对任何满足式()的左逆的左逆的
8、左逆的左逆B B,X=BbX=Bb都是方程组的都是方程组的都是方程组的都是方程组的 解,如何解释方程组的解是惟一的?解,如何解释方程组的解是惟一的?解,如何解释方程组的解是惟一的?解,如何解释方程组的解是惟一的?现在学习的是第7页,共19页 4.2 广义逆矩阵广义逆矩阵思想思想:用公理来定义广义逆。用公理来定义广义逆。一、减号广义逆一、减号广义逆定义定义4.2(P.95)A C m n,如果,如果,G C n m使得,使得,AGA=A,则矩阵则矩阵G为的为的A减号广义逆。或减号广义逆。或1逆。逆。A的减号逆集合的减号逆集合A1=A11,A21,Ak1 例题例题1 A C n n可逆,则可逆,则
9、A1 A1;A单侧可逆,则单侧可逆,则A 1L A1;A1R A1。减号逆的求法:减号逆的求法:定理定理4.5(P.95)减号逆的性质:减号逆的性质:定理定理4.6(P.96)现在学习的是第8页,共19页二、二、Moore-Penrose(M-P)广义逆广义逆由由由由Moore 1920Moore 1920年提出,年提出,年提出,年提出,19551955年由年由年由年由PenrosePenrose发展。发展。发展。发展。1 1、定义定义定义定义4 4.3 3(P.98)设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A C C m m n n ,如果,如果,如果,如果 GG C C n n m m,使得,使得,使
10、得,使得1.1.AGA=A AGA=A 2.2.GAG=G GAG=G3.3.(AGAG)H H=AG=AG4.4.(GAGA)H H =GA=GA 则称则称则称则称GG为为为为A A的的的的M-PM-P广义逆,记为广义逆,记为广义逆,记为广义逆,记为G=G=A A+。A A1 1=A=A+;A A11L L=(A AHHA A)11A AHH=A=A+;A A 11R R=A=AHH(AAAAHH)11=A=A+;若若若若 A A+,则则则则A A+是是是是 A1 A1。例题例题例题例题2 2 讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和M-PM-P广义逆
11、的关系。广义逆的关系。广义逆的关系。广义逆的关系。现在学习的是第9页,共19页3、M-PM-P广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法定理定理4.8(P.99)任何矩阵都有任何矩阵都有M-P广义逆。广义逆。求法求法:设设设设A A满秩分解满秩分解满秩分解满秩分解A=BCA=BC,则则则则A A+=C=CH H(CCCCH H )1 1(B BH H B B)1 1B BH H。(定理定理定理定理4 4.9.9)设)设)设)设A A奇异值分解奇异值分解奇异值分解奇异值分解 :,则,则,则,则2、M-P 广义逆的惟一性广义逆的惟一性定理定理定理定理4
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