第01章复数与复变函数优秀PPT.ppt

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1、第01章复数与复变函数现在学习的是第1页，共64页课程名称课程名称复变函数与积分变换复变函数与积分变换教教 材材工程数学工程数学工程数学-复变函数复变函数(第四版第四版第四版)西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室 编编编编总总 学学 时时32学时教师姓名教师姓名黄晓鸣课课 程程 简简 介介现在学习的是第2页，共64页研究对象研究对象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内

2、容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。共形映射等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、现在学习的是第3页，共64页学习方法学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。果。现在学习的是第4页，共64页背景背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引

3、进的。为复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的受的“虚数虚数”。直到十八世纪，。直到十八世纪，J.DJ.DAlembertAlembert(1717-(1717-1783)1783)与与L.EulerL.Euler(1707

4、-1783)(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。现在学习的是第5页，共64页 复复 变变 函函 数数 的的 理理 论论 基基 础础 是是 十十 九九 世世 纪纪 奠奠 定定 的的。A.L.CauchyA.L.Cauchy（1789-1866)1789-1866)和和K.Weie

5、rstrassK.Weierstrass(1815-1897)(1815-1897)分分别别应应用用积积分分和和级级数数研研究究复复变变函函数数，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-(1826-1866)1866)研研究究复复变变函函数数的的映映照照性性质质。他他们们是是这这一一时时期期的的三三位位代代表表人人物物。经经过过他他们们的的巨巨大大努努力力，复复变变函函数数形形成成了了非非常常系系统统的的理理论论，且且渗渗透透到到了了数数学学的的许许多多分分支支，同同时时，它它在在热热力力学学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。流体力学和电学等方面也得到了很多的应

6、用。二二十十世世纪纪以以来来，复复变变函函数数已已被被广广泛泛地地应应用用在在理理论论物物理理、弹弹性性理理论论和和天天体体力力学学等等方方面面，与与数数学学中中其其它它分分支支的的联系也日益密切。联系也日益密切。现在学习的是第6页，共64页第一章复数与复变函数现在学习的是第7页，共64页本章内容：复数及其代数运算复数的几何表示复数的乘幂与方根区域复变函数复变函数的极限与连续现在学习的是第8页，共64页 1.1.复数的概念复数的概念 2.2.代数运算代数运算 3.3.共轭复数共轭复数11.1.1 复数及其代数运算复数及其代数运算现在学习的是第9页，共64页 一般一般,任意两个复数不能比较大小。

7、任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念复数的概念定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy 或或 z=x+yi为复数。为复数。复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 判断复数相等判断复数相等现在学习的是第10页，共64页定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的的和、差、积和商和、差、积和商为：为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算代数运算 四则运算四则运算四

8、则运算四则运算现在学习的是第11页，共64页z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律运算规律运算规律复数的运算满足复数的运算满足交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律。（与（与实数相同）实数相同）即，即，现在学习的是第12页，共64页共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 的的共轭复数共轭复数.(conjugate)现在学习的是第13页，共64页现在学习的是第14页，共64页现在

9、学习的是第15页，共64页 1.1.1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示 2.2.2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法 3.3.3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法 4.4.4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法1.1.2 2 复数的表示方法复数的表示方法现在学习的是第16页，共64页1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：数数z z与点与点z z同义同义.现在学习的是第17页，共64页无穷远点怎么表示？无穷远点怎么表示？扩充复平面：扩充复平面：复球面：复球面：xPNS扩充复平面上的无穷远点扩充复平面上的无穷远点 与复球面上的北极对应！与复球面上的北极对应

10、！现在学习的是第18页，共64页2.向量表示法向量表示法 oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴为始边以正实轴为始边,以向量以向量 为终边的角的为终边的角的弧度数称为复数弧度数称为复数 z=x+iy 的的辐角辐角(z0时时).现在学习的是第19页，共64页辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式现在学习的是第20页，共64页 当当z z落于一

11、落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。请注意复数的幅角主值的计算！现在学习的是第21页，共64页oxy(z)z1z2 z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示法现在学习的是第22页，共64页引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1

12、 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t 0为半径的圆为半径的圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|0,对任意对任意 z D,均有均有 zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,现在学习的是第38页，共64页现在学习的是第39页，共64页2.2.简单曲线（或简单曲线（或JardanJardan曲线曲线

13、)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线分段光滑曲线。现在学习的是第40页，共64页重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义 称称没有重点的连续曲线没有重点的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是是简单闭曲线简单闭曲

14、线或或Jordan闭曲线闭曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线现在学习的是第41页，共64页3.3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义

15、定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内，就称内，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。现在学习的是第42页，共64页例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域现在学习的是第43页，共64页作 业Page 31-33 1（）（）；2；4（1）（3）；8（）（）（）；14（）（）；19；21（）（）（）；22（）（）（）；现在学习的是第44页，共64页 1.1.复变函数的定义复

16、变函数的定义 2.2.映射的概念映射的概念 3.3.反函数或逆映射反函数或逆映射5 5 复变函数复变函数现在学习的是第45页，共64页1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义 现在学习的是第46页，共64页现在学习的是第47页，共64页例例1例例2现在学习的是第48页，共64页oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w现在学习的是第49页，共64页 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分

17、函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）现在学习的是第50页，共64页例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解现在学习的是第51页，共64页oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v

18、(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o现在学习的是第52页，共64页例例5 5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4现在学习的是第53页，共64页 3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称 为为 的反函数（的反函数（逆映射逆映射）。）。现在学习的是第54页，共64页例例例例 已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域 在平面在平面w上的象。上的象。例例现在学习的是

19、第55页，共64页 1.1.函数的极限函数的极限 2.2.运算性质运算性质 3.3.函数的连续性函数的连续性6 6 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性现在学习的是第56页，共64页1.函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点 z 一旦进一旦进入入 z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点 f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的 邻域中邻域中现在学习的是第57页，共64页(1)(1)意义中意义中 的方式是任意的。的方式是任意的。与一元实变函数相比较要求更高。与一元实变函数相比较要求更高。(2)A(2)A是复

20、数。是复数。2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1 1(3)若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的。现在学习的是第58页，共64页定理定理2 2 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!现在学习的是第59页，共64页例例1 1例例2 2例例3 3现在学习的是第60页，共64页3.函数的连续性函数的连续性定义定义定义定义定理定理3 3现在学习的是第61页，共64页例例例例4 4 4 4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz现在学习的是第62页，共64页 定理定理定理定理4 4 4 4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：有界性：现在学习的是第63页，共64页作 业Page 33-34 24；25（2）（4）（6）；26（2）（4）；30；32；现在学习的是第64页，共64页