第四章 有限元法优秀PPT.ppt

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1、第四章第四章 有限元法有限元法第一页，本课件共有92页主要内容主要内容 有限元法的基本概念有限元法的基本概念 有限元法的分类有限元法的分类 有限元法的求解步骤（重点）有限元法的求解步骤（重点）常用有限元软件简介常用有限元软件简介第二页，本课件共有92页 随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在产品平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要了解产加工中，在分析产品性能过程中，往往需要了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温度场、流品在承受载荷的情况下的应变与位移、温度场、流场

2、、磁场的分布情况等，从而为产品的性能设计提场、磁场的分布情况等，从而为产品的性能设计提供依据。供依据。第三页，本课件共有92页蓄水后大坝的位蓄水后大坝的位移与应变情况、移与应变情况、地震时大坝的位地震时大坝的位移与应变情况等移与应变情况等三峡大坝的受力情况三峡大坝的受力情况 第四页，本课件共有92页航天飞机飞行航天飞机飞行中的受热分析中的受热分析温度场分布温度场分布 第五页，本课件共有92页导弹、飞机飞导弹、飞机飞行的流体动力行的流体动力学分析学分析流场分布流场分布 第六页，本课件共有92页磁场分布磁场分布 分析分析卫卫星、星、飞飞船在船在轨轨运行运行时时磁磁场场的影响的影响 第七页，本课件共

3、有92页 传统方法在处理这类问题时，往往要对一个传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对这对于精度

4、要求不高的于精度要求不高的领领域是可以的，但域是可以的，但对对于有些于有些领领域，域，就不能就不能满满足足实际实际的需要了。的需要了。第八页，本课件共有92页 同同时时，实际实际中常常要遇到一些几何上复中常常要遇到一些几何上复杂杂、不、不规则边规则边界、有裂界、有裂缝缝或厚度突或厚度突变变以及几何非以及几何非线线性、材性、材料非料非线线性的物理系性的物理系统统，对这对这些系些系统经统经典理典理论论解决起解决起来相当困来相当困难难，有，有时时甚至无法解决，也就是无法求得甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，解析解。因此，寻寻求离散数求离散数值值分析法就成了必由之分析法就成了必由之路。路。常用

5、的数常用的数值值分析法有两种分析法有两种：差分法和有限元法。差分法和有限元法。第九页，本课件共有92页 差分法差分法是在是在传统传统方法的基方法的基础础上，将上，将传统传统方法建方法建立的微分方程中的微分立的微分方程中的微分dxdx、dydy、dzdz变变成差分成差分xx，yy，zz，从而把微分方程，从而把微分方程变变成代数方程，用一步成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系步迭代的方法，逐步求出物理系统统中各个离散点中各个离散点的物理量，用差分离散解代替的物理量，用差分离散解代替连续连续解。解。这这种方法要求能建立微分方程，并能种方法要求能建立微分方程，并能给给出出边边界条件界条件的数

6、学表达式，因此，的数学表达式，因此，对对于一些不于一些不规则规则的几何形状和不的几何形状和不规则规则的特殊的特殊边边界条件界条件难难以以应应用。用。第十页，本课件共有92页一、有限元法的基本概念一、有限元法的基本概念1.1.什么是有限元法什么是有限元法 我我们实际们实际要要处处理的理的对对象都是象都是连续连续体，在体，在传统设传统设计计思思维维和方法中，是通和方法中，是通过过一些理想化的假定后，建一些理想化的假定后，建立一立一组组偏微分方程及其相偏微分方程及其相应应的的边边界条件，从而求出界条件，从而求出在在连续连续体上任一点上未知量的体上任一点上未知量的值值。因因为为点是无限多的，存在无限自

7、由度的点是无限多的，存在无限自由度的问题问题，很，很难难直接求解直接求解这这种偏微分方程用来解决种偏微分方程用来解决实际实际工程工程问题问题，因此，因此需要采用近似方法来需要采用近似方法来处处理。理。第十一页，本课件共有92页 其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。自由度。把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体

8、，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法限元法（The Finite Element Method The Finite Element Method）。第十二页，本课件共有92页 有限元法是一种以有限元法是一种以计计算机算机为为手段，通手段，通过过离散离散化将研究化将研究对对象象变换变换成一个与原始成一个与原始结结构近似的数学构近似的数学模型，再模型，再经过经过一系列一系列规规范化的步范化的步骤骤以求解以求解应应力、力、应变应变、位

9、移等参数的数、位移等参数的数值计值计算方法。算方法。所所谓谓离散化离散化就就是将一个是将一个连续连续体分割成若干个通体分割成若干个通过节过节点相点相连连的的单单元，元，这样这样一个有无限个自由度的一个有无限个自由度的结结构就构就变换变换成一个具有有限个自由度的近似成一个具有有限个自由度的近似结结构。构。该该过过程程还还包括包括对单对单元和元和节节点点进进行行编码编码以及局部坐以及局部坐标标系系和整体坐和整体坐标标系的确定。系的确定。第十三页，本课件共有92页2.2.几个基本概念几个基本概念1 1）单元）单元（element）将求解的工程将求解的工程结结构看成是构看成是由由许许多小的、彼此用点多

10、小的、彼此用点联结联结的的基本构件如杆、梁、板和壳基本构件如杆、梁、板和壳组组成的，成的，这这些基本构件称些基本构件称为单为单元。元。在有限元法中，在有限元法中，单单元用一元用一组节组节点点间间相互作用的数相互作用的数值值和矩和矩阵阵（刚刚度系数矩度系数矩阵阵）来描述。）来描述。第十四页，本课件共有92页单单元具有以下特征：元具有以下特征：每一个每一个单单元都有确定的方程来描述在一定元都有确定的方程来描述在一定载载荷下的荷下的响响应应；模型中所有模型中所有单单元响元响应应的的“和和”给给出了出了设计设计的的总总体响体响应应；单单元中未知量的个数是有限的，因此称元中未知量的个数是有限的，因此称为

11、为“有限有限单单元元”。第十五页，本课件共有92页2 2）节点）节点（node）单单元与元与单单元之元之间间的的联结联结点，称点，称为节为节点。在有限点。在有限元法中，元法中，节节点就是空点就是空间间中的坐中的坐标标位置，它具有物理位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。特性，且存在相互物理作用。载荷载荷载荷载荷节点节点:空间中的坐标位置，具有空间中的坐标位置，具有一定响应，相互之间存在物理作一定响应，相互之间存在物理作用。用。单元单元:节点间相互作用的媒介，用节点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵描一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵述（称为刚度或系数矩阵)。第十

12、六页，本课件共有92页.1 node.信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A A和和B B之间没有信息传递之间没有信息传递具有公共节点的单元具有公共节点的单元之之间存在信息传递间存在信息传递.AB.AB.2 nodes第十七页，本课件共有92页3 3）有限元模型）有限元模型（node）有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。接，并承受一定载荷。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描

13、每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。整体结构的数学模型。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。之间通过节点连接，并承受一定载荷。第十八页，本课件共有92页膨化饲料床层进风口出风口膨化饲料带式干燥机有限元模型膨化饲料带式干燥机有限元模型XZ网格节点步长为40mm,共1113040个单元 第十九页，本课件共有92页 对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确

14、，同时，其计算工作量也就越大。结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。梯子的有限元模型不到梯子的有限元模型不到100100个方程；个方程；在在ANSYSANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。精确性的要求。第二十页，本课件共有92页4 4）单元形函数）单元形函数（node）有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函数有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函数是一种数学函数，

15、规定了从节点响应值到单元内所有是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元内所有点处响应值的计算方法点处响应值的计算方法,因此，单元形函数提供一种因此，单元形函数提供一种描述单元内部结果的描述单元内部结果的“形状形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。解精度。第二十一页，本课件共有92页真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近似二次曲线的线性近似 (不理想结果不理想结果).2节点节点单元单元 响应值二次分布响应值二次分布

16、.1节点节点 单元单元线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线.3节点节点单元单元二次近似二次近似(接近于真实的二次近似接近于真实的二次近似拟合拟合)(最理想结果最理想结果).4第二十二页，本课件共有92页n如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。是通过单元形函数推导出来的。n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。该种单

17、元类型所假定的单元形函数。n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。求解的问题。第二十三页，本课件共有92页5 5）有限元分析）有限元分析 有限元分析（有限元分析（FEAFEA）就是利用数学近似的方法）就是利用数学近似的方法对对真真实实物理系物理系统统（几何和（几何和载载荷工况）荷工况）进进行模行模拟拟。并利用。并利用简单简单而又相互作用的元素而又相互作用的元素（即即单单元元），用有限数量，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真的未知量去逼

18、近无限未知量的真实实系系统统。有限元分析是一种模有限元分析是一种模拟设计载拟设计载荷条件，并且确荷条件，并且确定在定在载载荷条件下的荷条件下的设计设计响响应应的方法。它是用被称之的方法。它是用被称之为为“单单元元”的离散的的离散的块块体来模体来模拟设计拟设计的的。第二十四页，本课件共有92页二、有限元法的特点与作用二、有限元法的特点与作用1.1.有限元法的特点有限元法的特点1 1）离散化：离散化：把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；（节点）作为离散点；2 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；）不考虑微分方程，而从单元

19、本身特点进行研究；(研究未知量研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来,以求以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组解一个以各节点响应为未知量的代数方程组)3 3）理）理论论基基础简础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起起对该对该法的理解法的理解；第二十五页，本课件共有92页4 4）具有灵活性和适用性，适）具有灵活性和适用性，适应应性性强强。它可以把形状不同、。它可以把形状不同、性性质

20、质不同的不同的单单元元组组集起来求解，故特集起来求解，故特别别适用于求解由适用于求解由不同构件不同构件组组合的合的结结构，构，应应用范用范围围极极为为广泛。它不广泛。它不仅仅能能成功地成功地处处理如理如应应力分析中的非均匀材料、各向异性材力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非料、非线线性性应应力力应变应变以及复以及复杂杂的的边边界条件等界条件等问题问题，且，且随着其理随着其理论论基基础础和方法的逐步完善，和方法的逐步完善，还还能成功地用来能成功地用来求解如求解如热传导热传导、流体力学及、流体力学及电电磁磁场领场领域的域的许许多多问题问题。5 5）在具体推）在具体推导导运算运算过过程中，广泛采用

21、了矩程中，广泛采用了矩阵阵方法。方法。第二十六页，本课件共有92页2.2.有限元法的作用有限元法的作用1 1）减少模型）减少模型试验试验的数量的数量（计计算机模算机模拟拟允允许对许对大量的大量的假假设设情况情况进进行快速而有效的行快速而有效的试验试验）；）；2 2）模）模拟拟不适合在原型上不适合在原型上试验试验的的设计设计（例如：器官移植例如：器官移植、人造膝盖人造膝盖）；）；3 3）节节省省费费用，降低用，降低设计设计与制造、开与制造、开发发的成本；的成本；4 4）节节省省时间时间，缩缩短短产产品开品开发时间发时间和周期；和周期；5 5）创创造出高可靠性、高品造出高可靠性、高品质质的的产产品

22、。品。第二十七页，本课件共有92页三、有限元法的发展三、有限元法的发展1.1.有限元法的产生有限元法的产生有限元法分析的概念可以追溯到有限元法分析的概念可以追溯到2020世世纪纪4040年代。年代。19431943年，柯朗特（年，柯朗特（CourantCourant）第一次在他的）第一次在他的论论文中，文中，取定取定义义在三角形域上的分片在三角形域上的分片连续连续函数，利用最小函数，利用最小势势能原理研究了圣能原理研究了圣维维南（南（St.VenantSt.Venant）的扭）的扭转问题转问题。然而，此方法然而，此方法发发展很慢，几乎展很慢，几乎过过了十年才再次有人了十年才再次有人用用这这些离

23、散化的概念。些离散化的概念。第二十八页，本课件共有92页19561956年年Turner,Turner,CloughClough,Martin,Martin和和ToppTopp等人，在他等人，在他们们的的经经典典论论文中第一次文中第一次给给出了用三角形出了用三角形单单元求得的平面元求得的平面应应力力问题问题的真正解答，他的真正解答，他们们利用利用弹弹性理性理论论的方程求出了的方程求出了三角形三角形单单元的特性，并第一次介元的特性，并第一次介绍绍了今天人了今天人们们熟知的熟知的确定确定单单元特性的直接元特性的直接刚刚度法，其研究工作随同当度法，其研究工作随同当时时出出现现的数的数值计值计算机一起

24、打开了求解复算机一起打开了求解复杂杂平面平面弹弹性性问题问题的的新局面。新局面。第二十九页，本课件共有92页19601960年美国的克年美国的克劳劳夫夫(W.Clough)(W.Clough)采用此方法采用此方法进进行行飞飞机机结结构分析构分析时时首次将首次将这这种方法起名种方法起名为为“有限有限单单元法元法”，简简称称“有限元法有限元法”。此后有限元法在工程界。此后有限元法在工程界获获得了广泛得了广泛的的应应用。到用。到2020世世纪纪7070年代以后，随着年代以后，随着计计算机和算机和软软件技件技术术的的发发展，有限元法也随之迅速的展，有限元法也随之迅速的发发展起来，展起来，发发表的表的论

25、论文犹如雨后春笋，学文犹如雨后春笋，学术术交流交流频频繁，期刊、繁，期刊、专专著不断著不断出出现现，可以，可以说进说进入了有限元法的鼎盛入了有限元法的鼎盛时时期，期，对对有限元有限元法法进进行了全面而深入行了全面而深入的的研究。研究。第三十页，本课件共有92页2.2.有限元法的应用有限元法的应用 目前，有限元法广泛目前，有限元法广泛应应用于固体力学、流体力学、用于固体力学、流体力学、热传导热传导、电电磁学、声学、生物力学等各个磁学、声学、生物力学等各个领领域。域。有限元法已有限元法已经经成成为结为结构分析的有效方法和手段，构分析的有效方法和手段，它几乎它几乎被被用于所有用于所有连续连续介介质质

26、和和场场的的问题问题。第三十一页，本课件共有92页1 1）结构分析）结构分析 结构分析用于确定变形、结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。应变、应力及反作用力。静力分析静力分析 用于静态荷载，可以考虑结用于静态荷载，可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等。触、塑性、超弹及蠕变等。超弹密封超弹密封第三十二页，本课件共有92页动力分析动力分析模态分析：模态分析：用于计算固有频率和振型。用于计算固有频率和振型。谐响应分析：谐响应分析：用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频用于确定结构对正弦变

27、化的已知幅值和频率载荷的响应。率载荷的响应。瞬态动力学分析：瞬态动力学分析：用于确定结构对随时间任意变化载荷的响用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。特征屈曲分析：特征屈曲分析：用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析）（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析）专项分析专项分析:断裂分析、复合材料分析、疲劳分析断裂分析、复合材料分析、疲劳分析第三十三页，本课件共有92页2 2）热分析）热分析 热分析用于确定物体中的热分析用于确定物

28、体中的温度分布。考虑的物理量是：温度分布。考虑的物理量是：热量、热梯度、热通量。热量、热梯度、热通量。有限元可模拟三种热传递方有限元可模拟三种热传递方式（热传导、热对流、热辐射），式（热传导、热对流、热辐射），可进行可进行稳态分析稳态分析和和瞬态分析瞬态分析，还可模拟还可模拟相变相变（蒸发与冷凝、（蒸发与冷凝、熔化及凝固）熔化及凝固）第三十四页，本课件共有92页3 3）电磁分析）电磁分析 电磁分析用于计算电磁装置中的电磁分析用于计算电磁装置中的磁场，考虑的物理量是：磁通量密度、磁场，考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通

29、量泄漏等。感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。有限元法可进行有限元法可进行静态磁场及低频电磁场分析静态磁场及低频电磁场分析，如模拟由直流，如模拟由直流电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管制动器、电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管制动器、电动机、变压器）；电动机、变压器）；高频电磁场分析高频电磁场分析如模拟电磁波的传播装置；如模拟电磁波的传播装置；计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁装置与电路的计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁装置与电路的耦耦合问题合问题等。等。第三十五页，本课件共有92页4 4）流体分析）流体分析 计算流体动力学（计算流体动力学（Computat

30、ional Fluid Computational Fluid DynamicsDynamics，CFDCFD）是一种典型的基于有限）是一种典型的基于有限元的流体分析方法。用于确定流体中的元的流体分析方法。用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流、流动状态和温度。能模拟层流和湍流、可压缩和不可压缩流体以及多组份流。可压缩和不可压缩流体以及多组份流。广泛应用于航空航天、气象学、汽车设广泛应用于航空航天、气象学、汽车设计等领域。计等领域。典型的物理量是：速度、压力、温典型的物理量是：速度、压力、温度、对流换热系数。度、对流换热系数。第三十六页，本课件共有92页 用于模拟流体介质和周围固体的

31、相互作用。用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。5 5）声学分析）声学分析第三十七页，本课件共有92页6 6）耦合场分析）耦合场分析 耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：双金属片受双金属片受热变形热变形n热热-应力分析（温度场和结构）应力分析（温度场和结构）n流体热力学分析（温度场和流场）流体热力学分析（温度场和流场）n声

32、学分析（流体和结构）声学分析（流体和结构）n热热-电分析（温度场与电场）电分析（温度场与电场）n感应加热（磁场和温度场）感应加热（磁场和温度场）第三十八页，本课件共有92页第二节 有限元法的分类第三十九页，本课件共有92页一、结构有限元法的分类一、结构有限元法的分类 结构结构有限元法可以分有限元法可以分为为两两类类，即，即线弹线弹性有限元性有限元法和非法和非线线性有限元法性有限元法。其中。其中线弹线弹性有限元法是非性有限元法是非线线性性有限元法的基有限元法的基础础，二者不但在分析方法和研究步，二者不但在分析方法和研究步骤骤上有上有类类似之似之处处，而且后者常常要引用前者的某些，而且后者常常要引

33、用前者的某些结结果。果。第四十页，本课件共有92页1.1.线弹性有限元线弹性有限元 线弹线弹性有限元是以理想性有限元是以理想弹弹性体性体为为研究研究对对象的，所考象的，所考虑虑的的变变形建立在小形建立在小变变形假形假设设的基的基础础上。在上。在这类问题这类问题中，中，材料的材料的应应力与力与应变应变呈呈线线性关系，性关系，满满足广足广义义胡克定律；胡克定律；位移与位移与应变应变也是也是线线性关系，性关系，线弹线弹性性问题问题可可归结为归结为求解求解线线性方程性方程问题问题，所以只需要，所以只需要较较少的少的计计算算时间时间。线弹线弹性有限元一般包括性有限元一般包括线弹线弹性静力学分析与性静力学

34、分析与线线弹弹性性动动力学分析两方面。力学分析两方面。第四十一页，本课件共有92页2.2.非线性有限元非线性有限元非非线线性性问题问题与与线弹线弹性性问题问题的区的区别别：非非线线性性问题问题的方程是非的方程是非线线性的，一般需要迭代求性的，一般需要迭代求 解；解；非非线线性性问题问题不能采用叠加原理；不能采用叠加原理；非非线线性性问题问题不不总总有一致解，有有一致解，有时时甚至没有解。甚至没有解。以上三方面的因素使得非以上三方面的因素使得非线线性性问题问题的求解的求解过过程比程比线弹线弹性性问题问题更加复更加复杂杂、费费用更高和更具有不可用更高和更具有不可预预知性。知性。第四十二页，本课件共

35、有92页1 1）材料非线性问题）材料非线性问题 材料的材料的应应力和力和应变应变是非是非线线性的，但性的，但应变应变与位移呈与位移呈线线性关系，性关系，这类问题这类问题属于材料的非属于材料的非线线性性问题问题。由于从。由于从理理论论上上还还不能提供能普遍接受的不能提供能普遍接受的应应力与力与应变应变的函数关的函数关系，所以，一般材料的系，所以，一般材料的应应力与力与应变应变之之间间的非的非线线性关系性关系要基于要基于试验试验数据，有数据，有时时非非线线性材料特性可用数学模型性材料特性可用数学模型进进行模行模拟拟，尽管，尽管这这些模型些模型总总有他有他们们的局限性。在工程的局限性。在工程实际实际

36、中中较为较为重要的材料非重要的材料非线线性性问题问题有：非有：非线线性性弹弹性性（包括分段（包括分段线弹线弹性）、性）、弹弹塑性、粘塑性及蠕塑性、粘塑性及蠕变变等。等。第四十三页，本课件共有92页2 2）几何非线性问题）几何非线性问题 几何非几何非线线性性问题问题是由于是由于应变应变与位移之与位移之间间存在非存在非线线性关系引起的。性关系引起的。当物体的位移当物体的位移较较大大时时，应变应变与位移的关系是非与位移的关系是非线线性性关系。研究关系。研究这类问题这类问题一般都是假定材料的一般都是假定材料的应应力和力和应变应变呈呈线线性关系。它包括大位移大性关系。它包括大位移大应变应变及大位移小及大

37、位移小应变问应变问题题。如。如结结构的构的弹弹性屈曲性屈曲问题问题属于大位移小属于大位移小应变问题应变问题，橡胶部件形成橡胶部件形成过过程程为为大大应变问题应变问题。第四十四页，本课件共有92页3 3）非线性边界）非线性边界 在加工、密封、撞在加工、密封、撞击击等等问题问题中，接触和摩擦的中，接触和摩擦的作用不可忽作用不可忽视视，接触，接触边边界属于高度非界属于高度非线线性性边边界。界。平平时时遇到的一些接触遇到的一些接触问题问题，如，如齿轮传动齿轮传动、冲、冲压压成型成型、轧轧制成型、橡胶减振器、制成型、橡胶减振器、紧紧配合装配等，当一个配合装配等，当一个结结构与另一个构与另一个结结构或外部

38、构或外部边边界相接触界相接触时时通常要考通常要考虑虑非非线线性性边边界条件。界条件。实际实际的非的非线线性可能同性可能同时时出出现现上述两种或三种非上述两种或三种非线线性性问题问题。第四十五页，本课件共有92页二、有限单元的类型二、有限单元的类型 根据研究根据研究对对象的不同，有限元法中采用的象的不同，有限元法中采用的单单元形式元形式也不相同也不相同。通常，按照通常，按照单单元元结结构，可将构，可将单单元划分元划分维维一一维单维单元元（线单线单元）、二元）、二维单维单元（面元（面单单元）和三元）和三维单维单元元 JIJKLI一维单元一维单元二维单元二维单元POMNKJIL三维单元三维单元第四十

39、六页，本课件共有92页按照按照单单元元结结构构特点和受力特点特点和受力特点，可将，可将单单元划分元划分为：为：1 1）桁架杆桁架杆单单元：元：主要主要应应用于受用于受轴轴向力作用的杆和杆系，向力作用的杆和杆系，如桁架如桁架结结构；构；2 2）刚刚架杆架杆单单元：元：用于梁及用于梁及刚刚架架结结构分析；构分析；3 3）三角形平面三角形平面单单元：元：主要用于主要用于弹弹性力学中平面性力学中平面应应力力和平面和平面应变问题应变问题的有限元分析；的有限元分析；4 4）三棱）三棱圆环单圆环单元：元：用于用于轴对轴对称称问题问题的有限元分析；的有限元分析；5 5）等参数）等参数单单元：元：用于一些具有曲

40、用于一些具有曲线轮线轮廓的复廓的复杂结杂结构。构。第四十七页，本课件共有92页第三节第三节 有限元法的求解步骤有限元法的求解步骤第四十八页，本课件共有92页一、有限元法分析过程有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。处理三大步骤。1.1.前处理前处理 对实际对实际的的连续连续体离散化后就建立了有限元分析体离散化后就建立了有限元分析模型，模型，这这一一过过程是有限元程是有限元法法的前的前处处理理过过程。在程。在这这一一阶阶段，要构造段，要构造计计算算对对象的几何模型，要划分有限象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有

41、限元分析的元网格，要生成有限元分析的输输入数据，入数据，这这一步一步是有限元分析的关是有限元分析的关键键。第四十九页，本课件共有92页2.2.有限元分析有限元分析 有限元分析有限元分析过过程主要包括：程主要包括：单单元分析、整体分析、元分析、整体分析、载载荷移置、引入荷移置、引入约约束、求解束、求解约约束方程等束方程等过过程。程。这这一一过过程程是有限元分析的核心部分，有限元理是有限元分析的核心部分，有限元理论论主要体主要体现现在在这这一一过过程中。程中。结构结构有限元法包括三有限元法包括三类类：有限元位移法、有限元力有限元位移法、有限元力法、有限元混合法法、有限元混合法。第五十页，本课件共有

42、92页 有限元位移法有限元位移法以以节节点位移作点位移作为为基本未知量；基本未知量；有限元力法有限元力法以以选节选节点力作点力作为为未知量未知量；有限元混合法有限元混合法的的一部分基本未知量一部分基本未知量为节为节点位移，另一点位移，另一部分基本未知量部分基本未知量为节为节点力。点力。有限元位移法有限元位移法计计算算过过程的系程的系统统性、性、规规律性律性强强，特，特别别适宜于适宜于编编程求解。一般除板壳程求解。一般除板壳问题问题的有限元的有限元应应用一定量用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特因此，一般不做特别别声明声明时时，有限

43、元法指的是，有限元法指的是有限元位移法。有限元位移法。第五十一页，本课件共有92页3.3.有限元分析的后处理有限元分析的后处理 有限元分析的后有限元分析的后处处理主要包括理主要包括对计对计算算结结果的果的加工加工处处理、理、编辑组织编辑组织和和图图形表示形表示三个方面。它可以把有限元三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，分析得到的数据，进进一步一步转换为设计转换为设计人人员员直接需要的信直接需要的信息，如息，如应应力分布状力分布状态态、结结构构变变形状形状态态等，并且等，并且绘绘成直成直观观的的图图形，从而帮助形，从而帮助设计设计人人员员迅速的迅速的评评价和校核价和校核设计设计方案。方案。第

44、五十二页，本课件共有92页一、有限元法求解的基本步骤一、有限元法求解的基本步骤 1.1.结结构离散化：构离散化：对对整个整个结结构构进进行离散化，将其分割成行离散化，将其分割成若干个若干个单单元，元，单单元元间间彼此通彼此通过节过节点相点相连连；2.2.求出各求出各单单元的元的刚刚度矩度矩阵阵 ：是由是由单单元元节节点位点位移移向向量量 求求单单元元节节点力向量点力向量 的的转转移矩移矩阵阵，其关，其关系式系式为为 ；3 3.集成集成总总体体刚刚度矩度矩阵阵KK并写出并写出总总体平衡方程：体平衡方程：KK是由是由整体整体节节点位移向量点位移向量 求整体求整体节节点力向量点力向量 的的转转移矩移

45、矩阵阵，其关系式其关系式为为 ，这就是总体平衡方，这就是总体平衡方程；程；第五十三页，本课件共有92页确定确定总总体体刚刚度矩度矩阵阵KK的办法的办法1 1）直接利用直接利用总总体体刚刚度系数的定度系数的定义义 在求出整体在求出整体结结构中各构中各节节点力与点力与节节点位移关系的基点位移关系的基础础上上获获得得总总体体刚刚度矩度矩阵阵。此方法。此方法只只在在简单简单情况下才能采用。情况下才能采用。2 2）集成法集成法 将整体坐将整体坐标标下的下的单单元元刚刚度矩度矩阵进阵进行迭加而得。行迭加而得。这这里所里所说说的迭加不是的迭加不是简单简单的相加，而是将下角的相加，而是将下角标标相同的相同的刚

46、刚度系数度系数相加，然后按相加，然后按总码总码的的顺顺序序对对号入座。号入座。第五十四页，本课件共有92页3 3）利用利用节节点点间间的的刚刚度系数直接写出度系数直接写出总总体体刚刚度矩度矩阵阵 总总体体刚刚度矩度矩阵对阵对角角线线上的上的刚刚度系数度系数 等于在等于在节节点点i i汇汇交的几个交的几个单单元的元的刚刚度系数度系数 之和；之和；非非对对角角线线上的上的刚刚度系度系数数 等于等于联结节联结节点点i i与与节节点点j j间间几个几个单单元的元的刚刚度系数度系数 之和。之和。第五十五页，本课件共有92页4.4.引入引入边界边界条件，求出各条件，求出各节节点的位移点的位移 节节点的点的

47、边界边界条件有两种：一种是条件有两种：一种是节节点点n n沿某个方沿某个方向的位移向的位移为为零，另一种是零，另一种是节节点点n n沿某个方向的位移沿某个方向的位移为为一一给给定定值值。5.5.求出各单元内的应力和应变求出各单元内的应力和应变 第五十六页，本课件共有92页第五十七页，本课件共有92页三、有限元求解实例分析有限元求解实例分析【例例1 1】一根由两段一根由两段组组成的成的阶阶梯梯轴轴，一端固定，另，一端固定，另一端承受一个一端承受一个轴轴向向载载荷荷F3。这这两段的横截面两段的横截面积积分分别为别为A(1)和和A(2)，长长度分度分别为别为L(1)和和L(2)，弹弹性模量分性模量分

48、别为别为E(1)和和E(2)，如，如图图所示。求出所示。求出这这两段的两段的应应力和力和应变应变。已。已知数据分知数据分别为别为F3=100N，第五十八页，本课件共有92页1 2 3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)L(2)21F2F323F1F3第五十九页，本课件共有92页【解解】1.1.离散化离散化 把把这这根根阶阶梯梯轴轴看成是由两个看成是由两个单单元元组组成的，成的，节节点点选选在截面在截面积积突突变处变处，两个，两个单单元的元的连连接接处处是一个是一个节节点，点，该该阶阶梯梯轴轴的两端的两端视为视为另外两个另外两个节节点，所以整个点，所以整个结结构共有构共有三个三个节节点。点。

49、这这根根轴轴是一是一维结维结构，并只受构，并只受轴轴向向载载荷，因荷，因此各此各单单元内只有元内只有轴轴向位移。三个向位移。三个节节点位置的位移量分点位置的位移量分别记为别记为 、。在整个在整个结结构中构中节节点点载载荷及荷及节节点位点位移均用大写字母移均用大写字母标记标记，其角，其角标为节标为节点在点在总总体体结结构中的构中的编码编码，简简称称总码总码。第六十页，本课件共有92页2.2.求求单单元元刚刚度矩度矩阵阵 该该矩矩阵阵中任意一个元素中任意一个元素 都称都称为单为单元元刚刚度系度系数，它表示数，它表示：该单元内除节点该单元内除节点 j 产生单位位移外，其余各节产生单位位移外，其余各节

50、点的位移均为零时在节点点的位移均为零时在节点 i 处所引起的载荷。处所引起的载荷。第六十一页，本课件共有92页3.3.总总体体刚刚度矩度矩阵阵的集成和的集成和总总体平衡方程的写出体平衡方程的写出 该阶该阶梯梯轴轴上三个上三个节节点位移点位移 、和三个和三个节节点点轴轴向向力力 分分别组别组成成该该整体整体结结构的构的节节点位移向量点位移向量 和和节节点点轴轴向力向力向量向量 。两向量两向量间间的的转换转换关系可表示关系可表示为为 或或 第六十二页，本课件共有92页 上上式中的式中的转转移矩移矩阵阵称称为为总总体体刚刚度矩度矩阵阵或或总总体特性矩体特性矩阵阵，其，其阶阶数等于数等于总总体体结结构