第2节分式线性变换优秀PPT.ppt

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1、第第2节分式线性变换节分式线性变换1现在学习的是第1页，共53页一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义2现在学习的是第2页，共53页(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的3现在学习的是第3页，共53页2 分式线性变换的分解4现在学习的是第4页，共53页(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转旋转位似位似(伸缩伸缩)平移平移5现在学习的是第5页，共53页旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换平移映射平移映射6现在学习的是第6页，共53页此变换可进一步分解

2、为此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换.规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.7现在学习的是第7页，共53页.即即:8现在学习的是第8页，共53页例例1试将线性变换试将线性变换分解为简单变换的复合分解为简单变换的复合.解解因此可分解为因此可分解为的复合的复合.9现在学习的是第9页，共53页例例2试证试证:除恒等变换外除恒等变换外,一切线性变换一切线性变换(7.3)恒有两个恒有两个相异的或一个二重的不动点相异的或一个二重的不动点证明证明线性变换线性变换(7.3)的不动点适合的不动点适合即即上面系数不全为零

3、上面系数不全为零,10现在学习的是第10页，共53页这时这时(7.3)为为有不动点有不动点11现在学习的是第11页，共53页不动点不动点二二 分式线性变换的共形性分式线性变换的共形性12现在学习的是第12页，共53页定义定义7.3由定义由定义7.3引入两个反演变换引入两个反演变换13现在学习的是第13页，共53页3 定理定理7.7分式线性变换分式线性变换(7.3)在扩充在扩充z平面上是共形的平面上是共形的.注注在无穷远点处在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性不考虑伸缩性的不变性.14现在学习的是第14页，共53页三三 分式线性变换的保交比性分式线性变换的保交比性1定义定义7.4注注15现在学习的

4、是第15页，共53页2 定理定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。在分式线性变换下，四点的交比不变。证明证明因此因此16现在学习的是第16页，共53页注注因此只需指定三对对应点因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的且除相差一个常数因子外是唯一的.17现在学习的是第17页，共53页3 定理定理7.9注注三对对应点唯一确定一分式线性变换三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明证明先考虑已给各点都是有限点的情形先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是设所求分式线性函数是那么，由那么，由18现在学习的是第18页，共53页得得同理，有同理，有因此，有因此，有19现在学习的

5、是第19页，共53页 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这这样的分式线性函数也是唯一的。样的分式线性函数也是唯一的。那么，由那么，由同理有同理有 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得这样的分式线性函数也是唯一的。得这样的分式线性函数也是唯一的。其其次次，如如果果已已给给各各点点除除 外外都都是是有有限限点点。则所求分式线性函数有下列的形式：则所求分式线性函数有下列的形式：20现在学习的是第20页，共53页例例3求将求将分别变为分别变为的分式线性变换的分式线性变换.解解所求的分式线性变换为所求的分式线

6、性变换为即即整理得整理得21现在学习的是第21页，共53页四四 分式线性变换的保圆周分式线性变换的保圆周(圆圆)性性对对(I)显然将圆周显然将圆周(或直线或直线)变为圆周变为圆周(或直线或直线).对对(II)型型:因圆周因圆周(或直线或直线)可表为可表为它表示圆周或直线它表示圆周或直线.22现在学习的是第22页，共53页1 定理定理7.10 分分式式线线性性变变换换将将平平面面上上圆圆周周(或或直直线线)变变为为圆圆周周(或直线或直线).注注1在扩充在扩充z平面上平面上,直线可视为过无穷远点的圆周直线可视为过无穷远点的圆周.事事实实上上,(7.11)可可写写成成注注2同时圆被共形变换成圆同时圆

7、被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性分式线性变换的保圆性.23现在学习的是第23页，共53页24现在学习的是第24页，共53页.25现在学习的是第25页，共53页注注3 在在扩扩充充z平平面面上上给给定定区区域域K及及D,其其边边界界都都是是圆圆周周,则则K必可必可共形变换成共形变换成D.注注4例例4 试决定在分式线性变换试决定在分式线性变换下实轴与上半下实轴与上半z平面及单位圆平面及单位圆的像的像.解解(1)因系数为实数因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面即上下两个半平面,26现在学习的是第

8、26页，共53页(2)扩充扩充z平面上的圆周由三个点决定平面上的圆周由三个点决定,27现在学习的是第27页，共53页五五 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性1定义定义7.5注注证明证明“必必 要要 性性”.28现在学习的是第28页，共53页则则所以所以“充充 分分 性性”29现在学习的是第29页，共53页.2 定理定理7.11证明证明30现在学习的是第30页，共53页.31现在学习的是第31页，共53页3 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性定理定理7.12证明证明由分式线性变换的保角性由分式线性变换的保角性,由定理由定理7.11,32现在学习的是第32页，共53页解解由定理

9、由定理7.12,例例5 求线性变换求线性变换变为上半平面变为上半平面,使将圆盘使将圆盘33现在学习的是第33页，共53页由分式线性变换的保交比性由分式线性变换的保交比性,所求的变换为所求的变换为即即整理后得整理后得34现在学习的是第34页，共53页六六 分式线性变换的应用分式线性变换的应用 由由于于线线性性变变换换具具有有共共形形性性,保保交交比比性性,保保圆圆(圆圆周周)性性和和保保对对称称点点性性,它它在在处处理理边边界界为为圆圆弧弧或或直直线线的的区区域域变变换换中中,起着重要的作用起着重要的作用,下面介绍一些类型下面介绍一些类型.例例635现在学习的是第35页，共53页事实上事实上,所

10、述变换将实轴变为实轴所述变换将实轴变为实轴,且当且当z为实数时为实数时即实轴变为实轴是同向的即实轴变为实轴是同向的,或或解解36现在学习的是第36页，共53页例例7解解故故37现在学习的是第37页，共53页即即故故解该方程组得解该方程组得故所的线性变换为故所的线性变换为38现在学习的是第38页，共53页例例8解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,39现在学习的是第39页，共53页因此这个变换应具有形式因此这个变换应具有形式,故可令故可令 从而所求的将上半平面变为单位圆的分式线性变换为从而所求的将上半平面变为单位圆的分式线性变换为40现在学习的是第40页，共53页注注1确定变换确定变换(

11、7.13)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注241现在学习的是第41页，共53页例例9解解由分式线线变换的保对称性由分式线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式因此所求变换具有形式42现在学习的是第42页，共53页利用单位圆周变为单位圆周的条件知利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令因此令 从从而而所所求求的的单单位位圆圆变变为为单单位位圆圆的的分分式式线线性性变变换换为为43现在学习的是第43页，共53页注注1 确定变换确定变换(7.14)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注244现在学习的是第44页，共53页例例1045现在学习的是第45页，

12、共53页解解作线线变换作线线变换复合上述两个变换得复合上述两个变换得整理得整理得46现在学习的是第46页，共53页即由即由得得从而所求的变换为从而所求的变换为47现在学习的是第47页，共53页例例11解解(1)先作伸缩变换先作伸缩变换(2)再作平移变换再作平移变换48现在学习的是第48页，共53页使得使得于是于是(4)排列对应点排列对应点49现在学习的是第49页，共53页(5)将以上线性变换复合起来将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为即得所求的线性变换为50现在学习的是第50页，共53页51现在学习的是第51页，共53页作业作业P318习题(一)4(1)(3);5;6P318习题(一)7(2);8(1);10;11 52现在学习的是第52页，共53页本节结束本节结束谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics53现在学习的是第53页，共53页