第1章 机器人运动学优秀PPT.ppt

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1、第第1章章 机器人运动学机器人运动学现在学习的是第1页，共72页 第第1章章 机器人运动学机器人运动学 (Kinematics of Robots)引言引言机器人位置与姿态的描述机器人位置与姿态的描述机器人运动学正问题机器人运动学正问题机器人运动学逆问题机器人运动学逆问题机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵现在学习的是第2页，共72页1.1 1.1 引引 言言（The Introduction）机器人运动学机器人运动学 正问题：定义正问题：定义 逆问题：定义逆问题：定义机器人动力学机器人动力学现在学习的是第3页，共72页基本概念基本概念（The Basic ConceptsThe Basic

2、Concepts）n n自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的数目称物体能够对坐标系进行独立运动的数目称为自由度为自由度(DOF,degree of freedom)(DOF,degree of freedom)。n n刚体具有刚体具有6 6个自由度个自由度n n三个旋转自由度三个旋转自由度 R R1 1,R R2 2,R R3 3n n三个平移自由度三个平移自由度T T1 1,T T2 2,T T3 3YXZR1R2R3T1T2T3现在学习的是第4页，共72页n n机动度：Degree of Mobilityn n关节：Jointn n连杆：Link自由度由机动度构成,机动度不一定是自由度.

3、123455个机动度，2个自由度现在学习的是第5页，共72页1.2 1.2 机器人位置与姿态的描述机器人位置与姿态的描述(The Description of Position and Posture)The Description of Position and Posture)0EGBZ0Tnzyx一个物体与机械手现在学习的是第6页，共72页位置与姿态的表示位置与姿态的表示n n位置描述：位置矢量位置矢量(position vector)(position vector)直角坐标系直角坐标系A,A,位置矢量位置矢量Ap p矩阵表示矩阵表示矢量和表示矢量和表示矢量的模矢量的模 ，单位矢量单位

4、矢量xAyAzAoApAp现在学习的是第7页，共72页一、机器人坐标系变换一、机器人坐标系变换(Coordinate Transformation)Ouvw Ouvw：P Puvwuvw=（P Pu u,P,Pv v,P,Pw w）T T Oxyz Oxyz：P Pxyzxyz=（P Px x,P,Py y,P,Pz z）T T 当当Ouvw坐标系绕一轴线转动后坐标系绕一轴线转动后，均可通过一个均可通过一个3x3旋转矩阵旋转矩阵R 将原坐标将原坐标Puvw变换到变换到Oxyz系中系中 的坐标的坐标Pxyz，即：即：P Pxyzxyz=R=R P Puvwuvw 现在学习的是第8页，共72页由矢

5、量分量的定义有由矢量分量的定义有由矢量分量的定义有由矢量分量的定义有：P Puvwuvw=p pu u i iu u+p pv v j jv v+p pw w k kw w p pu u、p pv v、p pw w分别表示分别表示分别表示分别表示P P沿沿沿沿OuOu、OvOv、Ow Ow 轴的分量轴的分量轴的分量轴的分量 P Px x=i ixxP P =i ix x i iu u p pu u+i ix x j jv v p pv v+i+ix x k kw w p pw w P Py y=i iyyP P =i iyyi iu u p pu u+i iy y j jv v p pv v+

6、i+iy y k kw w p pw w P Pz z=i izzP P =i izzi iu u p pu u+i iz z j jv v p pv v+i+iz z k kw w p pw w 将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：P Px x =i ix x i iu u i ix x j jv v i ix x k kw w P Pu u P Py y =i iyyi iu u i iy y j jv v i iy y k kw w P Pv v P Pz z =i izzi iu u i iz z j jv v i iz z k kw w P

7、 Pw w P Pxyzxyz=R=R P Puvwuvw 同样，也有同样，也有P Puvwuvw=QP=QPxyzxyz，QQR R1 1 R RT T现在学习的是第9页，共72页 如果如果如果如果Ouvw坐标系统绕坐标系统绕Ox轴转动轴转动角角，变换矩阵变换矩阵R Rx,x,称为绕称为绕Ox轴轴转动转动角的旋转矩阵，此时角的旋转矩阵，此时ix=iu，ix iu ix jv ix kw 1 0 0 R Rx,x,=iyiu iy jv iy kw =0 cos-sin iziu iz jv iz kw 0 sin cos 向量点乘：向量点乘：a b=|a|b|cos(a)现在学习的是第10页

8、，共72页类似地，绕类似地，绕类似地，绕类似地，绕Oy 轴转动轴转动角和绕角和绕Oz 轴转轴转角的角的33旋转矩阵分别为旋转矩阵分别为，cos 0 sin R Ry,y,=0 1 0 -sin 0 cos cos -sin 0 R Rz,z,=sin cos 0 0 0 1 矩阵矩阵R Rx,x,、R Ry,y,和和R Rz,z,称为基本旋转矩阵。称为基本旋转矩阵。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。现在学习的是第11页，共72页依次左乘（如果依次

9、左乘（如果uvw对对xyz旋转）旋转）依次右乘（如果依次右乘（如果uvw绕自己的坐标轴旋转）绕自己的坐标轴旋转）R=Rz,Ry,Rx,现在学习的是第12页，共72页n n例题：求表示绕Oy轴转角，然后绕Ow轴转角，再绕Ou轴转角的合成旋转矩阵。现在学习的是第13页，共72页n例题：坐标系B的初始位姿与参考坐标系A相同，坐标系B 相对于A的zA轴旋转30，再沿A的xA轴移动12，沿A的yA轴移动6。求旋转矩阵。解：现在学习的是第14页，共72页二、齐次坐标和变换矩阵二、齐次坐标和变换矩阵 齐次坐标是用齐次坐标是用齐次坐标是用齐次坐标是用n+l n+l 维坐标来描述维坐标来描述维坐标来描述维坐标来

10、描述n n维空间中的位置，其第维空间中的位置，其第维空间中的位置，其第维空间中的位置，其第n+1n+1个分量（元素）个分量（元素）个分量（元素）个分量（元素）称为比例因子。称为比例因子。称为比例因子。称为比例因子。P=(P=(P Px x,P Py y,P Pz z,)T T 在机器人学的应用中，一般将比例因子取为在机器人学的应用中，一般将比例因子取为在机器人学的应用中，一般将比例因子取为在机器人学的应用中，一般将比例因子取为1 1。机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：机器人系统运动分析

11、中，齐次变换矩阵写成以下形式：T T =R33 P31 =旋转矩阵旋转矩阵33 位置矢量位置矢量31 O13 I11 O13 1现在学习的是第15页，共72页若三维空间的位置矢量若三维空间的位置矢量若三维空间的位置矢量若三维空间的位置矢量P P表示成齐次坐标，即表示成齐次坐标，即表示成齐次坐标，即表示成齐次坐标，即 P P =p px x p py y pz z 1 1 T,1 0 0 0 cos 0 sin 0 T Tx x，=0 cos -sin 0 T Ty y，=0 1 0 0 0 sin cos 0 -sin 0 cos 0 0 0 0 1 0 0 0 1 cos -sin 0 0

12、1 0 0 dx T Tz z，=sin cos 0 0 T Ttran tran =0 1 0 dy 0 0 1 0 0 0 1 dz 0 0 0 1 0 0 0 1 Pxyz=T Puvw现在学习的是第16页，共72页课前提问：课前提问：（1）什么是机器人运动学的正问题和逆问题？（2）机器人的坐标变换矩阵的一般形式是什么？（3）连续的变换矩阵，什么情况下依次左乘、什么情况下依次右乘？（4）什么是齐次坐标和齐次变换？现在学习的是第17页，共72页1.3 1.3 机器人运动学正问题机器人运动学正问题(The Forward Kinematic Problem)Denavit Hartenber

13、g(D-H)Hartenberg(D-H)表示法表示法表示法表示法现在学习的是第18页，共72页1.坐标系的建立：坐标系的建立：坐标系的建立：坐标系的建立：n n关节机器人需建立关节机器人需建立关节机器人需建立关节机器人需建立n+1n+1个坐标系，其中参考个坐标系，其中参考个坐标系，其中参考个坐标系，其中参考(机机机机座座座座)坐标系为坐标系为坐标系为坐标系为OO0 0 x x0y y0 0z z0 0,，机械手末端的坐标系为，机械手末端的坐标系为，机械手末端的坐标系为，机械手末端的坐标系为Onxnynzn现在学习的是第19页，共72页 串串串串联联联联杆杆杆杆型型型型机机机机械械械械手手手手

14、是是是是由由由由一一一一系系系系列列列列通通通通过过过过连连连连杆杆杆杆与与与与其其其其活活活活动动动动关关关关节节节节连连连连接接接接在一起所组成在一起所组成在一起所组成在一起所组成 。如如如如图图图图所所所所示示示示，任任任任何何何何一一一一个个个个连连连连杆杆杆杆都都都都可可可可以以以以用用用用两两两两个个个个量量量量来来来来描描描描述述述述：一一一一个个个个是是是是公公公公共共共共垂垂垂垂线线线线距距距距离离离离a an n，另另另另一一一一个个个个是是是是与与与与a an n垂垂垂垂直直直直的的的的平平平平面面面面上上上上两两两两个个个个轴轴轴轴的的的的夹夹夹夹角角角角 n n，习习

15、习习惯惯惯惯上上上上称称称称a an n为为为为连连连连杆杆杆杆长长长长度度度度，n n称称称称为为为为连杆的扭转角连杆的扭转角连杆的扭转角连杆的扭转角。现在学习的是第20页，共72页 如如如如图图图图所所所所示示示示，在在在在每每每每个个个个关关关关节节节节轴轴轴轴上上上上有有有有两两两两个个个个连连连连杆杆杆杆与与与与之之之之相相相相连连连连，即即即即关关关关节节节节轴轴轴轴有有有有两两两两个个个个公公公公垂垂垂垂线线线线与与与与之之之之垂垂垂垂直直直直，每每每每一一一一个个个个连连连连杆杆杆杆一一一一个个个个。两两两两个个个个相相相相连连连连的的的的连连连连杆杆杆杆的的的的相相相相对对对

16、对位位位位置置置置用用用用d dn n和和和和 n n确确确确定定定定，d dn n是是是是沿沿沿沿着着着着n n关关关关节节节节轴轴轴轴两两两两个个个个垂垂垂垂线线线线的的的的距距距距离离离离，n n是是是是在在在在垂垂垂垂直直直直这这这这个个个个关关关关节节节节轴轴轴轴的的的的平平平平面面面面上上上上两两两两个个个个被被被被测测测测垂垂垂垂线线线线之之之之间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角，d dn n和和和和 n n分别称作分别称作分别称作分别称作连杆之间的距离及夹角连杆之间的距离及夹角连杆之间的距离及夹角连杆之间的距离及夹角。xn-1现在学习的是第21页，共72页 为了描述连杆之间的关系

17、，我们对每个连杆赋一个坐标系。为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。转转转转动动动动关关关关节节节节：关关关关节节节节变变变变量量量量为为为为 n n。连连连连杆杆杆杆n n的的的的坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点设设设设在在在在关关关关节节节节n n和和和和关关关关节节节节n+1n+1轴轴轴轴之之之之间间间间的的的的公公公公共共共共垂垂垂垂线线线线与与与与关关关关节节节节n+1n+1轴轴轴轴的的的的交交交交点点点点上上上上。在在在在关关关关节节节节轴轴轴轴相相相相交交交交的的

18、的的情情情情况况况况下下下下（无无无无公公公公垂垂垂垂线线线线），这这这这个个个个原原原原点点点点就就就就在在在在两两两两个个个个关关关关节节节节轴轴轴轴的的的的相相相相交交交交点点点点上上上上（a an n0 0）。如如如如果果果果两两两两个个个个关关关关节节节节轴轴轴轴平平平平行行行行（有有有有无无无无数数数数条条条条公公公公垂垂垂垂线线线线），则则则则原原原原点点点点的的的的选选选选择择择择要要要要使使使使下下下下一一一一个个个个连连连连杆杆杆杆的的的的关关关关节节节节距距距距离离离离为为为为0 0（d dn n0 0），连连连连杆杆杆杆n n的的的的z z轴轴轴轴与与与与n+1n+1关

19、关关关节节节节轴轴轴轴在在在在一一一一条条条条直直直直线线线线上上上上。x x轴轴轴轴与与与与任任任任何何何何存存存存在在在在的的的的公公公公共共共共垂垂垂垂线线线线成成成成一一一一条条条条直直直直线线线线，并并并并且且且且沿沿沿沿着着着着这这这这条条条条垂垂垂垂线线线线从从从从n n关关关关节节节节指指指指向向向向n+1n+1关关关关节节节节。在在在在相相相相交交交交关关关关节节节节的的的的情情情情况况况况下下下下，x x轴轴轴轴的的的的方方方方向向向向平平平平行行行行或或或或者者者者逆逆逆逆平平平平行行行行z zn-1n-1zzn n的的的的向向向向量量量量叉叉叉叉积积积积，应应应应该该该

20、该注注注注意意意意，这这这这个个个个条条条条件件件件对对对对于于于于沿沿沿沿着着着着关关关关节节节节n n和和和和n+1n+1之之之之间间间间垂垂垂垂线线线线的的的的x x轴轴轴轴同同同同样样样样满满满满足足足足。当当当当x xn-1n-1和和和和x xn n平平平平行行行行，且且且且有有有有相相相相同同同同的的的的指指指指向向向向时时时时，则则则则对对对对于于于于第第第第n n个个个个转转转转动动动动关关关关节节节节 n n0 0。连杆本身连杆本身连杆本身连杆本身的参数的参数的参数的参数连杆长度连杆长度连杆长度连杆长度a an n连杆两个轴的公垂线距离（连杆两个轴的公垂线距离（连杆两个轴的公

21、垂线距离（连杆两个轴的公垂线距离（x x方向）方向）方向）方向）连杆扭转角连杆扭转角连杆扭转角连杆扭转角 n n连杆两个轴的夹角（连杆两个轴的夹角（连杆两个轴的夹角（连杆两个轴的夹角（x x轴的扭转角）轴的扭转角）轴的扭转角）轴的扭转角）连杆之间连杆之间连杆之间连杆之间的参数的参数的参数的参数连杆之间的距离连杆之间的距离连杆之间的距离连杆之间的距离d dn n相连两连杆公垂线距离（相连两连杆公垂线距离（相连两连杆公垂线距离（相连两连杆公垂线距离（z z方向平移距）方向平移距）方向平移距）方向平移距）连杆之间的夹角连杆之间的夹角连杆之间的夹角连杆之间的夹角 n n相连两连杆公垂线的夹角（相连两连

22、杆公垂线的夹角（相连两连杆公垂线的夹角（相连两连杆公垂线的夹角（z z轴旋转角）轴旋转角）轴旋转角）轴旋转角）表表连杆参数连杆参数现在学习的是第22页，共72页 确定和建立每个坐标系的原则：确定和建立每个坐标系的原则：(1)zi 轴沿着第轴沿着第i关节的运动轴关节的运动轴;(2)xi 轴垂直于轴垂直于zi-1 轴和轴和zi 轴并指向离开轴并指向离开zi-1 轴的方向轴的方向;(3)yi 轴按右手坐标系的要求建立。轴按右手坐标系的要求建立。按照这些规则，第按照这些规则，第0号坐标在机座上的位置和方向可任选，号坐标在机座上的位置和方向可任选，只要只要z0 轴沿着第轴沿着第1关节运动轴。第关节运动轴

23、。第n 坐标系可放在手的任何部位，坐标系可放在手的任何部位，只要只要xn 轴与轴与zn-1 轴垂直。轴垂直。现在学习的是第23页，共72页z0z2z3z4x3x2x0 x4021z5x5z6x66435z1x1现在学习的是第24页，共72页 2、几何参数的定义、几何参数的定义 描述串联机器人相邻坐标系之间的关节关系可归纳为如描述串联机器人相邻坐标系之间的关节关系可归纳为如 下下4个参数：个参数：i :绕绕zi-1 轴轴(右手规则右手规则)由由xi-1轴轴 指向指向xi 轴的关节角轴的关节角;di :从第从第i-1坐标系的原点到坐标系的原点到zi-1轴轴 和和xi 轴的交点沿轴的交点沿zi-1轴

24、的距离轴的距离;ai :从从zi-1和和xi的交点到第的交点到第i坐标系坐标系 原点沿原点沿xi 轴的偏置距离轴的偏置距离;i i :绕绕绕绕x xi i 轴轴轴轴(右手规则右手规则右手规则右手规则)由由由由z zi i-1-1 轴转轴转轴转轴转 向向向向z zi i 轴的偏角。轴的偏角。轴的偏角。轴的偏角。现在学习的是第25页，共72页 3、建立、建立i 坐标系和坐标系和i-1坐标系的齐次变换矩阵：坐标系的齐次变换矩阵：现在学习的是第26页，共72页第第第第i i 坐标系相对于机座齐坐标系的次变换矩阵是各齐次变换矩阵坐标系相对于机座齐坐标系的次变换矩阵是各齐次变换矩阵坐标系相对于机座齐坐标系

25、的次变换矩阵是各齐次变换矩阵坐标系相对于机座齐坐标系的次变换矩阵是各齐次变换矩阵i-1i-1Ai的连乘积：的连乘积：4 4、得出机器人手爪到机座的变换矩阵、得出机器人手爪到机座的变换矩阵、得出机器人手爪到机座的变换矩阵、得出机器人手爪到机座的变换矩阵现在学习的是第27页，共72页0 0T Tn n=0 0A A1 1 1 1A A2 2.n-1n-1A An nn为手的法向矢量，为手的法向矢量，o为手的滑动矢量，为手的滑动矢量，a为手的接近矢量，为手的接近矢量，p为手的位置矢量为手的位置矢量现在学习的是第28页，共72页例题例题例题例题1 1：建立二秆机构的末端的变换矩阵建立二秆机构的末端的变

26、换矩阵建立二秆机构的末端的变换矩阵建立二秆机构的末端的变换矩阵同理：现在学习的是第29页，共72页最后得到的变换矩阵为：最后得到的变换矩阵为：最后得到的变换矩阵为：最后得到的变换矩阵为：现在学习的是第30页，共72页z0z2z3z4x3x2x0 x4021z5x5z6x66435 D-H参数表：参数表：关节关节i ii ii id di ia ai icos cos i isina sina i i1 12 23 34 45 56 6z1x1例题例题2:PUMA机器机器人的坐标变换人的坐标变换矩阵矩阵现在学习的是第31页，共72页z0z2z3z4x3x2x0 x4021z5x5z6x66435

27、 D-H参数表：参数表：关节关节i ii ii id di ia ai icos cos i isina sina i i1 11 10 00 00 02 22 2-90-90d d2 20 03 33 30 0d d3 3a a2 24 44 490900 00 05 55 5-90-90d d4 40 06 66 69090d d6 60 0z1x1现在学习的是第32页，共72页现在学习的是第33页，共72页例题例题3:3:斯坦福机械手斯坦福机械手斯坦福机械手斯坦福机械手一、建立坐标系一、建立坐标系二、二、D-H参数表参数表 三、三、i-1Ai坐标变换矩阵坐标变换矩阵0123456Z0X0

28、Z1X1Z2X2Z3X3Z4X4Z5X5Z6X6现在学习的是第34页，共72页表表表表 斯坦福机械手连杆参数斯坦福机械手连杆参数斯坦福机械手连杆参数斯坦福机械手连杆参数 Link Link i i i i i i i i a a i i i i d d i i i i cos cos i i i i sin sin i i i i 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 2 2 2 2 -90 -90 0 d 0 d2 2 0 0 1 1 3 0 3 0 9090 0 d 0 d3 3 1 01 0 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 5 5 5 5 -

29、90 -90 0 0 0 1 0 0 0 1 6 6 6 6 90 90 0 d 0 d6 6 1 0 1 0现在学习的是第35页，共72页斯坦福机械手的斯坦福机械手的A A变换如下：变换如下：C C1 1 0 0 -S S1 1 0 0 S S1 1 0 C 0 C1 1 0 0 0 0A A1 1=0 =0 -1 0 01 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C2 2 0 S0 S2 2 0 0 S S2 2 0 0 -C C2 2 0 0 1 1A A2 2=0 1 0 d=0 1 0 d2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

30、1 0 0 2 2A A3 3=0 0 1 d=0 0 1 d3 3 0 0 0 1 0 0 0 1 现在学习的是第36页，共72页 C C4 4 0 0 -S S4 4 0 0 S S4 4 0 C 0 C4 4 0 0 3 3A A4 4=0 =0 -1 0 01 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C5 5 0 S 0 S5 5 0 0 S S5 5 0 0 -C C5 5 0 0 4 4A A5 5=0 1 0 0=0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C6 6 -S S6 6 0 0 0 0 S S6 6 C C6 6 0 0 0 0 5 5A A6 6 =0

31、0 1 0=0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1现在学习的是第37页，共72页斯坦福机械手斯坦福机械手A A变换的积如下所示，这些是从连杆变换的积如下所示，这些是从连杆6 6开始，然后逐步回到基坐标。开始，然后逐步回到基坐标。C C6 6 -S S6 6 0 0 0 0 S S6 6 C C6 6 0 0 0 0 5 5T T6 6 =0 0 1 0 =0 0 1 0 （3.443.44）0 0 0 10 0 0 1 C C5 5C C6 6 -C C5 5S S6 6 S S5 5 0 0 S S5 5C C6 6 -S S5 5S S6 6 -C C5 5 0 0 4 4T T6

32、 6 =S=S6 6 C C6 6 0 0 0 0 （3.453.45）0 0 0 10 0 0 1 C C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6 -C C4 4C C5 5S S6 6-S S4 4C C6 6 C C4 4S S5 5 0 0 S S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4S S6 6 -S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 S S4 4S S5 5 0 0 3 3T T6 6 =-S S5 5C C6 6 S S5 5S S6 6 C C5 5 0 0 （3.463.46）0 0 0 10 0 0 1现在学习的是第38页，共

33、72页 C C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6 -C C4 4C C5 5S S6 6-S S4 4C C6 6 C C4 4S S5 5 0 0 S S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4S S6 6 -S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 S S4 4S S5 5 0 0 2 2T T6 6 =-S S5 5C C6 6 S S5 5S S6 6 C C5 5 d d3 3 （3.473.47）0 0 0 1 0 0 0 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5C

34、C6 6 -C C2 2(C(C4 4C C5 5S S6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5S S6 6 S S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)+C)+C2 2S S5 5C C6 6 -S S2 2(C(C4 4C C5 5 S S6 6+S+S4 4C C6 6)-C C2 2S S5 5S S6 6 1 1T T6 6 =S=S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4C C6 6 -S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 0 0 0 0 C C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5

35、 5 S S2 2d d3 3 S S2 2C C4 4S S5 5-C C2 2C C5 5 -C C2 2d d3 3 S S4 4S S5 5 d d2 2 （3.483.48）0 10 1现在学习的是第39页，共72页 n nx x o ox x a ax x p px x n ny y o oy y a ay y p py y 0 0T T6 6 =n=nz z o oz z a az z p pz z 0 0 0 1 0 0 0 1其中其中 n nx x=C=C1 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5C C6

36、6 -S S1 1(S(S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)n ny y=S=S1 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5C C6 6 +C+C1 1(S(S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)n nz z=-S S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-C C2 2S S5 5C C6 6 o ox x=C=C1 1 -C C2 2(C(C4 4C C5 5S S6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5C C6 6 -S

37、S1 1(-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)o oy y=S=S1 1 -C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5S S6 6 +C+C1 1(-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)o oz z=S=S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6+S+S4 4C C6 6)+C)+C2 2S S5 5S S6 6 a ax x=C=C1 1(C(C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5 5)S S1 1S S4 4C C5 5 a ay y=S=S1 1(

38、C(C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5 5)+C)+C1 1S S4 4S S5 5 a az z=S S2 2C C4 4S S5 5+C+C2 2C C5 5 p px x=C=C1 1S S2 2d d3 3 S S1 1d d2 2 p py y=S=S1 1S S2 2d d3 3+C+C1 1d d2 2 p pz z=C=C2 2d d3 3现在学习的是第40页，共72页0Tn=0A1 1A2.n-1An现在学习的是第41页，共72页课前提问：课前提问：（1）PUMA机器人的坐标变换矩阵机器人的坐标变换矩阵D-H参数？参数？（2）矩阵的逆矩阵如何求解？）矩阵的

39、逆矩阵如何求解？现在学习的是第42页，共72页定义：若定义：若定义：若定义：若|A|0,|A|0,则方阵则方阵A A可逆，且可逆，且A A*称为称为称为称为A A的伴随阵，由行列式的伴随阵，由行列式的伴随阵，由行列式的伴随阵，由行列式|A A|的方阵各个元素的代数余子的方阵各个元素的代数余子的方阵各个元素的代数余子的方阵各个元素的代数余子式所式所式所式所A Aij ij构成。构成。构成。构成。另一种求法：另一种求法：另一种求法：另一种求法：行列式变换现在学习的是第43页，共72页 1.4 1.4 机器人运动学机器人运动学逆问题逆问题 (The Inverse Kinematic Problem

40、)现在学习的是第44页，共72页0EGBZ0Tnzyx一个物体与机械手有向变换图GBET6Z0Z Z：机器人基座相对于基础坐标系：机器人基座相对于基础坐标系0 0T Tn n：手部端点相对于机器人基座手部端点相对于机器人基座Z Z：末端执行器相对于手部端点物体用变换：末端执行器相对于手部端点物体用变换 B B：物体参考坐标系相对：物体参考坐标系相对于基础坐标系于基础坐标系GG：末端执行器对物体的抓持位置相对于物体参考坐标系：末端执行器对物体的抓持位置相对于物体参考坐标系 Z 0Tn E =B G 这个方程可以用有向变换图来表示。图的每一段弧表示一个变换。从它的定义的坐标系向外指向。用 Z-1左

41、乘和用E-1右乘方程，得到 0Tn=Z-1 B G E-1机器人坐标变换关系：机器人坐标变换关系：现在学习的是第45页，共72页 从从有有向向变变换换图图上上我我们们可可以以直直接接得得到到上上述述结结果果，从从0 0T Tn n弧弧线线的的尾尾部部开开始始，沿沿着着图图形形顺顺时时针针依依次次列列出出各各个个变变换换，直直到到0 0T Tn n弧弧的的箭箭头头为为止止。在在逆逆变变换换时时，我我们们从从0 0T T6 6弧弧的的箭箭头头开开始始，按按逆逆时针方向依次列出各个变换，直到时针方向依次列出各个变换，直到T T6 6弧的起始点为止，则可得到弧的起始点为止，则可得到0 0T Tn n的

42、逆的逆0 0T Tn n-1 1=EG=EG-1 1BB-1 1ZZ 作作为为进进一一步步的的例例子子，假假设设一一个个物物体体 BB的的位位置置不不知知道道，但但机机械械手手移移动动，使使得得末末端端抓抓手手正正好好定定位位在在物物体体上上面面。然然后后用用 G G-11右右乘乘式式（2.612.61）求求出出 BB。或或者者在在有有向向变变换换图图中中从从 BB的尾部沿着逆时针方向到达弧的尾部沿着逆时针方向到达弧 BB的箭头，直接得到同样结果。的箭头，直接得到同样结果。B=ZB=Z0 0T Tn nEGEG-1 1同样，我们可以用有向变换图求出变换的连接组。例如同样，我们可以用有向变换图求

43、出变换的连接组。例如ZZ0 0T Tn n=BGE=BGE-1 1BGE0 0T6Z图2.20有向变换图的另一种形式现在学习的是第46页，共72页现在学习的是第47页，共72页现在学习的是第48页，共72页 现在学习的是第49页，共72页现在学习的是第50页，共72页同时可确定d3为 用 依次左乘方程式可得以下4个方程式现在学习的是第51页，共72页n n计算得计算得n n式中式中现在学习的是第52页，共72页n n由式中第3行第3列为0可得n n即即n n解得解得现在学习的是第53页，共72页n n由式第1行3列和第2行3列可得n n解得n n由第4个方程式可得现在学习的是第54页，共72页

44、类似的有,第1行2列和2行2列对应元素相等得可得现在学习的是第55页，共72页1.5 1.5 机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵(Jacobian Matrix)意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关 系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间 的关系。的关系。的关系。的关系。一、雅可比矩阵的定义：一、雅可比矩阵的定义：一、雅可比矩

45、阵的定义：一、雅可比矩阵的定义：n n自由度机器人，其关节变量向量可写为自由度机器人，其关节变量向量可写为自由度机器人，其关节变量向量可写为自由度机器人，其关节变量向量可写为 Q (q1,q2,qn)T ，手部在基础坐标中，手部在基础坐标中，手部在基础坐标中，手部在基础坐标中 的位置和姿态为的位置和姿态为的位置和姿态为的位置和姿态为P,P,则：则：则：则：P P (xe ye ze ex ey ez)T (p1 p2 p3 p4 p5 p6 )T现在学习的是第56页，共72页 P 的各个元素都是的各个元素都是n个关节变量的函数：个关节变量的函数：现在学习的是第57页，共72页二、雅可比矩阵的求

46、法二、雅可比矩阵的求法二、雅可比矩阵的求法二、雅可比矩阵的求法P P的前的前的前的前3 3个元素表示手的线速度，后个元素表示手的线速度，后个元素表示手的线速度，后个元素表示手的线速度，后3 3个元个元个元个元 素表示手的角速度。素表示手的角速度。素表示手的角速度。素表示手的角速度。可以将可以将可以将可以将P P写成分块形式：写成分块形式：写成分块形式：写成分块形式：现在学习的是第58页，共72页 1 1、J JLi Li 的求法的求法的求法的求法 a a、第、第、第、第i i 个关节为移动关节：个关节为移动关节：个关节为移动关节：个关节为移动关节：设某时刻仅此关节运动，其设某时刻仅此关节运动，

47、其设某时刻仅此关节运动，其设某时刻仅此关节运动，其余关节静止不动余关节静止不动余关节静止不动余关节静止不动:v ve e=J JLiLiq qi i 设设设设b bi-1i-1为为为为z zi-1i-1轴上的单位矢量：轴上的单位矢量：轴上的单位矢量：轴上的单位矢量：.现在学习的是第59页，共72页b b、第、第、第、第i i个关节为转动关节时个关节为转动关节时个关节为转动关节时个关节为转动关节时，现在学习的是第60页，共72页 2 2、JAi的求法的求法 a、b、总总总总 结结结结:现在学习的是第61页，共72页3.确定bi-1和ri-1,e用b表示zi-1轴上的单位向量把它转换在基础坐标系中

48、,即为如图所示,用O,Oi-1,On分别表示基础坐标系,i-1号坐标系及手部坐标系原点。用矢量x表示在各自坐标系中的原点。OOnOi-1ri-1,e现在学习的是第62页，共72页把ri-1,e用齐次坐标表示,令所以现在学习的是第63页，共72页x0y0 x1y1x2y212r1,e现在学习的是第64页，共72页现在学习的是第65页，共72页三、雅可比矩阵的逆三、雅可比矩阵的逆 对于在三维空间运动的对于在三维空间运动的 n 关节机器人，雅可比矩关节机器人，雅可比矩阵的阶数为阵的阶数为6n。当当n=6时，时，J是是66方阵可直接求其逆。方阵可直接求其逆。当当n6时，时，J不是方阵，通常用其伪逆表示

49、。不是方阵，通常用其伪逆表示。J+=J T(JJ T)-1现在学习的是第66页，共72页四、雅可比矩阵的应用四、雅可比矩阵的应用 1 1、分离速度控制：、分离速度控制：、分离速度控制：、分离速度控制：增量控制：增量控制：增量控制：增量控制：现在学习的是第67页，共72页2、在静力分析中的应用：、在静力分析中的应用：现在学习的是第68页，共72页证明：现在学习的是第69页，共72页 3、加速度关系：、加速度关系：现在学习的是第70页，共72页 第1章 结 束现在学习的是第71页，共72页关节1 2 3 4 5 6 e d b c aMotoman UP6机器人运动学分析机器人运动学分析:现在学习的是第72页，共72页