辽宁实验中学2017-2018年度学年高二上学期期末专业考试数学(文)试题含解析.doc

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1、#*辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校学校 2017-20182017-2018 学年高二上学期期末考试数学（文）试题学年高二上学期期末考试数学（文）试题第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 对于常数， “”是“方程的曲线是双曲线“的” （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要

2、不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程即为，故该方程表示双曲线等价于同号，即所以“”是“方程的曲线是双曲线”的充分必要条件选 C2. 若，则下列不等式中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由不等式的性质可得选项 B,C,D 正确对于选项 A，由于，所以，故因此 A 不正确选 A3. 下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】选项 A 中，由于不一定为正，故最小值为 4 不成立选项 B 中，由于，故，当且仅当，即时等号成立故 B 正确选项 C 中，但等号成立时需满足，不合题意，故 C 不正确#*选项

3、D 中， 不一定为正数，故 D 不正确综上选项 B 正确选 B4. 已知实数满足，则目标函数的最小值是（ ）A. B. 15 C. 0 D. 【答案】A【解析】作出可行域如图：当直线向上移动，过点 A 时， 有最小值，由解得，所以，故选 A.5. 下列命题中，说法错误的是（ ）A. “若 ，则 ”的否命题是“若，则”B. “是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件C. “ ”的否定是“ ”D. “若，则是偶函数”的逆命题是真命题【答案】C【解析】选项 A 中，由否命题的定义知，结论正确选项 B 中，由“是真命题”可得“是真命题” ，反之不成立故“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件所以 B

4、 正确选项 C 中， “ ”的否定是“ ” ，故 C 不正确选项 D 中，所给命题的逆命题为“若是偶函数，则”为真命题故 D 正确#*选 C6. 设，若是 与的等比中项，则的最小值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】是 与的等比中项，当且仅当且，即时等号成立选 D7. 已知分别是椭圆的左、右焦点， 是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以。在中，因为，所以，由椭圆定义可得，所以。故选 A。 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。由 是以为直

5、径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形。由求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率。8. 设为等比数列的前 项和，则 （ ）A. B. C. 2 D. 17【答案】A#*.故答案选 A。9. 在等差数列中，是其前 项和，则（ ）A. 11 B. C. 10 D. 【答案】B【解析】由等差数列的知识可得，数列为等差数列，且首项为，设其公差为 ，则，选 B10. 设分别是双曲线的左右焦点，点.若，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】如图，由题意得点M在直线上，则是直角三角形，其中，#*且，则，整理得，解得或(舍去)选 C点睛：求

6、椭圆或双曲线的离心率（或范围）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于的方程或不等式，消去 后转化为关于的方程或不等式，再根据得到关于离心率 的方程或不等式，求解后可得离心率或其范围11. 设为等差数列，若，且它的前 项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）A. 18 B. 19 C. 20 D. 21【答案】C【解析】为等差数列,有最小值，则，又，说明， ，则 ， ，则为最小正值.选 C.12. 已知定义在 上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在 上的零点个数为（ ）A. 5 B. 3 C. 1 或 3 D. 1【答案】D#*

7、【解析】根据题意可构造函数 则 由题当时，满足， ， 即函数 在 时是增函数，又 当 成立，对任意是奇函数， 时， 即只有一个根就是 0故选 D第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 函数的递增区间为_【答案】【解析】，由，解得函数的单调递增区间为答案：（也对）14. 在数列中，且数列是等比数列，则_【答案】【解析】试题分析：由于数列是等比数列，所以，#*所以公比是 ，所以数列的通项公式是，进而 ，故答案填.考点：1.通项公式；2.等比数列.15. 已知函数，若函数在区间上

8、是单调增函数，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由，得函数在区间上是单调增函数，在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立令，则，在上单调递减故实数 的取值范围是答案：16. 抛物线的焦点为 ，已知点为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则的最大值为 _【答案】#*【解析】连AF、BF，设，由抛物线定义得，过 A,B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则四边形ABPQ为梯形，MN 为中位线，则在中，由余弦定理得，又，故的最大值为答案： 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大解题时可先建立关于某个参数的目标函数

9、，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 若数列满足.#*（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若数列的前 项和为，求证：.【答案】(1)见解析， (2)见解析.【解析】试题分析：（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列的通项公式

10、，可得数列的通项公式 （2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可试题解析：（1)证明： ，又，数列是首项为，公比为 2 的等比数列， （2）由（1）知，.18. 已知函数.（1）若在 上恒成立，求实数 的取值范围；（2）解关于 的不等式.【答案】(1) (2) 当时，的解集为；当时，的解集为 ；当时，的解集为；当时，的解集为#*.【解析】试题分析：（1）由条件可得不等式在 上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围 （2）原不等式化为，根据 的不同取值解不等式即可试题解析：（1）由在 上恒成立，可得在 上恒成立，解得实数 的取值范围为（2）由不等式得当时，不等式等价于，解得 ；当时

11、，不等式等价于，无解；当时，不等式等价于，解得；当时，不等式等价于，解得或；综上当时，的解集为；当时，的解集为 ；当时，的解集为；当时，的解集为.点睛： （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集#*（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类19. 已知过点的动直线 与抛物线相交于两点.当直线 的斜率是 时，.（1）求抛物线 的方程；（2）设线段的

12、中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用点斜式先写出直线 的方程，令直线与抛物线联立，消参得到关于 y 的方程，利用韦达定理，得到和，再利用，解出，得到抛物线的方程；第二问，设出直线 的方程，令抛物线与直线联立，消参得到关于 x 的方程，利用韦达定理，得到 BC 的中点坐标，从而得到 BC 的中垂线方程，令 x=0，得到中垂线在 y 轴上的截距，再通过配方法求范围.试题解析：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当

13、直线 l 的斜率是时，l 的方程为 y(x4)，即x2y4.由得 2y2(8p)y80，,又，y24y1，由及 p0 得：y11，y24，p2，得抛物线 G 的方程为 x24y.(2)设 l：yk(x4)，BC 的中点坐标为(x0，y0)，由得 x24kx16k0，y0k(x04)2k24k.线段 BC 的中垂线方程为 y2k24k (x2k)，线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由 16k264k0 得 k0 或 k4. b(2，)#*考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题.20. 已知数列，为数列的前 项和，.（1）求数列的通项公式；（2

14、）证明为等差数列.（3）若数列的通项公式为，令.为的前 项的和，求.【答案】(1) (2)见解析；（3）【解析】试题分析：试题解析：（1），,.当时， 数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列， . #*（2），又，数列是首项为 1，公差为 1 的等差数列.（3）由（2)知 , ，-得：.21. 已知椭圆的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于两点.（1）求该椭圆的离心率；（2）设直线和分别与直线交于点，问： 轴上是否存在定点 使得？乳品存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.#*【答案】(1) (2) 轴上存在定点或，使得【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出 a,b,c 的值，

15、求出离心率；（2）假设在 x 轴上存在点 p，设直线 BC 的方程为，B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出的表达式，求出 M,N 的坐标，由MPNP，求出 P 点的坐标，即得出定点。试题解析： (1)由椭圆方程可得a2，b，从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e .(2)依题意，直线BC的斜率不为 0，设其方程为xty1.将其代入 1，整理得(43t2)y26ty90.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y (x2)，从而可得M(4，)，同理可得N(4，)假设x轴上存在定点P(p，0)使得MPNP，则有0.

16、所以(p4)20.将x1ty11，x2ty21 代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1 或p7.所以x轴上存在定点P(1，0)或P(7，0)，使得MPNP.点睛：本题主要考查椭圆的几何性质以及定点问题，属于难题。本题关键是利用韦达定理求出的表达式，再表示出 M,N 的坐标。22. 已知函数（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；#*（2）若，且曲线与总存在公共的切线，求正数 的最小值.【答案】(1)(2) 【解析】试题分析：（1）根据可求得 （2）根据导数的几何意义可求得函数在点处的切线方程为，由得，由两曲线总存在公切线可得有解，即关于 的方程有解，分离参数后转化为函数的最值问题求解即可试题解析：（1)，依据题意得，即，解得.（2）当时， ，设切点为，则，曲线在点处的切线方程为：，即由消去 y 得，总存在公切线，总有解，即关于 的方程总有解.,解得，#*方程总有解令，则，则当时，单调递减；当时，单调递增，解得，正数 的最小值故 . 点睛：（1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究的问题来处理（2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域（或最值）的问题注意以下结论：有解等价于 的范围即为函数的值域；有解等价于；有解等价于