2018届初中数学中考复习专题【二次函数压轴题】.docx

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1、2018届初中数学中考复习专题二次函数压轴题2018年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类例1如图1, 已知抛物线经过点A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B, C重合）, 过M作MNy轴交抛物线于N, 若点M的横坐标为m, 请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下, 连接NB、NC, 是否存在m, 使BNC的面积最大? 若存在, 求m的值；若不存在, 说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合图1巩固1如图2, 抛物线y?ax?23x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点, 与y轴交于C点, 已2知B

2、点坐标为（4, 0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置, 并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点, 求MBC的面积的最大值, 并求出此时M点的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想第1页共9页图2平行四边形类例2如图3, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=x2+mx+n经过点A（3, 0）、B（0, 3）, 点P是直线AB上的动点, 过点P作x轴的垂线交抛物线于点M, 设点P的横坐标为t（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式（2）若点P在第四象限, 连接AM、BM, 当线段PM最长时, 求ABM的面积（3）是否存在这样的点P, 使得以点P、

3、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形? 若存在, 请直接写出点P的横坐标；若不存在, 请说明理由图3等腰三角形类例3如图, 点A在x轴上, OA=4, 将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上, 是否存在点P, 使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在, 求点P的坐标；若不存在, 说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论第2页共9页巩固3在平面直角坐标系中, 现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限, 斜靠在两坐标轴上, 且点A（0, 2）, 点C（1, 0）, 如图所示：抛物线

4、y=ax2+ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外）, 使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形? 若存在, 求所有点P的坐标；若不存在, 请说明理由规律探索类例4如图, 已知点A1、A2、A3、A4、An在x轴的正半轴上, 且横坐标依次为连续的正整数, 过2点A1、A2、A3、A4、An分别作x轴的垂线, 交抛物线y=x+x于点B1、B2、B3、B4、Bn, 交过点B1的直线y=2x于点C2、C3、C4、Cn. 若B1C2B2、B2C3B3、B3C4B4、BnCn?1Bn?1的面积分别为S1、S2、S3、Sn. 求S2S1与S3

5、S2的值；猜想SnSn?1与n的数量关系, 并说明理由；22若将抛物线“y=x+x”改为“y=x+bx+c”,直线“y=2x”改为“y=(b+1)x+c”, 其它条件不变, 请猜想SnSn-1与n的数量关系（直接写出答案）. B4yB3C4CB2C2B1AAAOA1第3页共9页x综合类例5如图, 已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5, 0）, 另一个交点为A, 且与y轴交于点C（0, 5）（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MNy轴交直线BC于点N,求MN的最大值；（3）在（2）的条件下, MN取得最大值时, 若点P是抛

6、物线在x轴下方图象上任意一点, 以BC为边作平行四边形CBPQ, 设平行四边形CBPQ的面积为S1, ABN的面积为S2, 且S1=6S2, 求点P的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题巩固6如图, 抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0, 1）, 顶点为Q（2, 3）, 点D在x轴正半轴上, 且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E, 求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下, 若点P是线段QE上的动点, 点F是线段OD上的动点, 问：在P点和F点移动过程中, PCF的周长是否存在最小值

7、? 若存在, 求出这个最小值；若不存在, 请说明理由第4页共9页2014年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题参考答案例题1考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标, 直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式, 已知点M的横坐标, 代入直线BC、抛物线的解析式中, 可得到M、N点的坐标, N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长（3）设MN交x轴于D, 那么BNC的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MN?OB, MN的表达式在（2）中已求得, OB的长易知, 由此列出关于SBNC、m的

8、函数关系式, 根据函数的性质即可判断出BNC是否具有最大值解答：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x3）, 则：a（0+1）（03）=3, a=1；抛物线的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b, 则有：, 解得；故直线BC的解析式：y=x+3已知点M的横坐标为m, MNy, 则M（m, m+3）、N（m, m2+2m+3）；故MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）（3）如图2；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MN?OB, SBNC=（m2+3m）?3=（m）2+（0m3）；当m=时, BNC的面积最大,

9、 最大值为图2巩固1考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数, 只需将B点坐标代入解析式中即可(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标, 然后通过证明ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置, 由此确定圆心坐标(3)MBC的面积可由SMBC=BCh表示, 若要它的面积最大, 需要使h取最大值, 即点M到直线BC的距离最大, 若设一条平行于BC的直线, 那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时, 该交点就是点M解答：（1）将B（4, 0）代入抛物线的解析式中, 得：抛物线的解析式为：y=x2x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1, 0）、C（0

10、, 2）；OA=1, OC=2, OB=4, 即：OC2=OA?OB, 又：OCAB, OACOCB, 得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90, ABC为直角三角形, AB为ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点, 且坐标为：（, 0）（3）已求得：B（4, 0）、C（0, 2）, 可得直线BC的解析式为：y=x2；设直线lBC, 则该直线的解析式可表示为：y=x+b, 当直线l与抛物线只有一个交点时, 可列方程：x+b=x2x2, 即：x22x2b=0, 且=0；44（2b）=0, 即b=4；直线l：y=x4所以点M即直线l和抛物线的唯一交点, 有：,

11、解得：即M（2, 3）过M点作MNx轴于N, SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=2（2+3）+2324=4图4图5第5页共9页例2考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3, 0）B（0, 3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b, 得到关于m、n的两个方程组, 解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t, t3）, 则M（t, t22t3）, 用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长, 即PM=（t3）（t22t3

12、）=t2+3t, 然后根据二次函数的最值得到;当t=时, PM最长为=, 再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3）由PMOB, 根据平行四边形的判定得到当PM=OB时, 点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形, 然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有, 所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3, （t22t3）（t3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3, t23t=3, 分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值解答：解：（1）把A（3, 0）B（0, 3）代入y=x2+mx+n, 得解得, 所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线AB

13、的解析式是y=kx+b, 把A（3, 0）B（0, 3）代入y=kx+b, 得, 解得, 所以直线AB的解析式是y=x3；（2）设点P的坐标是（t, t3）, 则M（t, t22t3）, 因为p在第四象限, 所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t, 当t=时, 二次函数的最大值, 即PM最长值为=, 则SABM=SBPM+SAPM=（3）存在, 理由如下：PMOB, 当PM=OB时, 点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形, 当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有, 所以不可能有PM=3当P在第一象限：PM=OB=3, （t22t3）（t3）=3, 解得t1=P点的横坐标是

14、；（舍去）, t2=, t2=图7（舍去）, 所以当P在第三象限：PM=OB=3, t23t=3, 解得t1=所以P点的横坐标是或, 所以P点的横坐标是例题3分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置, 然后过B做x轴的垂线, 通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标（2）已知O、A、B三点坐标, 利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式, 可得到抛物线的对称轴, 然后先设出P点的坐标, 而O、B坐标已知, 可先表示出OPB三边的边长表达式, 然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论, 然后分辨是否存在符合条件的P点解答：第6页共9页解：

15、（1）如图, 过B点作BCx轴, 垂足为C, 则BCO=90, AOB=120, BOC=60, 又OA=OB=4, OC=OB=4=2, BC=OB?sin60=4=2, 点B的坐标为（2, 2）；（2）抛物线过原点O和点A、B, 可设抛物线解析式为y=ax2+bx, 将A（4, 0）, B（22）代入, 得, 解得, 此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在, 如图, 抛物线的对称轴是直线x=2, 直线x=2与x轴的交点为D, 设点P的坐标为（2, y）, 若OB=OP, 则22+|y|2=42, 解得y=2, 当y=2时, 在RtPOD中, PDO=90, sinPOD=, POD=60

16、, POB=POD+AOB=60+120=180, 即P、O、B三点在同一直线上, y=2不符合题意, 舍去, 点P的坐标为（2, 2）若OB=PB, 则42+|y+2|2=42, 解得y=2, 故点P的坐标为（2, 2）, 若OP=BP, 则22+|y|2=42+|y+2|2, 解得y=2, 故点P的坐标为（2, 2）, 综上所述, 符合条件的点P只有一个, 其坐标为（2, 2）, 例题5考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n, 将B（5, 0）, C（0, 5）两点的坐标代入, 运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理, 将B（5, 0）, C（0

17、, 5）两点的坐标代入y=x2+bx+c, 运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差, 据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式, 根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出ABN的面积S2=5, 则S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD, 根据平行四边形的面积公式得出BD=3, 过点D作直线BC的平行线, 交抛物线与点P, 交x轴于点E, 在直线DE上截取PQ=BC, 则四边形CBPQ为平行四边形证明EBD为等腰直角三角形, 则BE=BD=6, 求出E的坐标为（1, 0）, 运用待定系数法求出直线PQ的解

18、析式为y=x1, 然后解方程组, 即可求出点P的坐标解答：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n, 将B（5, 0）, C（0, 5）两点的坐标代入, 得, 解得, 所以直线BC的解析式为y=x+5；将B（5, 0）, C（0, 5）两点的坐标代入y=x2+bx+c, 得, 解得, 所以抛物线的解析式为y=x26x+5；（2）设M（x, x26x+5）（1x5）, 则N（x, x+5）, MN=（x+5）（x26x+5）=x2+5x=（x）2+, 当x=时, MN有最大值；（3）MN取得最大值时, x=2.5, x+5=2.5+5=2.5, 即N（2.5, 2.5）解方程x26x+5=0, 得

19、x=1或5A（1, 0）, B（5, 0）, AB=51=4, ABN的面积S2=42.5=5, 第7页共9页平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD, 则BCBDBC=5, BC?BD=30, BD=3过点D作直线BC的平行线, 交抛物线与点P, 交x轴于点E, 在直线DE上截取PQ=BC, 则四边形CBPQ为平行四边形BCBD, OBC=45, EBD=45, EBD为等腰直角三角形, BE=BD=6, B（5, 0）, E（1, 0）, 设直线PQ的解析式为y=x+t, 将E（1, 0）代入, 得1+t=0, 解得t=1直线PQ的解析式为y=x1

20、解方程组, 得, , 点P的坐标为P1（2, 3）（与点D重合）或P2（3, 4）巩固6如图, 抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0, 1）, 顶点为Q（2, 3）, 点D在x轴正半轴上, 且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E, 求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下, 若点P是线段QE上的动点, 点F是线段OD上的动点, 问：在P点和F点移动过程中, PCF的周长是否存在最小值? 若存在, 求出这个最小值；若不存在, 请说明理由分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用

21、待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ与CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图所示, 作点C关于直线QE的对称点C, 作点C关于x轴的对称点C, 连接CC, 交OD于点F, 交QE于点P, 则PCF即为符合题意的周长最小的三角形, 由轴对称的性质可知, PCF的周长等于线段CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小如答图所示, 利用勾股定理求出线段CC的长度, 即PCF周长的最小值解答：解：（1）C（0, 1）, OD=OC, D点坐标为（1, 0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0）, 将C（0, 1）, D（1, 0）代入得：, 解得：b=1

22、, k=1, 直线CD的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3, 将C（0, 1）代入得：1=a（2）2+3, 解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知, ECD=45, OC=OD, 且OCOD, OCD为等腰直角三角形, ODC=45, ECD=ODC, CEx轴, 则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称, 点E的坐标为（4, 1）如答图所示, 设对称轴（直线x=2）与CE交于点M, 则M（2, 1）, ME=CM=QM=2, QME与QMC均为等腰直角三角形, QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形, ODC=OCD=45, QEC

23、=QCE=ODC=OCD=45, CEQCDO（4）存在如答图所示, 作点C关于直线QE的对称点C, 作点C关于x轴的对称点C, 连接CC, 交OD于点F, 交QE于点P, 则PCF即为符合题意的周长最小的三角形, 由轴对称的性质可知, PCF的周长等于线段CC的长度第8页共9页（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F, 在线段QE上取异于点P的任一点P, 连接FC, FP, PC由轴对称的性质可知, PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C, C之间的折线段, 由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC, 即PCF的周长大于PCE的周长）如答图所示, 连接CE, C, C关于直线QE对称, QCE为等腰直角三角形, QCE为等腰直角三角形, CEC为等腰直角三角形, 点C的坐标为（4, 5）；C, C关于x轴对称, 点C的坐标为（0, 1）过点C作CNy轴于点N, 则NC=4, NC=4+1+1=6, 在RtCNC中, 由勾股定理得：CC=综上所述, 在P点和F点移动过程中, PCF的周长存在最小值, 最小值为第9页共9页第 26 页 共 26 页