数学经典易错题会诊与-高考试题预测6.doc

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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 20122012 届高考试题届高考试题预测预测( (六六) )考点考点 6 6 平面向量平面向量 经典易错题会诊经典易错题会诊命题角度 1 向量及其运算命题角度 2 平面向量与三角、数列命题角度 3 平面向量与平面解析几何命题角度 4 解斜三角形 探究开放题预测探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度 2 平面向量为背景的综合题命题角度命题角度 1 1 向量及其运算向量及其运算 1 (典型例题)如图 6-1，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问PQ与BC 的夹角 取何值时B

2、PCQ的值最大?并求出这个最大值 考场错解考场错解 ,|)()(,2BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续 专家把脉专家把脉 此题是湖北省 20 典型例题)已知，|a|=2，|b|=3，a 与 b 的夹角为 45， 当向量 a+b 与 a+b 的夹角为锐角时，求实数 A 的范围 考场错解考场错解 由已知 ab=|a|b|cos45=3，a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+b)0 即 |a|2+|b|2+(2+1)ab=0，2+9+ 3(2+1)0，解得 68511 68511或实数 的范围是

3、68511,68511 专家把脉专家把脉 解题时忽视了 a+b 与 a+b 的夹角为 0 的情况，也就是(a+b)(a+b) 0 既包括了 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，也包括了 a+b 与 a+b 的夹角为 0，而 a+b 与 a+b 的夹角为 0 不合题意 对症下药对症下药 由已知 ab=|a|b|，|b|cos45=3 又 a+b 与 a+b 的夹角为锐角，(a+b)(a+ b)0，且 a+b(a+b)(其 中 k,0)由(a+b) (a+b)0，得|a|2+|b|2+(2+1)ab0 即 32+11 #*+30，解得 68511 68511或由 a+b (a+b)，得 1,，即1，

4、综上所述实数 的取值范围是(-，68511 68511,1)(1，+) 3(典型例题)已知 O 为ABC 所在平面内一点且满足032OCOBOA，则AOB 与AOC的面积之比为 ( )A1 B.32.23C D2 考场错解考场错解 OCOBOOCOBOA2O 在 BC 边上，且|2|OCOB ,又AOB 与AOC 高相等，AOB 与AOC 的面积之比为 2，选 D 专家把脉专家把脉 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有 O 为ABC的重心的情况下，才有OOCOBOA，而本题无此已知条件 对症下药对症下药 (1)如图 6-3，在 AB 上取一点 D，使OBOAOBOAODAB

5、DDBAD32 31 212 211, 2|,|2|得的比分又由已知,32 31OCODOBOAOCO 为 CD 的中点，不妨设 SAOC =S，则 SAOD=S(两者等底同高),23|),|2|( ,21SSBDADSSAOBBODAOB 的面积与AOC 的面积之比为 3：2，选 B (2)不妨设 A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向 量的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比； 向量的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些 题目用向量式来进行计算是比较方便的，那么对向

6、量的加、减法法则、定比分点的向量式 等内容就应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会 应用向量共线的充要条件来解题. 考场思维调练考场思维调练 1 ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且.432OOCOBOA(1)求| AB1 答案：由已知得 2OCOBOA43，所以#*62114121|2|)(|.41, 1|,|16|912|4,|16)32(2222222222OAOAOBOBOAOBABOBOAOCOBOAOCOBOBOAOAOCOBOA即(2)求ABC 的面积 答案：设AOB=，AOC=，BOC=，由OAOB=41，得cos=41，sin=41

7、5，SAOB= 21|OA|OB|sin=2111 815 415同理可求得cos=-1611，sin=15163，SAOC=15323cos=-87，sinr=81，SBOC=21.1615 815由于 为锐角，,为钝角，所以OC不可能在AOB 内部，故AOB、AOC、BOC互不重叠SABC=SAOB+ SAOC+SBOC=153292 已知向量 a=(1，1)，b：(1，0)，c 满足 ac=0，且|a|=|c|，bc0(1)求向量 c；答案：设 =(m，n)，由 ac=0，得 m+n=0 再由，|a|=|c|，得 m2+n2=2，联立2022nmnm，解得 m=1，n= -1 或 m=-

8、l，n=1，又b，c=(1，0)(m，n)=m0m=1，n=-1，c=(1，-1)(2)若映射 f:(x，y)+(x ，y)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线 l，使 得 l 上任一点在映射 f 的作用下的点仍在直线 l 上，若存在，求出直线 l 的方程，若不存 在，请说明理由 答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则 f:(x，y)(x+y，x-y)假设存在直线 l 满足题意当 l 的斜率不存在时，没有符合条件的直线 l;当 l 的斜率存在时，设 l：y=kx+m，在 l 上任取一点 p(x0,y0)，则 p 在映射 f 作用下的点 Q(x

9、0+y0，x0-y0)，Q 也应 在 l 上，即 x0-y0=k(x0+y0)+m 又(x0，y0)在 l 上y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x0-(k+2) m=0，此式对于任意 x0恒成立1-2k-k2=0，(-k+2)m=0解得 k=-12，m=0，综上所述，存在直线 l：y=(-12)x 符合题意3 已知 A、B、C 三点共线，O 是该直线外一点，设OA=a，,cOCbOB且存在实数 m，使 ma-3b+cO成立求点 A 分 所成的比和 m 的值#*答案：解：设点 A 分BC所成比为 ，则BA=AC，所以OA-OB=(OC-OA)即 a-b=(c-d)，则(1+)a-b-c=

10、0 (1)由已知条件得 c=3b-ma 代人(1)得(1+)a-b- 3b+ma=0，即(1+m)a-(1+3)b=0OBOA不共线，a、b 不共线1+m=0，1+3=0，解得 =-31，m=2A 分BC所成的比为-31，m=21.（典型例题）设函数 f(x)=ab,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx,3,3,3x且)求 x;(2)若函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)(|m|0，sin2=cos，由于 cos0，得 sina=21，则cos=232 设向量 a=(cos23，cos67)b=(cos68，cos22)，c =a+tb(tR)，求|c|的 最小值 答案

11、：解：|a|=167cos23cos22=1，|b|=122cos68cos22=1ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos(23-68)=22|c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2tab=t2+1+2t21. |c|的最小值为22，此时 t=-223 已知向量 a=(2，2)，向量 b 与 a 的夹角为43，且 ab=-2(1)求向量 b;#*答案：设 b=(x，y)，ab=-2，2x+2y=-2，即 x+y=-1，(1)，又a 与 b 的夹角为43，|b|= 43cos|aba=1，x2+y2=1 (2)，联立(1)

12、、(2)得 x=-1，y=0 或 x=0，y=-1，b=(-1，0)或 b=(0，-1)(2)若 t=(1，0)且 bt，c=(cosA，2cos22c)，其中 A、C 是ABC 的内角，若三角形的三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围答案：由题意得 B=3，A+C=32，bt，t=(1，0)，b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)，|b+C|2=cos2A+cos2c=1+21(cos2A+cos2C)1+21cos2A+cos2(32-A)=1+21cos(2A+3)，0AbO)由已知得 c=m，.3,2,21mbmaac故所求的椭圆方程是. 1342222 mymx(

13、2)设 Q(xQ，yQ)，直线 l 的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，M、Q、F 三点共线，#*|2|QFMQ ，QFMQ2当QFMQ2时，由于 F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得,31,32kmymxQQ又 Q 在椭圆;62, 12791,1 3422222 kkmymx解得有上同理当. 0, 1 31,2222 k mmkQFMQ解得有时故直线 l 的斜率是 0， .622(典型例题)如图 64，梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上，原点 O 为 AB 的中点，|AB|=.3242| ,324CDACBD，M 为 CD 的中点(1)求点 M 的轨迹

14、方程；(2)过 M 作 AB 的垂线，垂足为 N，若存在常数 o，使PNMPo，且 P 点到 A、B 的距离和为定值，求点 P 的轨迹 C 的方程考场错解 第(2)问：设 P(x，y)，M(xo，yo)，则 N(0，yo)PNMPyyxPNyyxxMPoooo又),(),(x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1专家把脉 对PNMPo分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上 M、N、P 三点共线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出 o=-1 是错误的对症下药 (1)解法 1：设 M(x，y)，则 C(x，-1+, 0),3221 ,(),322BDACBDACyxDy得由即(x，y

15、-1)(x，y+1)=0，得 x2+y2=1，又 x0， M 的轨迹方程是:x2+y2=1(x0) 解法 2：设 AC 与 BD 交于 E，连结 EM、EO，AC+BD，CED=AEB=90，又 M、O分别为 CD， AB 的中点，|21| |,|21|ABEOCDOM，又 E 为分别以 AB、CD 为直径的圆的切点，O、C、M 三点共线， |OM|=|OE|+|AB|=1，M 在以原点为圆心 1 为半径的圆 上，轨迹方程为 x2+y2=1(x0) (2)设 P(x，y)，则由已知可设 M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=oPN 得(x-xo，0) =o(-x，0)，xo=(1+o)x，

16、又 M 在 x2+y2=1(x0)上，P 的轨迹方程为(1+o)2x2+ y2=1(x0)，又 P 到 A、B 的距离之和为定值，P 的轨迹为经 A，BP 为焦点的椭圆， 1 (,98)1 (112得 Oo)2=9，P 轨迹 E 的方程为 9x2+y2=1(xO) 3(典型例题)如图 65，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，以某动直线 l 为折痕将正 方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在 AD 上，记为 B；折痕 l 与 AB交于点 E，使 M 满足关系式BEEM#*(1)建立适当坐标系，求点 M 的轨迹方程；(2)若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线

17、组成的，F 是 AB 边上的一点，4BFBA过点 F 的直线交曲线于 P、Q 两点，且FQPF ，求实数 的取值范围考场错解 第(1)问：以 AB 的中点为坐标原点，以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(0，1)，B(0，1)，设 E(0，t)，B(xo，1)，则由 0xxBEEBEM得y=-t，M 的轨迹方程为 x=x0，y=-t专家把脉 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t 不是轨迹方程，究其原因还是题目的已知条件挖掘不够，本题中|EB|=|BE |是一个很重要的已知条件对症下药 (1)解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图 6-6

18、 所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设 E(0，t)，则由已知有 0t1，由|BEEB及 B在 AD 上，可解得 B(2t，1)由 +BEEBEM得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2t，1-t)，即 x=22y=-t，消去 t 得 x2=-4y(0x2)解法 2 以 EB、EB分邻边作平行四边形由于|BEEB知四边形 EBMB，为菱形，且ADBM，动点 M 到定直线 AD 的距离等于 M 到定点 B 的距离，M 的轨迹是以 B 为焦点，以 AD 为准线的抛物线的一部分轨迹方程为 x2=-4y(0x2)(2)由(1)结合已知条件知 C 的方程是 x2=-4y (-2x2)，

19、由4BFBA知 F(0，21)，设过 F 的直线的斜率为 k，则方程为 y=21KX，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由FQPF 得x1=-x2，联立直线方程和 C 得方程是 x2 +4kx-2=0，由-2x2 知上述方程在-2，2内有两个解，由；次函数的图像知41 41k ，由 x=-x2可得2112)21(2)1 (1xxxx 由韦达定理得 8k2=221,212)1 (解得. 4(典型例题 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点9 的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA 与 a=(3，-1)共线(1)求椭圆的离心率；(2)设 M 为椭圆上任意一

20、点，且),(ROBOAOM，证明 2+2为定值#*考场错解 (1)设椭圆方程为)0( 12222 ba byax，F(c，0)联立 y=x-c 与12222 byax得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1+x2=222222 21,22232babacaxx baca 由OBCA(x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)，OBOA 与 a 共线，得 x1+x2=3，y1+y2=-1，又 y1+y2=x1+x2-2c，c=2，得 a2=3b2，又 a2-b2 =c2=4，b2=2，a2=6，e=.3662ac专家把脉OBO

21、A与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为OBOA (3，-1)，这是错误的，共线是比例相等对症下药 (1)(前同错解)，OBOA与 a 共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0，3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=Ox1+x2=23c，代入.36232,23 2222 ebac baca(2)证明：由(1)知 a2=3b2，所以椭圆12222 byax可化为 x2+32=3b2设OM(x，y)，由已知得(x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， 2121 yyYxxXM(x，y)在椭圆上，(x1+x2)23(y1+y2)2=3b2即 2(2 132 1yx)2 232 2(23

22、yx+2(x1x2+2y1y2)= 3b2由(1)知 x2+x2=2 212,2 232,23cbcac2 83 222222 21c babacaxx x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2#*=232 292 23ccc=0又232 232 2,232 132 1byxbyx又，代入得 2+2=1故 2+2为定值，定值为 1 专家会诊 平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式 进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转 化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些

23、已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关 系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视 考场思维调练 1 已知ABC 中，A(0，1)，B(2，4)，C(6，1)，P 为平面上任一点，点 M、N 满足)(31),(21PCPOBPAPNPBPAPM，给出下列相关命题：MNBC；(2)直线 MN 的方程是 3x+10y-28=0；(3)直线 MN 必过ABC 外心；(4)起点为 A 的向量(ACAB+AC)(R+)所在射线必过 N，上面四个选项中正确的是_.(将正确的选项序号全填上) 答案：解析：(2)(4)由已知 M 为 AB 的中点，所以 M(1，25)，N 为

24、ABC 的重心，N(38，2)MN 在 AB 的中线上BCMN；MN 的方程为 3x+10y-28=0；MN 过ABC 的重心，又ABC 不是等腰三角形MN 不可能过ABC 的外心；(ACAB )(R+)所在射线为 BC 的中线所在的射线，必过 N 上(2)、(4)正确2 已知 A 为 x 轴上一点，B 为直线 x=1 上的点，且满足：)3()3(OBOAOBOA.(1)若证 A 的横坐标为 x，B 的纵坐标为 y，试求点 P(x，y)的轨迹 C 的方程；答案：解：由题意，A(x,0)，B(1，y)，则OA=(x，0)，OB=(1，y)代入)3()3(OBOAOBOA=0 中，得：(2)设 D

25、(0，-1)，上述轨迹上是否存在 M、N 两点，满足|MD|=|ND|且直线 MN 不平行于 y 轴，若存在，求出 MN 所在直线在 y 轴上截距的取值范围，若不存在，说明理 答案：假设存在 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题设 MN 不与 x 轴垂直，不妨设 MN 的方程为y=kx+m，联立 mkxyyx1322 ,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0，显然 1-3k20， =12(m2+1-#*3k2)0，又 x1+x2=2316kkm，x1x2 =223133km设 MN 的中点 P(x0，y0)，则有 x0=2313kkm,y0=231km，线段 MN 的垂直平分线方程

26、为 y-) 313(13122kkmxkkm 由题意 D(0，-1)在该直线上，代入得 4m=3k2-1，m、k 满足 134031222kmkm消去 k2，得 m4 或-410,cosAc, 角 C 不是最大解，150C0，cosA0即 m22，由OBOAOP及(1)可得 y=y1+y2= 224mmx=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- 228mP 的坐标为 224, 228mmm，消去 m 得x2+2y2+4x=0(-20b0)，交于 PQ 两点，直线 l 与 y 轴交于点 K，且KQPQOQOP，求直线与双曲线的方程解题思路 将向量关系式转化为坐标关系式，建立方程组求解解答

27、 12222 byax的离心率为3，b2=2a2，即双曲线的方程为12222 byax，设 l 的方程为了 y=x+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OQOP=-3 得，x1x2+yly2=-3，由KQPQ4得 x1=-3x2，联立 122222ayaxmxy得x2-2mx-m2-2a2=0x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2，y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m2-2a2，结合 x1=-3x2，得 x2=-m，x1=3m，xlx2=-3m2=-m2-2a2得 m2=a2解得 yly2=0，x1x2=-3a2=-3，a2=1，m2=1，m=1直线 l 的方程是 y=xl，双曲

28、线的方程是222yx=1预测角度 2 平面向量为背景的综台题 1设过点 M(a,b)能作抛物线 y=x2 的两条切线 MA、MB，切点为 A、B(1)求MBMA；(2)若MBMA=0，求 M 的轨迹方程；(3)若 LAMB 为锐角，求点 M 所在的区域解题思路 设切点坐标，利用导数求出切线的斜率，将MBMA转化为坐标运算，结合韦达定理求解#*解答 (1)设抛物线上一点 P(t，t2)，y=x2，y= 2x，切点为 P 的切线方程是： y-t2=2t(x-t)，它经过点 M (a，b)，b-t2=2t(a-t)，即 t2-2at+b=0，设其两根为 t1、t2，则 t1+t2=2a，t1t2=b

29、设 A(t1，t21)，B(t2,t22)，则MA=(t1-a,t21-b)，MB= (t2-a,t22-b)，MBMA=(t1-a)(t2-a)+(t21-b)(t22-b)利用 t1+t2=2a，t1t2=b，消去 t1，t2得MBMA=(b-a2)(4b+1)(2)设 M(x，y)，则由MBMA=0,MBMA=(b- a2)(4b+1)得(y-x2)(4y+1)=0，又 M 在抛物线外部，y0，结合(1)中结果有(y-x2)(4y+1)0，而 y0，b0)的左、右焦点，O 为坐标原点，户为双曲线的左支上的点，点 M 在右准线上，且满足)0( |1|1,1 OMOM OFOFOPPMQF.

30、(1)求此双曲线的离心率 e；答案：由PMOF1得四边形 F1OMP 为平行四边形，) |(,111 OMOMOFOFOPOMOFOP又=OMPFOMOF11|,|为菱形，|PF1| =C，由双 曲线的定义有|12PFPF+2a，|2PF=2a+c 又| PM=c，Cca 2=e，解得 e=2，#*(2)若此双曲线过 N(2,2)，求双曲线的方程；答案：可设双曲线方程为22223ayax=1，又过 N(2，3)，a2=3,双曲线的方程为9322yx=1(3)在(2)的条件下，B1、B2分别是双曲线的虚轴端点(B1 在 y 轴正半轴上)，点 A、B 在双曲线上，且AB2BBABBB12,2求 时

31、，直线 AB 的方程 答案：由已知 B2 在 AB 上，可设 AB 的方程为 y=kx-3，又BBAB12，B1B 的方程为 y=-K1x+3 解得 B( 13, 16 222kkkk)，又 B 在9322yx=1 上，9( 16 2kk)2-3( 133 22kk)2-27=0，解得 k=21，AB 的方程为 y=(21)x-3 12 已知等轴双曲线 C：x2-y2=a2(a0)上一定点 P(x0，y0)及曲线 C 上两动点 A、B 满足(OA-OP)(OB-OP)=0(其中 O 为原点)(1)求证：(OPOA)(OPOB)=0；答案：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，A、B、P 在双

32、曲线上，(x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)(y1+y0) (1)，(x2-x0)(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2)，(1)(2)得(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=(y， -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0)，(3)，又(OA-OP )(OB-OP)=0，(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4)，将(4)代人(3)中得(x1+x0) (x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0(OA+OP)(OB+OP)=0；(2)求|AB|的最小值 答案：由(1)得21)(21)(OPOBOPOA=0，取 A

33、P、BP 的中点 M、N，连接 OM、ON，)()(,),(21),(21OPOAOPOAONOMOPOBONOPOAOM又=0，PBPA ，O、M、P、N 四点共圆，且|AB|=2|MN|，利用圆的知识有 MN 为直径，#*|MN|OP|AB|2|OP|=22 02 0yx13 已知0,115, 8| , 5|ABCDDBADABAC(1)求|AB-AC|；答案：由已知可得|AD|=165|AB|=,25且 CDAD，cosBAC21，根据余弦定理得：72185285|22BCACAB.(2)设BAC=，且 cos(+x)=54，-x-4-x-.sin,4x求答案：由 cos=21，(0，)

34、得 =3，cos(+x，)=cos(3+x)=54，则 sin(3+x)=53，而一 x12332,4，如果 03+x12，则 sin(3+x)sin12故sin(3+x)=-53sinx=sin(33 x)=-1034314 如图 6-8，已知ABC 的三边分别为 a,b,c,A 为圆心，直径 PQ=2r 问 P、Q 在什么位置时，CQBP 有最大值？答案：解：,)()()()(22CBAPrACABACABACAPAPABrACAPABAPACAQABAPCQBP设BAC=，PA 的延长线与 BC 的延长线交于 D，PDB=Q，则CQBPbccos-r2+racos，a，b，c，r 均为定值，只需 cos=1，即 PQBC 时， BP、CQ最大