数值分析第四版习题及其答案.doc

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1、-_第四版数值分析习题第一章 绪 论1.设 x0,x 的相对误差为,求ln x的误差.2.设 x 的相对误差为 2,求nx的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:* 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.xxxxx 4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:* 12412324( ),( ),()/,i xxxii x x xiii xx其中* 1234,x xx x均为第 3 题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少?6.设0

2、28,Y 按递推公式11783100nnYY( n=1,2,)计算到100Y.若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7.求方程25610xx 的两个根,使它至少具有四位有效数字(78327.982).8.当N充分大时,怎样求21 1Ndxx?9.正方形的边长大约为 100,应怎样测量才能使其面积误差不超过 12?10. 设21 2Sgt 假定g是准确的,而对t的测量有0.1 秒的误差,证明当t增加时S的绝 对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,),若021.41y (三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个

3、计算过程稳定吗?12. 计算6( 21)f ,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3 6311,(32 2) ,9970 2.( 21)(32 2)13.2( )ln(1)f xxx,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式22ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组1010 12121010; 2.xx xx 假定只用三位数计算,问结果是否可靠?-_15. 已知三角形面积1sin ,2sabc 其中 c 为弧度,02c ,且测量 a ,b ,c 的误差分别为 ,.abc证明面积的误差s满足.

4、sabc sabc第二章 插值法 1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2 0000112 111 21( )(, )11nnnnn nnn nxxxV xV x xxxxxxxxx 证明( )nV x是 n 次多项式,它的根是01,nxx,且101101( )(,)()()nnnnV xVx xxxxxx. 2.当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式. 3.给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值. x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.51

5、0826-0.357765-0.2231444.给出 cos x,0x 90的函数表,步长 h =1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字,研 究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界.5.设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max( ) xx xlx .6.设jx为互异节点(j=0,1,n),求证:i)0( )(0,1, );n kk jj jx lxxknii)0()( )1,2, ).n k jj jxx lxkn 7.设2( ),f xCa b且( )( )0f af b,求证21( )()( ) .8maxmax a x ba x bf xbafx 8.在44x

6、上给出( )xf xe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610,问使用函数表的步长h应取多少?9.若2nny ,求4 ny及4 ny.10. 如果( )f x是m次多项式,记( )()( )f xf xhf x,证明( )f x的k阶差分 ( )(0)kf xkm是mk次多项式,并且( )0(m lf xl为正整数).11. 证明1()kkkkkkf gfggf.12. 证明11001 00.nnkknnkk kkfgf gf ggf -_13. 证明1 2 0 0.njn jyyy 14. 若1 011( )nn nnf xaa xaxa x 有n个不同实根12

7、,nx xx,证明 10,02; ,1. 1()nknjk nak n jjxfx 15. 证明n阶均差有下列性质:i)若( )( )F xcf x,则0101,nnF x xxcf x xx;ii)若( )( )( )F xf xg x,则010101,nnnF x xxf x xxg x xx.16.74( )31f xxxx,求0172 ,2 ,2f 及0182 ,2 ,2f . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22 311( )( )() () /4!,(,)kkkkR xfxxxxxx并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4 次的多项式( )P

8、 x,使它满足(0)(1)PPk 并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式( )P x,以便使它能够满足以下边界条件 (0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.20. 设( ),f xC a b,把, a b分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数( )nx并证明当n 时,( )nx在, a b上一致收敛到( )f x.21. 设2( )1/(1)f xx,在55x 上取10n ,按等距节点求分段线性插值函数( )hIx,计算各节点间中点处的( )hIx与( )f x的值,并估计误差.22. 求2( )f xx在, a b上

9、的分段线性插值函数( )hIx,并估计误差.23. 求4( )f xx在, a b上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:jx0.250.300.390.450.53jy0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值( )S x并满足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SSii)(0.25)(0.53)0.SS25. 若2( ),f xCa b,( )S x是三次样条函数,证明i)222( )( )( )( )2( )( )( )bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSx dx ;ii)若( )( )(0,

10、1, )iif xS xin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )baSxfxSx dxS bf bS bSaf aS a .26. 编出计算三次样条函数( )S x系数及其在插值节点中点的值的程序框图( )S x可用(8.7) 式的表达式). -_第三章 函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为, a b的伯恩斯坦多项式.(b)对( )sinf xx在0,/2上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的 马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证:(a)当( )mf xM时,( , )nmBf xM. (b)当( )

11、f xx时,( , )nBf xx.3.在次数不超过 6 的多项式中,求( )sin4f xx在0,2的最佳一致逼近多项式.4.假设( )f x在, a b上连续,求( )f x的零次最佳一致逼近多项式.5.选取常数a,使301max xxax 达到极小,又问这个解是否唯一?6.求( )sinf xx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求( )xf xe在0,1上的最佳一次逼近多项式.8.如何选取r,使2( )p xxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一?9.设43( )31f xxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令( )(21),0,1nnT xTxx,求* 012

12、3( ),( ),( ),( )Tx Tx Tx T x.11. 试证*( ) nTx是在0,1上带权21xx 的正交多项式.12. 在1,1上利用插值极小化求 11( )f xtg x的三次近似最佳逼近多项式.13. 设( )xf xe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为( )nL x,若nfL有界,证明对任何1n ,存在常数n、n,使11( )( )( )( ) ( 11).nnnnnTxf xL xTxx 14. 设在1,1上234511315165( )128243843840xxxxxx ,试将( )x降低到 3 次 多项式并估计误差.15. 在1,1上利用幂级数项数求( )s

13、inf xx的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005.16.( )f x是, a a上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,( )f x的最佳逼近多项式*( ) nnFxH也是奇(偶)函数.17. 求a、b使22 0sinaxbx dx 为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.18.( )f x、1( ),g xCa b,定义( )( , )( )( );( )( , )( )( )( ) ( );bbaaaf gfx g x dx bf gfx g x dxf a g a问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx的上界,并用积分中值

14、定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果.-_20. 选择a,使下列积分取得最小值:1122211(),xaxdxxax dx .21. 设空间 100101 21,spanxspan xx ,分别在1、2上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比较其结果.22.( )f xx在1,1上,求在24 11,spanxx 上的最佳平方逼近.23.2sin (1)arccos( ) 1nnxux x 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 112nnnuxxuxux.24. 将1( )sin2f xx 在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼 近多项式并画出误差

15、图形,再计算均方误差.25. 把( )arccosf xx在1,1上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.ix1925313844iy19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间t(秒)00.91.93.03.95.0距离s(米)010305080110 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间0510152025303540455055浓度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟

16、合求( )yf t. 29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进 FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录 4,3,2,1,0,1,2,3kx,试用改进 FFT 算法求出序列 kx的离散频谱 kC(0,1,7).k 第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度:(1)101( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f h;(2)21012( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f h;(3)1121( )( 1)2 ( )3 () /3f x dxff x

17、f x ;-_(4)20( )(0)( ) /1(0)( )hf x dxh ff hahff h. 2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx nx; (2)1 210(1),10xedx nx;(3)91,4xdx n ; (4)26 0sin,6dx n . 3.直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度.4.用辛普森公式求积分10xe dx并计算误差. 5.推导下列三种矩形求积公式:(1)2( )( )() ( )()2baff x dxba f aba ;(2)2( )( )() ( )()2baff x dxba f bba ;(3)3( )( )(

18、) ()()224baabff x dxba fba .6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n 时收敛到积分( )baf x dx.7.用复化梯形公式求积分( )baf x dx,问要将积分区间, a b分成多少等分,才能保证误差不 超过(设不计舍入误差)?8.用龙贝格方法计算积分102xe dx,要求误差不超过510.9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是222 01 ( ) sincSada ,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,6371R 公里为地球半径,则(2)/2,()/2aRHhcHh.我国第一颗人

19、造卫星近地点距离439h 公里,远地点距离2384H 公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!nnnn 试依据sin(/ )(3,6,12)nn n的值,用外推算 法求的近似值.11. 用下列方法计算积分31dy y并比较结果. (1) 龙贝格方法; (2) 三点及五点高斯公式; (3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21( )(1)f xx在x 1.0,1.1 和 1.2 处的导数值,并估计误差.( )f x的值由下表给出: x1.01.11.21.31.4( )f x0.25000.22680.20660.18900.1

20、736-_第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,ybaxy分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bxaxy2 21相比较。 2. 用改进的尤拉方法解初值问题 , 1)0(; 10 ,yxyxy取步长 h=0.1 计算，并与准确解xexy21相比较。 3. 用改进的尤拉方法解, 0)0(;2yyxxy取步长 h=0.1 计算)5 . 0(y，并与准确解12xxeyx相比较。 4. 用梯形方法解初值问题 , 1)0(; 0 yyy证明其近似解为,22nnhhy 并证明当0h时，它原初值问题的准确解xey。 5. 利用尤拉方法计算积分dtext02在点2 , 5

21、. 1 , 1 , 5 . 0x的近似值。 6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1） , 1)0(; 10 ,yxyxy2） . 1)0(; 10),1/(3 yxxyy7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的：).)1 (,)1 ();,();,();(213121321hKtyhtxfKthKythxfKyxfKKKhyynnnnnnnn8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的：-_1） );32,32();3,3();,();3(423121311hKyhxfKKhyhxfKyxfKKKhyynnnnnnnn2） ).43,43();2,2();,()

22、;432(9231213211hKyhxfKKhyhxfKyxfKKKKhyynnnnnnnn9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： , 0)0(,1yyy取,181. 0, 0, 2 . 010yyh计算)0 . 1 (y并与准确解xey1相比较。10. 证明解),(yxfy 的下列差分公式)34(4)(211111nnnnnnyyyhyyy是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).(22110221101nnnnnnnybybybhyayayay 12. 将下列方程化为一阶方程组：1）; 1)0(, 1)0(, 023 yy

23、yyy2）; 0)0(, 1)0(, 0)1 ( 1 . 02 yyyyyy3）,)(,)(22 33yxrrytyrxtx . 2)0(, 0)0(, 0)0(, 4 . 0)0(yyxx 13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题 .68. 1) 1 (, 0)0( ; 0 yyyy14. 对方程),(yxfy 可建立差分公式 ),(22 11nnnnnyxfhyyy 试用这一公式求解初值问题 , 0) 1 ()0(; 1 yyy验证计算解恒等于准确解.2)(2xxxy-_15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 . 2) 1 (, 1)0()0(; 363)1 (2yyyxyyx

24、yx第六章 方程求根1. 用二分法求方程012 xx的正根，要求误差0，221/caa0，则对任意n nAR，均有不等式12 1200021maxmaxmaxstssts stsxxx stsa AxAxaAxc AAcAaxxa x 。27若()TA A，则0,TxA Axx 就有()TAAAxAx，可推出 ()TAA即()()TTA AAA，同理可以推出()()TTAAA A，综合这两点即可得()()TTA AAA。28111100011/maxminmin yxAxA xxAyxyAA x 。29111AAAA，则111()1/1IAAAA，故 1()AA存在，1111111111( )

25、()()11( )Acond AAAAAIAAAAAAA AAAAAcond AA 。301( )cond AAA，当2/3时，( )36cond A，当 2/3时，( )42/cond A，当2/3 时，( )cond A有最小值 7。31(a) 22 2maxminmaxmin2( )/()/()()TTcond AW WW Wcond W，(b)()()TTW WWW,2maxmin2()()/()()TTTcond WW WW Wcond W，222( )()()Tcond Acond Wcond W。-_322maxmin( )/39206.0cond A，1( )39601cond

26、 AAA。332maxmaxmaxmax( )()()1TTcond AA AAAII。341111()( )( )cond ABAB B AA B BAcond A cond B。第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案1. (a) Jacobi 迭代矩阵03 . 02 . 05 . 0025. 02 . 04 . 00)(1ULDB特征方程为 0055. 021. 0|3BI 特征根均小于 1，Jacobi 迭代法收敛。 Gauss-Seidel 迭代矩阵 17. 004. 007 . 04 . 002 . 04 . 00)(1ULDG特征方程为 0096. 057. 0|23GI 特征根

27、均小于 1，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 (b) Jacobi 迭代格式为1)()1(fBXXkk其中 B 如上，TbDf)3 . 052 . 1(1 1， 迭代 18 次得 TX9999999. 19999739. 29999964. 3， Gauss-Seidel 迭代格式为2)()1(fGXXkk其中 G 如上，TbLDf)53. 16 . 24 . 2()(1 2， 迭代 8 次得 TX000003. 2999985. 2000036. 4。2. 证： 0200A ，则 , 02A故0kA), 4 , 3 , 2(k，因此 12012AIAAAIk ， 即级数收敛。3. 证：

28、 设aA |，一方面，0!lim nAnn，-_另一方面，0!lim!|lim!|lim!lim na nA nA nAnnnnnnnn因此0!lim nAnn，即序列收敛于零。 4. 证：由已知迭代公式得迭代矩阵 0022211112aaaaG则特征多项式为 0|221121122aaaaGI解得 22112112 aaaa ，向量序列 )(kx收敛的充要条件是 1，即 122112112aaaar 。 5. (a) 谱半径1093. 1)(B，Jacobi 迭代法不收敛；矩阵 A 对称正定，故 Gauss-Seidel 迭代法收敛。(b) 谱半径10)(B，Jacobi 迭代法收敛；谱半径

29、12)(B，Gauss-Seidel 迭代法不收敛；6. 证：必要性 AAk k lim，则 0lim AAk k， 对任意向量x，有 0lim)(limlim xAAxAAAxxAkkkkkk因而有 0lim AxxAk k，即AxxAk k lim。充分性 因对任何向量x，都有AxxAk k lim，令iiex ，则iikkAeeA lim即当k时，kA的任一列向量的极限为 A 的对应的列向量，因而有 AAk k lim。 7.A 对称正定，Jacobi 迭代法不一定收敛，如题 5(a)。8.(a) Jacobi 迭代矩阵的谱半径21)(B； (b) Gauss-Seidel 迭代矩阵的谱

30、半径25. 0)(B； (c) 两种方法的谱半径均小于 1，所以两种方法均收敛。 事实上，对于方程组bAx ，矩阵 A 为严格对角占优则 Jacobi 和 Gauss- Seidel 迭代法均收敛。9.取0)0(X，迭代公式为-_)43(4)44(4)41 (4)( 3)1( 2)( 3)1( 3)( 3)( 2)1( 1)( 2)1( 2)( 2)( 1)( 1)1( 1kkkkkkkkkkkkkXXXXXXXXXXXXX使当6)(105kXX时迭代终止， 取03. 1时，迭代 5 次达到 TX4999999. 00000001. 15000043. 0)5(； 取1时，迭代 6 次达到 T

31、X4999995. 00000002. 15000038. 0)6(； 取1 . 1时，迭代 6 次达到 TX5000003. 09999989. 05000035. 0)6(。 10. 迭代公式为)10323(10)2420(4)2512(5)( 3)1( 2)1( 1)( 3)1( 3)( 3)( 2)1( 1)( 2)1( 2)( 3)( 2)( 1)( 1)1( 1kkkkkkkkkkkkkkkXXXXXXXXXXXXXXX取0)0(X，9 . 0，迭代 8 次达到精度要求 TX00003. 299989. 200027. 4)8(。 11. 证：所给迭代公式的迭代矩阵为AIB，其 n

32、 个特征值分别为), 1,0( ,1,1 ,121niin，当20 时，有), 2 , 1( , 111nii， 因而1)(B，迭代法收敛。12. 证：(a) iik ik ik iarXX)1( )()1( 即为 Gauss-Seidel 迭代格式。(b) 由iik ik ik iarXX)1( )()1( 及XXk ik i)()(，可得iik ik ik iar)1( )()1( ；其中， nijk jijijk jijnjjijnijk jijijk jijik ixaxaxaxaxabr)(11)1(1)(11)1()1()()()()(11)1()()1(11 nijk jijij

33、k jijk jnijjijk jijjijaaxxaxxa 。(c) (d)13. (a) 由已知，有11)( 21)1( 1bABzAzmm，及21)( 11)1( 2bABzAzmm，-_则 11 211)1( 121)1( 1)(bAbBAAzBAzmm，即由)1( 1mz到)1( 1mz的迭代矩阵为21)(BA，所以由)( 1mz到)1( 1mz的迭代矩阵为BA1，则迭代方法收敛的充要条件为1)(1BA。(b) 由已知可推得11 211)( 121)1( 1)(bAbBAAzBAzmm，所以迭代矩阵为21)(BA，则迭代方法收敛的充要条件为1)(21BA。 由迭代矩阵可以看出，(b)

34、迭代法的收敛速度是(a)的 2 倍。14. 证：由于01，当121a时，, 01112aaa0)1)(21 (|aaA，所以 A 正定。Jacobi 迭代矩阵谱半径为|2)(aB ，所以只对21 21a收敛。15. 取排列阵23IP ，则 7300420011233125APPTA 为可约矩阵。16. 证： 迭代矩阵的特征方程为0|)(|CICi，若), 2 , 1( , 0)(niCi，则0|C，所以0nC，即对任给向量)0(X，迭代n 次后，ffXCXnn)0()(，其中gcggCfn1，则 fgcggCgCXnnn1)1(即最多迭代 n 次收敛于方程组的解f。 17. 用 SOR 方法解

35、方程组bAX ，其中 A 对称正定，数组 x 用来存放解向量，用|max|)()1(10k ik inixxp控制迭代终止，k 表示迭代次数。-_k=0, i=1), 1(0nixi0, 10pkki|P0|P0=P;|P0|输出 x, k;是否否是-_18. 证：方程组的 SOR 迭代矩阵为)1()(1UDLDL，特征方程0|)1(|)( |1ULDLD， 即0|)1( |ULD， 记ULDG)1(nnnnnnnaaaaaaaaaaaa)1()1()1(32122322211131211只要当1|时，0|G，则0|G的根均满足1|。 A 不可约则 G 也不可约，又 A 为弱对角优势阵，则当1

36、|且10时，-_|)|)(1(| )1(|111ijnijijijiiiiaaag ijiinijijijijgaa|111即1|时，G 为不可约弱对角占优，于是有0|G，故1)(G，SOR 方法 收敛。19. 证：(a) AAAATTT)(，, 0,xRxn设T naaAx),(1，则 0)()()(22 1nTTTaaAxAxxAAx，AAT为对称正定阵。(b) 因为AAT为对称阵，所以左)()()(minmax 2AAAAAAcondTT T 右 2minmax221 22 2)()()()(AAAAAAAcondTT左。 20. 证：A 为严格对角占优，则1A存在。xxA A11max

37、第九章 矩阵的特征值与特征向量计算习题参考答案1(a)取初始值(1,1,1)得 kT kumax()kv11.0000000.7500000.0000008.000000 31.0000000.617564-0.3711059.540540 51.0000000.606413-0.3930959.604074 71.0000000.605660-0.3941459.603921 81.0000000.605583-0.3943779.605270 (b)取初始值(1,1,1)得 kT kumax()kv10.2857140.7142861.0000007.000000 5-0.4893031.

38、0000000.2497438.561447 9-0.5947201.0000000.1591198.856237 13-0.6035811.0000000.1514908.867829 14-0.6039461.0000000.1511768.868794-_2( ),0Tx ，使得()0TI x，即10nii iTITI，一定存在i使得0iiTI，则()iiT，1( )()nii iTT ，反之1()( )nii iTT，故1( )()nii iTT 。3114/2711/275/27(6 )11/272/271/275/271/274/27AI ，由幂法得1 max(6 )0.75074

39、1AI，原矩阵最接近 6 的特征值为max7.33202A，对应的特征向量为 (1,0.485551,0.185986)Tx 。4设特征向量为( , , )Txa b c，则有44 ,34 ,34aabcb bcc，解得对应的特征向量为12(1,0,0),(0,1,1)TTxx。5雅可比迭代进行五步可得1232.53652,0.0166474,1.48023 ，对应的 特征向量分别为1(0.531632,0.461334,0.710313)Tx ，2( 0.721102,0.686454,0.0938701)Tx ，3( 0.444293, 0.562111,0.697592)Tx ， 最优值

40、1.26658p 。6(a) 1Pxe，P正交，则TP第一列1TPx，111TBPAPPAxPxe，又 TBPAP是对称矩阵，B的第一行和第一列除外均为零。(b) P为反射阵，11PxePex，解得 2/31/32/31/32/32/32/32/31/3P ，9000180009TBPAP 。 7由豪斯荷尔德方法得10000.60.800.80.6U ，15052.920.5600.560.92BUAU 。8(2) 111sincos0jijaaa ，解得112222 1111sin,cosjiijijaaaaaa ， 代入得11112222 1111()cossin,()cossin,iki

41、jkjjkiikj ijikikjkijjkjkikijija aa aa aa aP AaaP Aaa aaaa 9.(a)12212211212112TT nnnnnnnAxAPPPyPPPP APPyPPAyPPy，-_(b)由2212nT nnnAP AP 可求出初等反射阵2nP，依次类推，1232nnxPPPPy。10(a)令( ) 33k ksa，带位移 QR 方法计算可得1233.37215,1.99872,2.37079 ，(b) 令( ) 33k ksa，带位移 QR 方法计算可得1233.73169,2.00036,0.267949。1152 50521005503333352 52 55001000335555003250012 55003355RA ，故有1/32/32/33332/31/32/30332/32/31/3003AQR 。