简谐近似和简正坐标.ppt

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1、03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶体的热学性质晶体的热学性质:热容量热容量杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 (能量均分定律能量均分定律)摩尔热容量摩尔热容量总的内能总的内能晶体中的晶体中的格点格点：原子：原子平衡位置平衡位置晶格振动：原子在格点附近的振动晶格振动：原子在格点附近的振动本章的主要物理思想和学习内容本章的主要物理思想和学习内容 与温度无关与温度无关 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降第三章 晶格振动与晶体的热学性质 03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质原子的振动原子的振动 晶格振动

2、在晶体中形成了各种晶格振动在晶体中形成了各种模式的波模式的波 简谐近似下简谐近似下 系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和 这些谐振子的能量量子，称为这些谐振子的能量量子，称为声子声子 晶格振动的总体可看作是晶格振动的总体可看作是声子的系综声子的系综 用一系列独立的简谐振子用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立而又分立的振动模式来描述这些独立而又分立的振动模式 这些模式是相互独立的，这些模式是相互独立的，模式模式所取的能量值是分立的所取的能量值是分立的03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件一

3、维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件三维晶格热振动的特点和一般规律三维晶格热振动的特点和一般规律晶格热振动的量子化，晶格热振动的量子化，声子声子声子统计分布函数，晶格热振动能声子统计分布函数，晶格热振动能晶格比热的晶格比热的Einstein模型模型晶格比热的晶格比热的Debye模型模型晶格热传导晶格热传导基本内容基本内容学习要点学习要点掌握掌握格波格波的概念和色散关系的概念和色散关系正确理解正确理解声子声子的概念及其统计分布的概念及其统计分布掌握掌握态密度态密度的求法的求法熟练掌握固体比热的计算方法熟练掌握固体比热的计算方法掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响掌握声子的碰撞过程及其对固体热

4、导的影响03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质03_01 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 03_02 一维单原子链一维单原子链 03_03 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 03_04 三维晶格振动三维晶格振动03_05 离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波03_06 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法03_07 局域振动局域振动03_08 晶格热容量的量子理论晶格热容量的量子理论03_09 晶格振动模式密度晶格振动模式密度03_10 晶格的状态方程和热膨胀晶格的状态方程和热膨胀03_11 晶格的热传导晶格的热传导03_01_简谐近似

5、和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质03_01 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标-简谐近似简谐近似-简正坐标简正坐标-简正振动简正振动-振动模振动模03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质03_01 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 研究对象研究对象 由由N个质量为个质量为m的原子组成的晶体的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置3个方向上的分量个方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量N个原子的位移矢量个原子的位移矢量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质 体系的势能函数在平衡

6、位置展开体系的势能函数在平衡位置展开取取平衡位置平衡位置 不计高阶项不计高阶项系统的势能函数系统的势能函数-简谐近似简谐近似03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量系统的势能函数系统的势能函数系统的动能函数系统的动能函数解决方法：解决方法：设法找到一个正交变换，将设法找到一个正交变换，将3N个原子位移坐个原子位移坐标标 变换到变换到3N个个简正坐标简正坐标含有含有坐标的交叉项坐标的交叉项多体化简为单体多体化简为单体如何找到如何找到 之间的变换关系？之间的变换关系？03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质引入引入简正坐标简正坐标 原子的

7、原子的坐标坐标和和简正坐标简正坐标通过通过正交变换正交变换联系起来联系起来系统的哈系统的哈密顿量密顿量拉格朗日函数拉格朗日函数正则动量正则动量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量正则方程正则方程 3N个独立无关的方程个独立无关的方程正则动量正则动量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质 3N个独立无关的方程个独立无关的方程简正坐标方程解简正坐标方程解简正振动简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同所有原子参与的振动，振动频率相同振动模振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动只考察某一个只考察某一个Qj振动时，有振动时，有03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统能量本征值计算系统能量本征值计算(量子力学处理）量子力学处理）任一简正坐标任一简正坐标经典系统的哈密顿量经典系统的哈密顿量-正则动量算正则动量算符符系统薛定谔方程系统薛定谔方程03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质任一个简正坐标任一个简正坐标 谐振子方程谐振子方程能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数 厄密多项式厄密多项式03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数 N个原子组成的晶体个原子组成的晶体