第六章迭代法数值分析优秀PPT.ppt

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1、第六章迭代法数值分析第一页，本课件共有57页1.引言 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。第二页，本课件共有57页第三页，本课件共有57页第四页，本课件共有57页引入误差向量则可得由问题是在什么条件下所以等价于也即第五页，本课件共有57页2.基本迭代法设有其中A为非奇异矩阵将A分解成其中M是可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解由此,原问题就可转化为等价方程得:可构造迭代法第六页，本课件共有57页Jacobi 迭代法 第七页，本课件共有57页第八页，本课件共有57页 Jacobid

2、迭代的矩阵形式 第九页，本课件共有57页收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B 称迭代矩阵.第十页，本课件共有57页第十一页，本课件共有57页第十二页，本课件共有57页高斯塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法第十三页，本课件共有57页第十四页，本课件共有57页第十五页，本课件共有57页用矩阵可表示为:移项得又所以可逆第十六页，本课件共有57页也即选取 M 为A的下三角部分，即 M=DL，N，则 x=b可等价为（MN)x=b联系上面已经得到的矩阵迭代形式,为统一起见,记:A=DLU第十七页，本课件共有57页等价为其中或其中即为G-S迭代法的迭代矩阵第十八页，本课件共有57页第十九页，本课件共

3、有57页第二十页，本课件共有57页Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：第二十一页，本课件共有57页松弛(SOR)法第二十二页，本课件共有57页第二十三页，本课件共有57页SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一种修正.假设已知:及首先利用G-S迭代计算预测值加权平均可得:即得再由和的前 i-1个分量第二十四页，本课件共有57页第二十五页，本课件共有57页返回返回第二十六页，本课件共有57页松弛法计算过程如下：第二十七页，本课件共有57页引入误差向量则可得由 等价于问题是在什么条件下所以等价于也即3.迭代法的收敛性作:第二十八页，本课件共有57页第二十九页，本课件共有57页 注:其中

4、为矩阵的任一种算子范数 (p244定理1 )第三十页，本课件共有57页注第三十一页，本课件共有57页迭代法基本定理第三十二页，本课件共有57页第三十三页，本课件共有57页矩阵的谱半径定理2第三十四页，本课件共有57页由此得P248的定理5(迭代法收敛的充分条件)定理5 设有方程组 和其定常迭代法如果B的某种算子范数则:1.迭代法收敛即对任取的有证明证明第三十五页，本课件共有57页(P252定理定理8)第三十六页，本课件共有57页第三十七页，本课件共有57页第三十八页，本课件共有57页第三十九页，本课件共有57页(特殊方程组迭代法的收敛性特殊方程组迭代法的收敛性P249)P249)第四十页，本课

5、件共有57页第四十一页，本课件共有57页定理定理6:(对角占优定理对角占优定理 P250)如果矩阵如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵,则则A为非奇异矩阵为非奇异矩阵.第四十二页，本课件共有57页(P251定理定理7,9,10)例例同时同时G-S迭代法也收敛迭代法也收敛.如如1条件的矩阵，条件的矩阵，证明证明第四十三页，本课件共有57页第四十四页，本课件共有57页第四十五页，本课件共有57页特别特别第四十六页，本课件共有57页第四十七页，本课件共有57页误差估计第四十八页，本课件共有57页第四十九页，本课件共有57页第五十页，本课件共有57

6、页第五十一页，本课件共有57页证明：证明：2.3.1.返回返回第五十二页，本课件共有57页注:返回第五十三页，本课件共有57页证明证明:只证关于简单迭代法的两个，其余两个的证明类似.(1)设A具有严格对角优势，以下证(BJ)1反证法，设BJ有特征值,|1.3.20第五十四页，本课件共有57页所以D+L+U也具有严格对角优势，所以|D+L+U|0，所以|1不可能成立，所以|1，即(BJ)1。3.21 与 矛盾第五十五页，本课件共有57页(2)A 不可约且具有对角优势，证(BJ)1，由定理有A非奇异，又（否则A必有一行元素全为零，与A非奇矛盾）用反证法，设BJ有特征值,|1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意 D+L+U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全 相同，而A不可约.所以必有 D+L+U 不可约.返回第五十六页，本课件共有57页所以 D+L+U有对角线优势，所以|D+L+U|0，与（3.20）矛盾。|1不可能成立，所以|1，即(BJ)1.第五十七页，本课件共有57页