第二章拉布拉斯变换优秀PPT.ppt

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1、第二章拉布拉斯变换12/6/20221第一页，本课件共有56页知识点w系统微分方程的建立方法w Laplace变换的定义及性质w 传递函数的定义及性质w 控制系统中的典型环节及传递函数的数学模型w 动态结构图的建立方法及简化w 准确求取系统的传递函数w 自动控制系统中微分方程、传递函数、动态结构图之间的关系及相互转换第二页，本课件共有56页2.1微分方程 数学模型数学模型：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。概述概述数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型方框图和信号流图方框图和信号流图状

2、态空间模型状态空间模型例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。第三页，本课件共有56页物理模型w任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。w电子放大器 看成 理想的线性放大环节。w通讯卫星 看成 质点。第四页，本课件共有56页建立控制系统数学模型的方法有：w分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规

3、律、化学规律。w实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。第五页，本课件共有56页分析法建立系统数学模型的几个步骤：w建立物理模型。w列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）w选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。第六页，本课件共有56页实验法基于系统辨识的建模方法w已知知识和辨识目的w实验设计-选择实验条件w模型阶次-适合于应用的适当的阶次w参数估计-最小二乘法w模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近第七页，本课件共有5

4、6页控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。第八页，本课件共有56页 线性系统线性系统：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。概述概述第九页，本课件共有56页线性定常系统和线性时变系统线性定常系统和线性时变系统：宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数

5、是时间的函数，则这类系统为线性时变系统时变系统。第十页，本课件共有56页 经典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。非线性系统非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。下面是非线性系统的一些例子：概述概述第十一页，本课件共有56页 微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程控制系统的微分方程第十二页，本课件共有56页控制系统的微分方程控制系统的微分方程由：，代入得：这

6、是一个线性定常二阶微分方程。解：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。第十三页，本课件共有56页电容w电容（Capacitor）是第二种最常用的元件。所谓电容，就是容纳和释放电荷的电子元器件。电容的基本工作原理就是充电放电，还有整流、振荡以及其它的作用。电容的主要物理特征是储存电荷。由于电荷的储存意味着能的储存，因此也可说电容器是一个储能元件，确切的说是储存电能。两个平行的金属板即构成一个电容器。w固定电容在电路中常常用来做为耦合，滤波，积分，微分，另外电容的结构非常简单，主要由两块正负电极和 夹在中间的绝缘介质组成，所以电容类型主要是由电极和绝缘介质决定

7、的。第十四页，本课件共有56页电电 感感w电感是导线内通过变化的电流时，在导线电感是导线内通过变化的电流时，在导线的内部周围产生交变磁通，导线的磁通量的内部周围产生交变磁通，导线的磁通量与生产此磁通的电流之比。与生产此磁通的电流之比。w当电感线圈接到交流电源上时，线圈内部当电感线圈接到交流电源上时，线圈内部的磁力线将随电流的交变而时刻在变化着，的磁力线将随电流的交变而时刻在变化着，致使线圈产生电磁感应。这种因线圈本身致使线圈产生电磁感应。这种因线圈本身电流的变化而产生的电动势，称为电流的变化而产生的电动势，称为“自自感电动势感电动势”。第十五页，本课件共有56页例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机

8、械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输量为位移x。解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：控制系统的微分方程控制系统的微分方程第十六页，本课件共有56页需要讨论的几个问题需要讨论的几个问题：1、相似系统和相似量：、相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。这是因为：若令 （电荷），则例2-1式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而

9、不同类型的系统也可同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量相似系统和相似量定义定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与 为相似量。作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。第十七页，本课件共有56页力-电压相似w机系统（机系统（a）和电系统（）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）w相

10、似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。w为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统机械系统.w因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。研究。机械电阻R1电阻R2弹性系数K1弹性系数K2电气阻尼B1阻尼B21/C11/C2第十八页，本课件共有56页2 2、非线性元件（环节）微分方程的线性化、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线

11、性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化第十九页，本课件共有56页非线性系统非线性系统 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。第二十页，本课件共有56页非线性环节微分方程的线性化非线性环节微

12、分方程的线性化AByx0 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。第二十一页，本课件共有56页AByx0设f(x)在 点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化第二十二页，本课件共有56页3.线性系统微分方程的编写步骤：线性系统微分方程的编写步骤：确定系统和各元部件的输入量和输出量。对系统中每一个元件列写出

13、与其输入、输出量有关的物理的方程。对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤线性系统微分方程的编写步骤第二十三页，本课件共有56页拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义(P11)(P11)若若 将将 实实 变变 量量 t t的的 函函 数数 f(t)f(t)乘乘 上上 指指 数数 （其其 中中 s s 是是一一个个复复数数），并并且且在在 上上对对t t积积分分，就就可可以以得得到到一一个个新新的的函函数数F(s

14、)F(s)，称称F(s)F(s)为为f(t)f(t)的的拉拉氏氏变变换换，并用符号并用符号 表示。即表示。即F(s)象函数，象函数，f(t)原函数原函数。第二十四页，本课件共有56页拉普拉斯变换的几个基本法则拉普拉斯变换的几个基本法则1.线性定理线性定理 两两个个函函数数和和的的拉拉氏氏变变换换，等等于于每每个个函函数数拉氏变换的和，即拉氏变换的和，即 函数放大函数放大K K倍的拉氏变换，等于函数拉氏变倍的拉氏变换，等于函数拉氏变 换的换的K K倍，即倍，即 第二十五页，本课件共有56页3.位移定理位移定理 若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则有则有第二十六页，本

15、课件共有56页若若f(t)的的拉拉氏氏变变换换为为F(s),函函数数求求导导的的拉拉氏氏变变换换，等等于于函函数数拉拉氏氏变变换换乘乘以以s s的的求求导导次幂（这时，初始条件需为零）。次幂（这时，初始条件需为零）。同理，若初始条件同理，若初始条件则有则有 5.微分定理微分定理第二十七页，本课件共有56页7.积分定理积分定理 一一个个函函数数积积分分后后再再取取拉拉氏氏变变换换等等于于这个函数的拉氏变换除以复参数这个函数的拉氏变换除以复参数s s，即，即 第二十八页，本课件共有56页9.终值定理终值定理函函数数的的稳稳态态值值（的的数数值值），等等于于函函数数的拉氏的拉氏变换变换乘以乘以s s

16、后的的极限后的的极限值值。即。即 第二十九页，本课件共有56页常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换p13 单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。第三十页，本课件共有56页例子求速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。求输入参数和输出参数间的对应关系第三十一页，本课件共有56页例子求速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。解速度控制系统微分方程为：对上式各项进行拉氏变换，得：即：当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出的时域解。线性方程的求解（例子）线性方程的求解（例子）第三

17、十二页，本课件共有56页例例 1 拉布拉斯变换拉布拉斯变换第三十三页，本课件共有56页例例2 图为一个模拟控制器的电路示意图。图为一个模拟控制器的电路示意图。1）写出输入Ur与输出Uc之间的微分方程；2）建立该控制器的结构图；3）求闭环传递函数Uc(s)/Ur(s)；4）当R1=R2=R3=R4=100K；R5=1M C1=C2=10 uf 输入ur=1(t)，求uc的稳态输出。第三十四页，本课件共有56页1列出输入Ur与输出Uc之间的微分方程第三十五页，本课件共有56页第三十六页，本课件共有56页第三十七页，本课件共有56页 在如图411 所示的电路中,所有电路参数已经给出,在t=t0 时,

18、将开关K 闭合.求电流i(t).第三十八页，本课件共有56页第三十九页，本课件共有56页求单位阶跃函数的拉氏变换第四十页，本课件共有56页微分性质证明第四十一页，本课件共有56页拉氏反变换由象函数由象函数F(s)F(s)求取原函数求取原函数f(t)f(t)的运算称的运算称为为拉拉氏反氏反变换变换，表示，表示为为L L-1-1 。其数学定。其数学定义为义为：如果的如果的f(t)f(t)拉氏反变换拉氏反变换F(s)F(s)已分解成下列分量：已分解成下列分量：第四十二页，本课件共有56页那么那么对于控制理论中的问题，对于控制理论中的问题，F(s)F(s)常常是如下的形式：常常是如下的形式：将将 写成

19、了下面的因式分解的形式写成了下面的因式分解的形式：P14 第四十三页，本课件共有56页F(s)中具有不同的极点时可展开为 P14第四十四页，本课件共有56页b.F(s)b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为含有共扼复数极点时，可展开为 c.F(s)c.F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。P15第四十五页，本课件共有56页例 F(s)=1/(s-a)(s-b),求f（t）第四十六页，本课件共有56页用用拉拉氏氏变变换换求求解解线线性性常常系系数数微微分分方方程程的的一一般步骤：般步骤：p16（1)1)考考虑虑初初始始条条件件，对对微微分分方

20、方程程进进行行拉拉氏氏变变换换，将时域的微分方程变换为将时域的微分方程变换为s s域的代数方程；域的代数方程；（2)2)求解代数方程得到微分方程在求解代数方程得到微分方程在s s域的解；域的解；（3)3)求求s s域域解解的的拉拉氏氏反反变变换换，即即得得到到微微分分方方程程的解。的解。第四十七页，本课件共有56页例：设系统的微分方程为，已知：例：设系统的微分方程为，已知：求系统的输出响应求系统的输出响应。第四十八页，本课件共有56页解解 将方程两边求拉氏变换，得将方程两边求拉氏变换，得 将将 代入上式，整理后可得输出量的拉氏变换代入上式，整理后可得输出量的拉氏变换 对上式取拉氏变换得对上式取

21、拉氏变换得 第四十九页，本课件共有56页小结w系统微分方程的列写；w相似量、相似系统，非线性环节的线性化；w线性方程的求解（用拉氏变换法）；w拉氏变换及性质。第五十页，本课件共有56页作业1.对某一闭环系统控制参数变化进行方框图描述；（参考p3-4）2.什么是线性定常系统和线性时变系统？3.简述拉式变换的应用条件；4.拉式变换的十个基本性质；5.简述用拉氏变换求解线性常系数微分方程的一般步骤。第五十一页，本课件共有56页 图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。第五十二页，本课件共有56页第五十三页，本课件共有56页第五十四页，本课件共有56页第五十五页，本课件共有56页第五十六页，本课件共有56页