第4章 等参数单元优秀PPT.ppt

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1、第4章 等参数单元现在学习的是第1页，共23页第三章有限元分析的思路，十分严谨、明确，但是过于繁琐。第三章有限元分析的思路，十分严谨、明确，但是过于繁琐。对于常应变三角形单元还可行。对于常应变三角形单元还可行。如二维如二维8 8节点四边形，节点四边形，1616个待定系数，人工几乎难以完成；个待定系数，人工几乎难以完成；三维三维2020节点单元，节点单元，203203个待定系数。个待定系数。解决途径：解决途径：形函数是单元位移的形函数是单元位移的插值函数插值函数，可以利用数学中的，可以利用数学中的“插值函数插值函数”直直接给出形函数。接给出形函数。4.1 自然坐标和插值函数自然坐标和插值函数现在

2、学习的是第2页，共23页（局部）自然坐标（局部）自然坐标取取2222正方形（正方形（母单元母单元）的两对边中点作为该正方形的局部坐标系，以）的两对边中点作为该正方形的局部坐标系，以OO表示，并且规定表示，并且规定，的坐标值有效取值范围在的坐标值有效取值范围在0 0到到11之间。之间。坐标值坐标值：在中心点（原点）：在中心点（原点）：=0=0；正方形的各边：正方形的各边：=1=1，=1=1；各角点：各角点：=1=1或或-1-1，=1=1或或-1-1；正方形内部的任一点：由局部坐标来定义，正方形内部的任一点：由局部坐标来定义，、在在11之间，之间，即即P P（,),)。任意四边形单元（任意四边形单

3、元（子单元子单元）：定）：定义同上。义同上。二者具有相互映射的关系。二者具有相互映射的关系。自然坐标自然坐标：这种基于四边形形状而定义的坐标系，是同任意四边形：这种基于四边形形状而定义的坐标系，是同任意四边形的自然形状相关的，故称之为的自然形状相关的，故称之为“自然坐标自然坐标”。现在学习的是第3页，共23页如果在四边形的各边中点增加节点，即构成更高精度的单元。如果在四边形的各边中点增加节点，即构成更高精度的单元。曲边曲边8 8节点四边形单元，相应的自然坐标节点四边形单元，相应的自然坐标,轴也呈曲线形。同样与轴也呈曲线形。同样与母单元具有相互映射的关系。母单元具有相互映射的关系。以此类推，更多

4、节点的任意四边形（以此类推，更多节点的任意四边形（1212节点，节点，1616节点等）也具有同样的节点等）也具有同样的特性。特性。高精度四边形单元：高精度四边形单元：现在学习的是第4页，共23页自然坐标的优点自然坐标的优点：1.1.无论四边形的大小和形状如何，其坐标特性是相同的，因此可以用无论四边形的大小和形状如何，其坐标特性是相同的，因此可以用统一的表达式来描述，这有利于推导统一的有限元公式；统一的表达式来描述，这有利于推导统一的有限元公式；2.2.以自然坐标导出的有限元公式，有利于实现数值积分运算，这就克服以自然坐标导出的有限元公式，有利于实现数值积分运算，这就克服了高精度单元的刚度矩阵、

5、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进了高精度单元的刚度矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的困难；行积分所遇到的困难；3.3.高精度（高精度（8 8节点及以上）单元，单元边界可以是直边或曲边，就节点及以上）单元，单元边界可以是直边或曲边，就可以更好地逼近实际物体复杂的几何形状。可以更好地逼近实际物体复杂的几何形状。现在学习的是第5页，共23页拉格朗日插值拉格朗日插值:若函数若函数F(x)F(x)在在m m个点上有已知值，则可以用在这些点上的个点上有已知值，则可以用在这些点上的已知值构造一个不超过已知值构造一个不超过n=(m-1)n=(m-1)阶的代数多项式来近似。该函数阶

6、的代数多项式来近似。该函数f(x)f(x)在所在所有已知点处均满足有已知点处均满足f(xf(xi i)=F(x)=F(xi i)。记为：记为：拉格朗日插值拉格朗日插值式中式中称为称为n n阶拉格朗日插值函数，也叫阶拉格朗日插值函数，也叫“拉格朗日乘子拉格朗日乘子”，可由下式求得：，可由下式求得：可简写为可简写为上标上标n n表示函数的幂次，下标表示函数的幂次，下标i i表示对应的已知表示对应的已知点（或节点）。点（或节点）。现在学习的是第6页，共23页1.1.一维拉格朗日插值一维拉格朗日插值两点插值：两点插值：三点插值：三点插值：高次的拉格朗日插值，均可由最简单的线性插值的某种组合来高次的拉格

7、朗日插值，均可由最简单的线性插值的某种组合来表示。表示。现在学习的是第7页，共23页如采用自然坐标系，取如采用自然坐标系，取 则可以把拉格朗日插值函数的则可以把拉格朗日插值函数的公式表示如下：公式表示如下：两点插值：两点插值：三点插值：三点插值：现在学习的是第8页，共23页2.2.二维拉格朗日插值二维拉格朗日插值m,pm,p分别为两个坐标方向分别为两个坐标方向上的插值点数目。上的插值点数目。n=m-1,q=p-1n=m-1,q=p-1，为插值函数，为插值函数的幂次。的幂次。通常都在两个坐标方向取通常都在两个坐标方向取相同数目的点。相同数目的点。若在若在,方向均取两点插值，则：方向均取两点插值，

8、则：现在学习的是第9页，共23页4.2 等参数单元的概念等参数单元的概念平面问题的单元，最简单的是三节点三角形单元，其次是四节点矩形单元。平面问题的单元，最简单的是三节点三角形单元，其次是四节点矩形单元。三角形单元适应性强，较容易进行网格划分，能应用与曲折的几何边界，但精度较低。特三角形单元适应性强，较容易进行网格划分，能应用与曲折的几何边界，但精度较低。特别是在应力集中部位容易产生较大误差。别是在应力集中部位容易产生较大误差。矩形单元精度较高，形状规整，但适应性差，不便用于曲线边界和非正交的直线边界。应用不多。矩形单元精度较高，形状规整，但适应性差，不便用于曲线边界和非正交的直线边界。应用不

9、多。等参数四边形单元等参数四边形单元：将整体坐标系（：将整体坐标系（x,y)x,y)中的四边形（中的四边形（4 4节点、节点、8 8节点，节点，1212节点等）单元，变换为局部节点等）单元，变换为局部(自然）坐标系（自然）坐标系（,）中的规则正方形，运）中的规则正方形，运用插值函数，建立位移模式，进行有限元分析，其用插值函数，建立位移模式，进行有限元分析，其坐标变换式和位移模坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数式采用同样的形函数和相同的参数。现在学习的是第10页，共23页等参数的思想，由易到难，由规则单元的特殊情况推广到不规则单元等参数的思想，由易到难，由规则单元的特殊情况推广到不

10、规则单元的一般情况。的一般情况。等参数单元应用最广，至今国际上流行的大型结构分析软件中，等参数单元应用最广，至今国际上流行的大型结构分析软件中，几乎都包含有等参数单元库。几乎都包含有等参数单元库。应用实践表明，采用等参数单元离散结构，可以达到更高的计应用实践表明，采用等参数单元离散结构，可以达到更高的计算精度，而且结构离散和数据准备工作量相对减少。算精度，而且结构离散和数据准备工作量相对减少。等参数三角形单元应用不多。等参数三角形单元应用不多。等参数单元的基本思想：等参数单元的基本思想：首先导出规则单元（母单元）的首先导出规则单元（母单元）的形函数，然后进行坐标变换，导出对应的不规则单元的形形

11、函数，然后进行坐标变换，导出对应的不规则单元的形函数和单元刚度矩阵。函数和单元刚度矩阵。现在学习的是第11页，共23页等参数单元的优点：等参数单元的优点：1.1.应用范围广。在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中都应用范围广。在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中都可应用。可应用。2.2.将不规则的单元变换成规则的单元后，易于构造位移模式。将不规则的单元变换成规则的单元后，易于构造位移模式。3.3.在原结构中可以采用不规则的单元，易于适用边界的形状在原结构中可以采用不规则的单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。和改变单元的大小。4.4.可以灵活地增减节点，容易构造各种过渡单元。可以灵活地增减节

12、点，容易构造各种过渡单元。5.5.推导过程具有通用性。一维、二维和三维的推导过程基本推导过程具有通用性。一维、二维和三维的推导过程基本相同。相同。现在学习的是第12页，共23页4.3 平面等参数单元平面等参数单元四节点四边形是最简单的四边形单元。四节点四边形是最简单的四边形单元。通过增加节点（从而也就增加了节点自由度及位移函数的幂次），通过增加节点（从而也就增加了节点自由度及位移函数的幂次），可以构成可以构成8 8节点、节点、1212节点、节点、1616节点等高精度单元。节点等高精度单元。四边形等参数单元应用最为广泛。高精度三角形单元四边形等参数单元应用最为广泛。高精度三角形单元,由于其自身的

13、由于其自身的某些不足某些不足,应用不够方便应用不够方便,相对较少。相对较少。利用利用拉格朗日插值拉格朗日插值方法，直接选定相应的形函数来构造位移模式方法，直接选定相应的形函数来构造位移模式非常方便。非常方便。四边形单元的类型四边形单元的类型利用利用局部自然坐标来建立单元特性局部自然坐标来建立单元特性，可以避开繁琐的数学推演。，可以避开繁琐的数学推演。特别是对于高次的单元，由于不可能导出显式，单元刚度矩阵及外力等效节点力的计特别是对于高次的单元，由于不可能导出显式，单元刚度矩阵及外力等效节点力的计算都必须进行积分计算，利用自然坐标更便于利用数值积分。算都必须进行积分计算，利用自然坐标更便于利用数

14、值积分。现在学习的是第13页，共23页1.41.4节点四边形单元节点四边形单元位移模式可参考帕斯卡三角形，写成以局部自然坐标表示的多项位移模式可参考帕斯卡三角形，写成以局部自然坐标表示的多项式形式：式形式：符合插值函数的概念，可以直接利用拉格朗日插值写出单元的位移模符合插值函数的概念，可以直接利用拉格朗日插值写出单元的位移模式：式：现在学习的是第14页，共23页其中形函数为：其中形函数为：把形函数写成统一的形式：把形函数写成统一的形式：(i=1,2,3,4)(i=1,2,3,4)i i,i i表示该节点的相应局部坐标值。表示该节点的相应局部坐标值。现在学习的是第15页，共23页坐标变换坐标变换

15、母单元可以按照前面讲述的有限元分析的步骤，直接进行分析。母单元可以按照前面讲述的有限元分析的步骤，直接进行分析。但母单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。但母单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。为解决这个问题，需要用坐标变换的方法，将形状规整的母单元为解决这个问题，需要用坐标变换的方法，将形状规整的母单元转换成具有曲线边界、形状复杂的子单元。转换成具有曲线边界、形状复杂的子单元。这样，对于一个实际结构，就可以采用各种复杂形状的子这样，对于一个实际结构，就可以采用各种复杂形状的子单元，在整体坐标系中进行划分来逼近其复杂的曲线或曲线单元，在整体坐标系中进行

16、划分来逼近其复杂的曲线或曲线边界；边界；每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系下的规整单元（母单元），计算比较简单。下的规整单元（母单元），计算比较简单。现在学习的是第16页，共23页为了使母单元的四个节点与等参数单元的四个节点互为对应点，为了使母单元的四个节点与等参数单元的四个节点互为对应点，利用形函数，建立局部坐标（利用形函数，建立局部坐标（,）和整体坐标（）和整体坐标（x,y)x,y)之间的之间的对应关系：对应关系：显然，上式在四个节点处给出了节点整体的坐标值。显然，上式在四个节点处给出了节点整体的坐标值。把形心把形心=0

17、,=0=0,=0带入得：带入得：单元上每一点的两种坐标值都是一单元上每一点的两种坐标值都是一一对应的。一对应的。由此，确定了平面四节点四边形等由此，确定了平面四节点四边形等参数单元的参数单元的几何形状和位移模式几何形状和位移模式。现在学习的是第17页，共23页整体坐标和局部（自然）坐标的特点整体坐标和局部（自然）坐标的特点：1.1.整体分析在整体坐标中采用，单元分析在局部坐标中采用。整体分析在整体坐标中采用，单元分析在局部坐标中采用。2.2.由（由（,),)推算（推算（x,yx,y）时，可以直接采用坐标变换式；反之，由）时，可以直接采用坐标变换式；反之，由（x,y)x,y)推算（推算（,),)

18、,则需反解（则需反解（,),)，得出逆变换式，逆变换式，得出逆变换式，逆变换式比较复杂，不便应用。这是单元分析采用局部坐标的一个原因。比较复杂，不便应用。这是单元分析采用局部坐标的一个原因。3.3.局部坐标边界线方程简单，而且不同的单元具有相同的形式；局部坐标边界线方程简单，而且不同的单元具有相同的形式；反之，整体坐标等参数单元的边界线方程形式较复杂，而且其形反之，整体坐标等参数单元的边界线方程形式较复杂，而且其形式随着单元而异，不便于应用。式随着单元而异，不便于应用。由上可知，在单元分析中，采用局部坐标（由上可知，在单元分析中，采用局部坐标（,）比采用整体坐标）比采用整体坐标（x,y)x,y

19、)更为方便，更为自然。更为方便，更为自然。现在学习的是第18页，共23页应应 变变将位移模式写成矩阵形式：将位移模式写成矩阵形式：求应变：求应变：其中：其中：(i=1,2,3,4)(i=1,2,3,4)现在学习的是第19页，共23页形函数是局部坐标的函数，需要进行偏导数的变换。形函数是局部坐标的函数，需要进行偏导数的变换。根据复合函数的求导法则，有：根据复合函数的求导法则，有：写成矩阵形式：写成矩阵形式：求逆，得：求逆，得：其中，其中，J J称为称为雅可比（雅可比（Jacobian)Jacobian)矩阵矩阵,J,J-1-1为雅可比矩阵的逆为雅可比矩阵的逆矩阵。矩阵。现在学习的是第20页，共2

20、3页雅可比矩阵雅可比矩阵J J和其逆阵和其逆阵J J-1-1是容易求解的。式中是容易求解的。式中m m表示节点的数目，表示节点的数目，4 4节点、节点、8 8节点、节点、1212节点等的等参数单元都可以运用。节点等的等参数单元都可以运用。由矩阵求逆的公式得：由矩阵求逆的公式得：将等参数单元坐标变换的关系式将等参数单元坐标变换的关系式带入带入J J中：中：利用上述一系列关系，可以很方便地建立单元的几何矩阵、刚利用上述一系列关系，可以很方便地建立单元的几何矩阵、刚度矩阵和等效节点力。度矩阵和等效节点力。现在学习的是第21页，共23页应力应力应力矩阵：应力矩阵：现在学习的是第22页，共23页单元刚度矩阵单元刚度矩阵由虚功原理得：由虚功原理得：写成分块矩阵，每个子阵都是写成分块矩阵，每个子阵都是2222阶矩阵：阶矩阵：单元刚度矩阵尽管积分区域很简单，但被积函数却比较复杂，通常单元刚度矩阵尽管积分区域很简单，但被积函数却比较复杂，通常采用采用高斯积分法高斯积分法由计算机完成。由计算机完成。现在学习的是第23页，共23页