任意角的概念与弧度制培训讲学.ppt

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1、三角函数三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)是刻画周期现象的一类重要的函数模型是刻画周期现象的一类重要的函数模型(mxng)(mxng)和基本的和基本的初等函数。它是生产实践和科学研究的重要数学工具。它初等函数。它是生产实践和科学研究的重要数学工具。它在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都学、电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用。有广泛的应用。第一页，共19页。任意角的三角函数之一任意角的三角函数之一角的概念角的概念(ginin)的的推广推广第二页，

2、共19页。2.2.在数学上，我们在数学上，我们(w men)(w men)规定，按逆时针方向旋转形成的规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。1.1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置(wi(wi zhi)zhi)旋转到另一个位置旋转到另一个位置(wi zhi)(wi zhi)所形成的图形。所形成的图形。这样这样(zhyng)(zhyng)，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角。一、角的相关概念：一、角的相关概念：第三页，共1

3、9页。3.3.在图在图1.61.6中，一条射线的端中，一条射线的端点是点是O O，它从起始位置，它从起始位置OAOA按逆按逆时针方向旋转到终止位置时针方向旋转到终止位置OBOB，形成形成(xngchng)(xngchng)了一个正角，了一个正角，记作记作。点。点O O是角的顶点，射是角的顶点，射线线OAOA、OBOB分别是分别是的始边、终的始边、终边。边。4.4.如果一条射线它从起始如果一条射线它从起始(q sh)(q sh)位置位置OAOA没有作任何旋转，没有作任何旋转，终止位置终止位置OBOB与起始与起始(q sh)(q sh)位置位置OAOA重合，我们称这样形成重合，我们称这样形成的角为

4、零度角，又称零角，记作的角为零度角，又称零角，记作=0=0 第四页，共19页。角应包括角应包括(boku)(boku)正角、负角和正角、负角和零角零角 第五页，共19页。为了研究问题方便，我们为了研究问题方便，我们(w men)(w men)常在直角坐标系内常在直角坐标系内讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x x轴轴的正半轴重合的正半轴重合图图1-91-9中的中的3030，390390，-330-330角，角，都是第一都是第一(dy)(dy)象象限角；图限角；图1-101-10中的中的300300，-60-60角，角，都是第四象限角；都是第

5、四象限角；585585角是第三象角是第三象限角。限角。角的终边角的终边(除端点外除端点外)在第几象限在第几象限(xingxin)(xingxin)，我们就说，我们就说这个角是第几象限这个角是第几象限(xingxin)(xingxin)角角 二、象限角二、象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角第六页，共19页。所所有有与与角角终终边边相相同同的的角角，连连同同角角在在内内，可可构构成成一一个个集集合合 S=|=+k360S=|=+k360，kZkZ，即即任任一一与与角角终终边边相相同同的的角角，都都可可以以(ky)(ky)表表示示成成与

6、与周周角角的的整整数数倍倍的和的和 注意以下几点注意以下几点（1）kZ ;（2）是任意角；是任意角；（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相同的角；相同的角；（4）终边相同的角有无数个，他们）终边相同的角有无数个，他们(t men)相差相差360的整数的整数倍；倍；（5）k360与与之间为之间为“+”，k360-看作看作k360+（-）三、终边相同三、终边相同(xin tn)的角的角第七页，共19页。例例1 1 判定下列判定下列(xili)(xili)各角是第几象限角各角是第几象限角(1)-60(1)-60；(2)585 (2)58

7、5；(3)-95012 (3)-95012 例例3 3 在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中，写系中，写出终边在出终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合(用用00到到360360的角的角表示表示)例例2 2 设设P=P=锐角锐角，Q=Q=小于小于9090 的角的角，M=M=第一象限角第一象限角，S=S=小于小于9090 的正角的正角，则下列，则下列(xili)(xili)六个关系：六个关系：P=Q P=M P=S P P=Q P=M P=S P Q Q P P M QM Q M M中，正确的有中，正确的有 个？个？（1）四）四（3）-95012

8、=-2360+（-23012）（2）58012=360+225，三，三 （3）=|=n180+90，nZ第八页，共19页。例例7 7 设设 为第三象限角，求为第三象限角，求 所在象限，并画所在象限，并画图表示在该象限的什么区域内图表示在该象限的什么区域内.例例6 6 若若 是第四象限是第四象限(xingxin)(xingxin)角，则角，则180180-是第是第几象限几象限(xingxin)(xingxin)角？角？例例5 5 写出与写出与6060角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S S，并把，并把S S中中适合适合(shh)(shh)不等式不等式-360-360720720的元素的元素

9、写写出来：出来：例例4 4 在在0-3600-360间，找出下列间，找出下列(xili)(xili)各角终边各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.（1 1）-140 -140 （2 2）670 670 （3 3）-85036-85036第九页，共19页。任意角的三角函数任意角的三角函数(snjihnsh)之之二二弧度制弧度制在物理学和日常生活在物理学和日常生活中，一个量，常常需中，一个量，常常需要用不同要用不同(b tn)(b tn)的的方法进行度量，不同方法进行度量，不同(b tn)(b tn)的度量方法的度量方法可以满足我们的不同可以满足我们的不同(b

10、tn)(b tn)需要。需要。第十页，共19页。周角，将它分为周角，将它分为(fn wi)360(fn wi)360等分，把一等分确等分，把一等分确定为定为1 1个单位，即个单位，即1 1度角。度角。当半径不同时（如图当半径不同时（如图1-131-13），），同样的圆心角所对的弧长与半同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数径之比是常数(chngsh)(chngsh)。我。我们称这个常数们称这个常数(chngsh)(chngsh)为该为该角度的弧度值。角度的弧度值。我们规定，在单位圆中长为我们规定，在单位圆中长为1 1的弧所对应的圆心角称为的弧所对应的圆心角称为1 1弧弧度度(hd)(hd)角，

11、它的单位符号是角，它的单位符号是radrad，读作弧度，读作弧度(hd)(hd)。第十一页，共19页。一般地，任一正角一般地，任一正角(zhn jio)(zhn jio)的弧度数都是一的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是的弧度数是0 0。这种以弧度作为单位这种以弧度作为单位(dnwi)(dnwi)来度量角的单位来度量角的单位(dnwi)(dnwi)制，叫做弧度制。制，叫做弧度制。【角度【角度(jiod)(jiod)与弧度的互与弧度的互化】化】1.360=2rad，180=rad.第十二页，共19页。例例1（1）将）将112

12、 30化为弧度；（化为弧度；（2）将）将 弧度化为度；弧度化为度；例例2、把下列角化、把下列角化(jio hu)为为2k +（0 2 ，k Z）的形式）的形式.（1）；（；（2）；并指出所在象限；并指出所在象限.例例3、用弧度制表示第一、用弧度制表示第一(dy)第四象限的角的集合第四象限的角的集合第十三页，共19页。特殊角的度数特殊角的度数(d shu)(d shu)与弧度数与弧度数(d(d shu)shu)的对应表的对应表 度度0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧弧度度0度度180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧弧度度第十四页

13、，共19页。设设R R是圆的半径，是圆的半径，l l是所对的弧长，在使用弧度制时，是所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角圆心角的弧度值通常也用的弧度值通常也用来表示，由弧度的定来表示，由弧度的定义可知义可知(k zh)(k zh)，角，角的弧度数的绝对值满足：的弧度数的绝对值满足：即即 l=|R 弧长等于弧所对的圆心角弧度弧长等于弧所对的圆心角弧度(hd)(hd)数的绝对数的绝对值与半径的积。值与半径的积。角角度度制制时时弧弧长长公公式式为为：其其中中n表表示示角角度度数数。弧度弧度(hd)(hd)制时弧长公式为：制时弧长公式为：第十五页，共19页。例例4 4、利用弧度制证明扇形面积公式、利用弧

14、度制证明扇形面积公式S=lR，其，其 中中l l是扇形的弧长，是扇形的弧长，R是圆的半径。是圆的半径。证明：如图证明：如图1-151-15，因为圆心角为，因为圆心角为1 1的扇形的扇形(shn xn)(shn xn)的面积为的面积为 而弧长为而弧长为l l的扇形的扇形(shn(shn xn)xn)的圆心角的的圆心角的大小为大小为 rad rad所以所以(suy)(suy)扇形的面扇形的面积为积为 第十六页，共19页。几个需要注意的问题：几个需要注意的问题：在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度角度制或弧度(h

15、d)制的一种，绝对不能混用；制的一种，绝对不能混用；用弧度用弧度(hd)制表示终边相同的角制表示终边相同的角 2k +(k Z)时，是时，是 的偶的偶数倍，而不是数倍，而不是 的整数倍；的整数倍；1弧度弧度(hd)是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而而1 是圆的是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大小；所对的圆心角（或该弧）的大小；不管是以不管是以“弧度弧度(hd)”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是一为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值；个与半径的大小无关的定值；用弧度用弧度(hd)单位表示角的大小时，单位

16、表示角的大小时，“弧度弧度(hd)”两字可以省两字可以省略不写，如略不写，如sin2理解为理解为sin（2弧度弧度(hd)）；一般弧度）；一般弧度(hd)表示时，常写成多少表示时，常写成多少 的形式；的形式；但以度为单位，不能省略；但以度为单位，不能省略；第十七页，共19页。例例5、根据下列已知条件，解决扇形根据下列已知条件，解决扇形(shn xn)的有关问的有关问题题（1）已知扇形已知扇形(shn xn)的周长为的周长为10cm，面积为，面积为4cm2，求，求扇形扇形(shn xn)中心角的弧度数。中心角的弧度数。（2）已知一扇形的弧为已知一扇形的弧为72，半径，半径(bnjng)为为20 cm，求扇形的面积。，求扇形的面积。（3）已知一扇形的周长为已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角，当它的半径和圆心角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？第十八页，共19页。例例6.用弧度制表示终边落在下图中阴影部分用弧度制表示终边落在下图中阴影部分(b fen)内的角内的角的集合：的集合：oyx75330 xyo225135oyx21030第十九页，共19页。