事故树的定量分析知识分享.ppt

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1、事故树的定量分析一、基本事件的发生概率一、基本事件的发生概率 基本事件的发生概率包括系统的基本事件的发生概率包括系统的单元单元(部件或元部件或元件件)故障概率故障概率及及人的失误概率人的失误概率等等,在工程上计算时在工程上计算时,往往用基本事件发生的往往用基本事件发生的频率来代替其概率值频率来代替其概率值。1.1.系统的单元故障概率系统的单元故障概率 (1)(1)可修复系统的单元故障概率。可修复系统可修复系统的单元故障概率。可修复系统的单元故障概率定义为的单元故障概率定义为:2 2(2)(2)不可维修系统的单元故障概率。不可维修系统不可维修系统的单元故障概率。不可维修系统的单元故障概率为的单元

2、故障概率为:式中式中 ,t,t 为元件的运行时间。如果把为元件的运行时间。如果把e e-t-t按级按级数展开数展开,略去后面的高阶无穷小略去后面的高阶无穷小,则可近似为则可近似为:6 6 2.2.人的失误概率人的失误概率人的失误是另一种基本事件人的失误是另一种基本事件,系统运行中人的失系统运行中人的失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之间的偏差。间的偏差。人的失误概率人的失误概率通常是指作业者在一定条通常是指作业者在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时

3、出现偏差或件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或失误的概率失误的概率,它它表示表示人的人的失误的可能性大小失误的可能性大小,因此因此,人的失误概率也就是人的失误概率也就是人的不可靠度人的不可靠度。一般根据。一般根据1-1-可可靠度靠度获得获得。7 7 例如例如例如例如,有研究表明有研究表明有研究表明有研究表明,人的舒适温度一般是人的舒适温度一般是人的舒适温度一般是人的舒适温度一般是1922 1922 1922 1922 ,当人在作业时当人在作业时当人在作业时当人在作业时,环境温度超过环境温度超过环境温度超过环境温度超过27 27 27 27 时时时时,人体失误概率人体失误概率人体失误概率

4、人体失误概率大约会上升大约会上升大约会上升大约会上升40%40%40%40%。因此。因此。因此。因此,还需要用修正系数还需要用修正系数还需要用修正系数还需要用修正系数 K K K K 加以修加以修加以修加以修正正正正 ,从而得到作业者单个动作从而得到作业者单个动作从而得到作业者单个动作从而得到作业者单个动作 的失误概率为的失误概率为的失误概率为的失误概率为:q=k(1-R)q=k(1-R)q=k(1-R)q=k(1-R)式中式中式中式中 k-k-k-k-修正系数修正系数修正系数修正系数,k=a,k=a,k=a,k=a b b b b c c c c d d d d e;e;e;e;a-a-a-

5、a-作业时间系数作业时间系数作业时间系数作业时间系数;b-b-b-b-操作频率系数操作频率系数操作频率系数操作频率系数;c-c-c-c-危险状况系数危险状况系数危险状况系数危险状况系数;d-d-d-d-心理、生理条件系数心理、生理条件系数心理、生理条件系数心理、生理条件系数;e-e-e-e-环境条件系数。环境条件系数。环境条件系数。环境条件系数。a a a a、b b b b、c c c c、d d d d、e e e e 的取值见的取值见的取值见的取值见表表表表3-13 3-13 3-13 3-13。8 8二、顶事件的发生概率二、顶事件的发生概率 事故树定量分析事故树定量分析,是在已知基本事

6、件发生是在已知基本事件发生概率的前提条件下概率的前提条件下,定量地计算出在一定时间定量地计算出在一定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件有重复的或相同的基本事件,各基本事件又都各基本事件又都是相互独立的是相互独立的,顶事件发生概率可根据事故树顶事件发生概率可根据事故树的结构的结构,用下列公式求得。用下列公式求得。用用 “与门与门”连接的顶事件的发生概率为连接的顶事件的发生概率为:9 9用用 “或门或门”连接的顶事件的发生概率为连接的顶事件的发生概率为:式中式中 q qi i-第第 i i 个基本事件的发生概率个基本事件的发

7、生概率(i=1,2,i=1,2,n),n)。如图如图 3-153-15所示的事故树。所示的事故树。已知各基本事件的发生已知各基本事件的发生概率概率q q1 1=q=q2 2=q=q3 3=0.1,=0.1,顶事件的发生概率为顶事件的发生概率为:1010P P (T(T)=q q1 11-(1-1-(1-q q2 2)(1-)(1-q q3 3)=0.11-(1-0.1)(1-0.1)=0.11-(1-0.1)(1-0.1)=0.019=0.019但当事故树中含有重复出现的基本事件时但当事故树中含有重复出现的基本事件时,或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时或基本事件可能在几个最小割集中重复出

8、现时,最小割集之间是相交的最小割集之间是相交的,这时这时,应按以下几种应按以下几种方法计算。方法计算。1111设某事故树有设某事故树有 n n 个基本事件个基本事件,这这 n n 个基本事件个基本事件两种状态的组合数为两种状态的组合数为 2 2n n 个。根据事故树模型个。根据事故树模型的结构分析可知的结构分析可知,所谓所谓顶事件的发生概率顶事件的发生概率,是指是指结构函数结构函数(x)=1(x)=1的概率的概率。因此。因此,顶事件的发生顶事件的发生概率概率P(T)P(T)可用下式定义可用下式定义:式中式中 P-P-基本事件状态组合序号基本事件状态组合序号;p p(X)-(X)-第第 p p

9、种组合的结构函数值。种组合的结构函数值。(1(1或或 0);0);q qi i-第第 i i 个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率;Y Yi i-第第 i i 个基本事件的状态值个基本事件的状态值(1(1或或0)0)。1.1.状态枚举法状态枚举法1212 从式从式 (3-17)(3-17)可看出可看出:在在 n n 个基本事件两个基本事件两种状态的所有组合中种状态的所有组合中,只有当只有当p p(X)=1(X)=1 时时,该该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时用该式计算时,只需考虑只需考虑p p(X)=1(X)=1的所有状态的所有状

10、态组合。首先列出基本事件的状态值表组合。首先列出基本事件的状态值表,根据事根据事故树的结构求得结构函数故树的结构求得结构函数p p(X)(X)值值,最后求出最后求出使使p p(X)=1(X)=1的各基本事件对应状态的概率积的的各基本事件对应状态的概率积的代数和代数和,即为顶事件的发生概率。即为顶事件的发生概率。1313 例例 3-7 3-7 试用式试用式(3-17)(3-17)计算图计算图 3-15 3-15 所示所示事故事故事故事故树的顶事件发生概率。树的顶事件发生概率。解解:基本事件的状态组合及顶事件的状态值见基本事件的状态组合及顶事件的状态值见表表3-143-14,并列出每一种状态所对应

11、的并列出每一种状态所对应的q qp p(q)(q)和和q qp p,因因而得到而得到:X1X2X3X1X2X3(X)(X)q qp p(q)(q)q qp p000000 001001010010011011000001000001qq1 1(1-q(1-q2 2)q)q3 30000000000100100 1011011101101111111111qq1 1q q2 2(1-q(1-q3 3)0.0090.0090.0010.0090.0090.001 00000q00000q1 1q q2 2q q3 3 P(T)P(T)0.0190.019表表3-14事故树事故树P(T)计算表计算表

12、1414该方法规律性强该方法规律性强,适于编制程序上机计适于编制程序上机计算算,可用来计算较复杂系统事故发生概可用来计算较复杂系统事故发生概率。但当率。但当 n n 值较大时值较大时,计算中要涉及计算中要涉及2 2n n个状态组合个状态组合,并需求出相应顶事件的状并需求出相应顶事件的状态态,因而计算工作量很大因而计算工作量很大,花费时间较花费时间较长。长。15152 2 直接分步算直接分步算法法 该方法该方法适用于事故树的规模不大，又没适用于事故树的规模不大，又没有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使用。用。其计算方法是：从底部的逻辑门连接的其计算方法是：

13、从底部的逻辑门连接的事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事件件T的发生概率。的发生概率。1616直接分布算法的的规则如下：直接分布算法的的规则如下：1）与门连接的事件，计算概率积）与门连接的事件，计算概率积qA与门事件的概率与门事件的概率qi与门连接的第与门连接的第i个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率n 与门连接的输入事件数与门连接的输入事件数17172）或门连接的事件，计算概率和）或门连接的事件，计算概率和qB或门事件的概率或门事件的概率qi或门连接的第或门连接的第i个基本事件的发生概率个基本事件的发生概率n 或门连接的输入事件数或门连接的输入事件

14、数1818【例例3-8】用直接分用直接分步算法计算右图所示步算法计算右图所示事故树顶事件的发生事故树顶事件的发生概率。各基本事件下概率。各基本事件下的数字即为其发生概的数字即为其发生概率率1919解：第一步，求解：第一步，求A2的概率，其为或门连接，有的概率，其为或门连接，有第二步，求第二步，求A1的概率，其为与门连接，有的概率，其为与门连接，有2020第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有2121 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时事故树可以用其最小割集的等效

15、树来表示。这时,顶事件顶事件顶事件顶事件与各与各与各与各最小割集最小割集最小割集最小割集用或门连接，每个最小割集与其用或门连接，每个最小割集与其用或门连接，每个最小割集与其用或门连接，每个最小割集与其包含的基本事件用与门连接包含的基本事件用与门连接包含的基本事件用与门连接包含的基本事件用与门连接。如果各最小割集间如果各最小割集间如果各最小割集间如果各最小割集间没有重复的基本事件没有重复的基本事件没有重复的基本事件没有重复的基本事件，则，则，则，则可按可按可按可按照照照照直接分步算法计算直接分步算法计算直接分步算法计算直接分步算法计算，先计算先计算先计算先计算各个最小割集内各个最小割集内各个最小

16、割集内各个最小割集内各基本事各基本事各基本事各基本事件的概率积件的概率积件的概率积件的概率积，再计算再计算再计算再计算各最小割集的各最小割集的各最小割集的各最小割集的概率和概率和概率和概率和，从而求得，从而求得，从而求得，从而求得顶事件发生概率，即：顶事件发生概率，即：顶事件发生概率，即：顶事件发生概率，即：3 3 最小割集法最小割集法 kkkk最小割集的个数最小割集的个数最小割集的个数最小割集的个数k k k kr r r r第第第第r r r r个最小割集，个最小割集，个最小割集，个最小割集，r r r r是最小割集的序号是最小割集的序号是最小割集的序号是最小割集的序号2222【例例3-9

17、】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上事件发生的概率。事件发生的概率。解：由根据式解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：，顶上事件发生的概率为：2323如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式3-183-183-183-18不成立，不成立，不成立，不成立，如某事故树有三个最小割集：如某事故树有三个最小割集：如某事故树有三个最小割集：如某事故树有三个最小割集：则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即则其顶上事件发生的概率为各最小割集的

18、概率和，即则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即2424其中其中其中其中是最小割集是最小割集是最小割集是最小割集K K K K1 1 1 1、K K K K2 2 2 2的交集概率的交集概率的交集概率的交集概率由于由于由于由于而而而而所以所以所以所以同理同理同理同理2525所以，顶上事件的发生概率为：所以，顶上事件的发生概率为：所以，顶上事件的发生概率为：所以，顶上事件的发生概率为：由由【例例3-9】可以看出，如果事故树的各最小割集中彼可以看出，如果事故树的各最小割集中彼此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公此有重复事件时，其顶上

19、事件的发生概率可以用如下公司计算：司计算：r r r r、ssss最小割集的序号最小割集的序号最小割集的序号最小割集的序号第第第第i i i i个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集KrKrKrKr和和和和KsKsKsKs的并集的并集的并集的并集26264 4 4 4 最小径集法最小径集法最小径集法最小径集法 用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与各最小径集用各最小径集用各最小径集用各最小径集用与门连接与门连接与门连接与门连接，每个

20、最小径集与其包含，每个最小径集与其包含，每个最小径集与其包含，每个最小径集与其包含的事件用的事件用的事件用的事件用或门连接或门连接或门连接或门连接。因此，若各最小径集中彼此。因此，若各最小径集中彼此。因此，若各最小径集中彼此。因此，若各最小径集中彼此没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求顶上事件的发生

21、概率，即：顶上事件的发生概率，即：顶上事件的发生概率，即：顶上事件的发生概率，即：PPPP最小径集的个数最小径集的个数最小径集的个数最小径集的个数P P P Pr r r r第第第第r r r r个最小径集，个最小径集，个最小径集，个最小径集，r r r r是最小径集的序号是最小径集的序号是最小径集的序号是最小径集的序号2727【例例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶若某事故树有如下几个最小径集，求其顶上事件发生的概率。上事件发生的概率。解：根据式解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：，其顶上事件发生的概率为：2828如果事故树的各最小径集中彼此如果事故树的各最小径集中彼此如

22、果事故树的各最小径集中彼此如果事故树的各最小径集中彼此有重复事件有重复事件有重复事件有重复事件，则式，则式，则式，则式3-203-203-203-20不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将式式式式3-20 3-20 3-20 3-20 展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推证，可用下式计算顶事件发生概率：证，可用下式计算顶

23、事件发生概率：证，可用下式计算顶事件发生概率：证，可用下式计算顶事件发生概率：r r r r、ssss最小径集的序号最小径集的序号最小径集的序号最小径集的序号第第第第i i i i个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集个基本事件属于最小割集KrKrKrKr和和和和KsKsKsKs的并集的并集的并集的并集2929例题解答例题解答【例例 3-113-11】以以图图3-123-12事故树为例事故树为例,试用最小割集法、试用最小割集法、最小径集法计算顶最小径集法计算顶事件的发生概率。事件的发生概率。设各基本事件的发设各基本事件的发生概率为生概率为:q q1 1 =0.01;

24、=0.01;q q2 2=0.02;=0.02;q q3 3=0.03;=0.03;q q4 4=0.04;q=0.04;q5 5=0.05=0.053030解解:该事故树有三个最小割集该事故树有三个最小割集:E E1 1=X X1 1,X,X2 2,X,X3 3,;E E2 2=X X1 1,X,X4 4;E E3 3=X X3 3,X,X5 5 事故树有四个最小径集事故树有四个最小径集:P P1 1=X X1 1,X,X3 3,;P P2 2=X X1 1,X,X5 5;P P3 3=X X3 3,X,X4 4;P P3 3=X X2 2,X,X4 4,X,X5 5 3131由式由式(3-

25、19)(3-19)得顶事件的发生概率得顶事件的发生概率:P(T)=P(T)=q q1 1q q2 2q q3 3+q+q1 1q q4 4+q+q3 3q q5 5-q q1 1q q2 2q q3 3q q4 4-q q1 1q q2 2q q3 3q q5 5-q q1 1q q3 3q q4 4q q5 5+q+q1 1q q2 2q q4 4q q3 3q q5 5代人各基本事件的发生概率得代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872P(T)=0.001904872。3232由式由式由式由式 (3-21)(3-21)(3-21)(3-21)得顶事件的发生概率得顶事件的发

26、生概率得顶事件的发生概率得顶事件的发生概率:P(T)=1-(1-P(T)=1-(1-P(T)=1-(1-P(T)=1-(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q3 3 3 3)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q5 5 5 5)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q3 3 3 3)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q4 4 4 4)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q2 2 2 2)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q4 4 4 4)(

27、1-)(1-)(1-)(1-q q q q5 5 5 5)+(1-+(1-+(1-+(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q3 3 3 3)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q5 5 5 5)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q3 3 3 3)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q4 4 4 4)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q2 2 2 2)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q

28、4 4 4 4)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q5 5 5 5)+(1-)+(1-)+(1-)+(1-q q q q2 2 2 2)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q3 3 3 3)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q4 4 4 4)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q5 5 5 5)-(1-(1-(1-(1-q q q q1 1 1 1)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q2 2 2 2)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q3 3 3 3)(1-)(1-)(1-)(1-q q q q4 4 4 4)(1-)(1-)(1-)(1-q q q

29、 q5 5 5 5)=0.001904872=0.001904872=0.001904872=0.0019048723333 在上述三种顶事件发生概率的精确算法中在上述三种顶事件发生概率的精确算法中,后两种相对较简单。后两种相对较简单。一般来说一般来说,事故树的最小割集事故树的最小割集数目较少时，数目较少时，用最小割集法；最小径集数目较少时，用最小径用最小割集法；最小径集数目较少时，用最小径集法。集法。注意：注意：根据根据最小割集计算最小割集计算顶上事件发生概率顶上事件发生概率的两个的两个公式公式，计算精度分别，计算精度分别高于高于最小径集最小径集的两个的两个公式公式。因此，实际应用中，。因此

30、，实际应用中，应尽量采用最小割集应尽量采用最小割集法法3434 按式按式(3-19)(3-19)和和(3-21)(3-21)计算顶事件的发生概计算顶事件的发生概率率，工作量很大，且，工作量很大，且当事故树中的当事故树中的最小割最小割(径径)集较多时集较多时会发生会发生组合爆炸组合爆炸问题。但在许多工程问题。但在许多工程问题中问题中,这种这种精确计算是不必要精确计算是不必要的的,这是因为这是因为统计得到的统计得到的基本数据往往是不很精确基本数据往往是不很精确的的,因此因此,用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精精确计算没有实际意义确计算没有实际意义。所以。

31、所以,实际计算中实际计算中多采多采用近似算法用近似算法。三、三、顶事件发生概率的近似顶事件发生概率的近似算法算法35351 1 1 1 用代数积、和代替概率积、和的近似算法用代数积、和代替概率积、和的近似算法用代数积、和代替概率积、和的近似算法用代数积、和代替概率积、和的近似算法 该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的逻辑运算看做是代数运算逻辑运算看做是代数运算。【例例 3-123-12】用近似算法用近似算法求右图事故树顶事件的求右图事故树顶事件的发生概率，并与精确值发生概率，并与精确值比较。各事件的发生概比较。各事件的发生概率为率为q q1 1 =0.01;

32、q=0.01;q2 2=0.02;=0.02;q q3 3=0.03;q=0.03;q4 4=0.04=0.04 36361）顶事件发生概率的近似计算）顶事件发生概率的近似计算事故树的函数结构式为事故树的函数结构式为用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似概率为概率为37372）顶事件发生概率的精确计算）顶事件发生概率的精确计算由事故树的函数结构式，化简求得由事故树的函数结构式，化简求得2个最小割集个最小割集为为由式由式3-19知，顶事件发生概率是精确值为知，顶事件发生概率是精确值为38383）顶事件发生概率近似计算的误差）顶事件发生概率近似计算

33、的误差顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误差为：差为：可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，其相对误差相当小。其相对误差相当小。3939 则得到用最则得到用最小割集求顶事小割集求顶事件发生件发生概率的概率的逼近公式逼近公式,即即：2.2.最小割集逼近法最小割集逼近法:在式在式 (3-19)(3-19)中中,设设:(3-22)(3-22)4040式式 (3-22)(3-22)中的中的F F1 1，F F1 1-F-F2 2，F F1 1-F-F2 2+F+F3 3，等等 ,依此给出了顶事件发生概率依

34、此给出了顶事件发生概率P(T)P(T)的上限和下的上限和下限限,可根据需要求出任意精确度的概率上、下可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。限。用最小割集逼近法求解用最小割集逼近法求解 【例例 3-113-11】。由式由式 (3-22)(3-22)可得可得 :4141则有则有 :P(T)1.90610:P(T)1.90610-3-3 P(T)1.9048610P(T)1.9048610-3-3 P(T)1.90487210P(T)1.90487210-3-3从中可取任意近似区间。从中可取任意近似区间。近似计算结果与精确计算结果的相对误差近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于列于表表3-15

35、3-15 中。中。4242计算项目计算项目计算项目计算项目顶事件发生概率的近似计算顶事件发生概率的近似计算顶事件发生概率的近似计算顶事件发生概率的近似计算项目项目项目项目数值数值数值数值取值范围取值范围取值范围取值范围计算值计算值计算值计算值P(T)P(T)P(T)P(T)相对误差相对误差相对误差相对误差/%/%/%/%。F F1 11.9061.906 1010-3-3F F1 10.0019060.0019060.0019060.0019060.0590.0590.0590.059F F2 20.001140.00114 1010-3-3F F1 1-F F2 20.001904860.0

36、01904860.001904860.001904860.00062990.00062990.00062990.0006299F F3 30.0000120.000012 1010-3-3F F1 1-F F2 2+F F3 30.0019048720.0019048720.0019048720.001904872O O O O表表3-15顶事件发生概率近似计算及相对误差顶事件发生概率近似计算及相对误差4343 由表可知由表可知,当以当以F F1 1作为顶事件发生概率作为顶事件发生概率时时,误差只有误差只有0.0590.059%；以以F F1 1-F-F2 2作为顶事件作为顶事件发生概率时发生

37、概率时,误差仅有误差仅有0.00062990.0006299%。实际应。实际应用中用中,以以F F1 1(称作称作首项近似法首项近似法 )或或F F1 1-F-F2 2作作为顶事件发生概率的近似值为顶事件发生概率的近似值,就可达到基本就可达到基本精度要求。精度要求。4444与最小割集法相似与最小割集法相似,利用最小径集也可以求得顶事件利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式发生概率的上、下限。在式(3-21)(3-21)中中 ,设设：则则 P(T)P(T)1-S 1-S1 1 P(T)P(T)1-S1-S1 1+S+S2 2 P(T)P(T)1-S1-S1 1+S+S2 2-S-S

38、3 3 (3-23(3-23)3.3.最小径集逼近法。最小径集逼近法。4545 式式 (3-23)(3-23)中的中的1-S1-S1 1,1-S 1-S1 1+S+S2 2,1-1-S S1 1+S+S2 2-S-S3 3,等等,依次给出了顶事件发生依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲概率的上、下限。从理论上讲,式式(3-22)(3-22)和和式式(3-23)(3-23)的上、下限数列都是单调无限收敛的上、下限数列都是单调无限收敛于于P(T)P(T)的的,但是在但是在实际应用中实际应用中,因基本事件的因基本事件的发生概率较小发生概率较小,而而应当采用应当采用最小割集逼近法最小割集逼近

39、法,以得到较精确的计算结果。以得到较精确的计算结果。4646为了使近似算法接近精确值为了使近似算法接近精确值,计算时保留式计算时保留式(3-19)中第一、二项中第一、二项,并取第二项的并取第二项的1/2 值值,即即:4 平均近似法。平均近似法。这种算法这种算法,称为平均近似法。称为平均近似法。4747 该近似算法，是将各个最小割（径）集作为相互独立该近似算法，是将各个最小割（径）集作为相互独立的事件对待。即尽管各最小割（径）集中彼此的事件对待。即尽管各最小割（径）集中彼此有重复事件有重复事件，但仍将他们但仍将他们看做无重复事件看做无重复事件。这样，就可按照无重复事件。这样，就可按照无重复事件的情况，由前面的式的情况，由前面的式3-18和式和式3-20计算顶上事件发生概计算顶上事件发生概率。率。5 独立事件近似法。独立事件近似法。式式3-18较简单，精度更高，较简单，精度更高，而式而式3-20误差大，一般不采误差大，一般不采用用4848