高考数学知识点总结（超级详细）.doc

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1、请填高考调查问卷，后续获取更多高考资料 问卷地址 1. 元素与集合的关系x A x CU A , x CU A x A .2.德摩根公式CU ( A I B) = CU A U CU B;CU ( A U B) = CU A I CU B .3.包含关系A I B = A A U B = B4.容斥原理 A B CU B CU A A I CU B = F CU A U B = R 6card ( A U B) = cardA + cardB - card ( A I B)card ( A U B U C ) = cardA + cardB + cardC - card ( A I B)- c

2、ard ( A I B) - card (B I C ) - card (C I A) + card ( A I B I C ) .5集合a , a ,L, a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个.12n6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ;(2)顶点式 f (x) = a(x - h)2 + k (a 0) ;(3)零点式 f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a 0) .7.解连不等式N f (x) M 常有以下转化形式N f (x) M f (x) -

3、 M f (x) - N 0 | f (x) - M + N | 0M - f (x)11.f (x) - NM - N8.方程 f (x) = 0 在(k1 , k2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k2 ) 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,12方程 ax 2 + bx + c = 0(a 0) 有且只有一个实根在 (k , k) 内, 等价于f (k1 ) f (k2) 0 , 或f (k1 ) = 0 且 k1 - b2a k1 + k22, 或 f (k2) = 0 且k1 + k22 - b2a0 时，若x = - b2ap, q，则 f (

4、x)min= f (-b ), f (x) 2amax =maxf ( p), f (q) ；x = - b2ap, q， f (x)max =max f ( p), f (q)， f (x)min =min f ( p), f (q).- 当 a0 时 ， 若f (x)min = min f ( p), f (q).x = - b2ap, q ， 则f (x)min= min f ( p), f (q) ， 若x = - b2ap, q ， 则f (x)max= max f ( p), f (q) ，10.一元二次方程的实根分布依据：若 f (m) f (n) m；（2）方程 f (x) =

5、 0 在区间(m, n) 内有根的充 f (m) 0 f (n) 0 f (m) = 0 f (n) = 02要条件为 f (m) f (n) 0 或af (m) 0 ；pm - n2 p2 - 4q 0p（3）方程 f (x) = 0 在区间(-, n) 内有根的充要条件为 f (m) 0 或.+ 0 恒成立的充要条件是 0 或a 0 2 - 4ac 0 f (x1 ) - f (x2 ) 0 f (x)在a,b上是增函数；1212x1 - x2(x - x ) f (x ) - f (x ) 0 f (x1 ) - f (x2 ) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0, a

6、 1) .(4)幂函数 f (x) = xa, f (xy) = f (x) f ( y), f (1) = a.(5)余弦函数 f (x) = cos x ,正弦函数g (x) = sin x ， f (x - y) = f (x) f ( y) + g(x)g( y)，f (0) = 1, lim g(x) = 1 .x0x29.几个函数方程的周期(约定 a0)（1） f (x) = f (x + a) ，则 f (x) 的周期 T=a；（2） f (x) = f (x + a) = 0 ，或 f (x + a) =或 f (x + a) = -1f (x) 1f (x)( f (x) 0

7、) ，( f (x) 0),或 1 +2f (x) - f 2 (x) =f (x + a),( f (x) 0,1) ,则 f (x) 的周期 T=2a；(3) f (x) = 1 -1f (x + a)( f (x) 0) ，则 f (x) 的周期T=3a；f (x1 ) + f (x2 )(4) f (x + x ) =且 f (a) = 1( f (x ) f (x ) 1, 0 | x - x | 0, m, n N* ，且n 1）.n amm(2) a- n= 1 （ a 0, m, n N a n* ，且n 1）.m31根式的性质（1） ( n a )n = a .n an（2）

8、当n 为奇数时，= a ；当n 为偶数时，=| a |= a, a 0 .n an-a, a 0, r , s Q) .(2) (ar )s = ars (a 0, r, s Q) . (3) (ab)r = arbr (a 0, b 0, r Q) .注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式bloga N = b a = N (a 0, a 1, N 0) .34.对数的换底公式logN = logm N( a 0 ,且a 1, m 0 ,且m 1,N 0).malog aa推论 log mb

9、n =n logmab ( a 0 ,且a 1, m, n 0 ,且m 1, n 1,N 0 ).35对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则55. loga (MN ) = loga M + loga N ;M56. logaN= loga M - loga N ;(3) loga M = n log M (n R) .na2236.设函数 f (x) = log m (ax + bx + c)(a 0) ,记D = b - 4ac .若 f (x) 的定义域为R ,则a 0 ，且D 0 ，且D 0 .对于a = 0 的情形,需要单独检验.1. 对数换底不等式及其推广若a 0 , b

10、0 , x 0 , x 1 ,则函数 y = log (bx)aax(1)当a b 时,在(0, 1 ) 和( 1 , +) 上 y = log (bx) 为增函数. aaax(2)当a m 1， p 0， a 0 ，且a 1，则m logm+ p (n + p) logm n .n logm logn log2 m + n .aaa22. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 p ，则对于时间x 的总产值 y ，有 y = N (1+ p)x .39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系a = s1 ,n = 1( 数列a 的前 n 项的和为s= a + a +L+ a )

11、.s-n nsn -1, n 2nn12n40.等差数列的通项公式a = a + (n -1)d = dn + a- d (n N *) ；n11其前 n 项和公式为= n(a1 + an )+ n(n -1) d= nasn212= d n2 + (a - 1 d )n .21241.等比数列的通项公式a = a qn-1 = a1 qn (n N * ) ；n1q其前 n 项的和公式为 a (1- qn ) 1, q 1sn = 1- qna , q = 11 a1 - anq , q 1=或sn 1- q.na1 , q = 142.等比差数列an : an+1 = qan + d ,

12、a1 = b(q 0) 的通项公式为b + (n -1)d , q = 1na = bqn + (d - b)qn -1 - d；, q1q -1其前 n 项和公式为nb + n(n -1)d , (q = 1)=sn(b -d1- qnd)+n,(q 1) .1- qq -11- q43.分期付款(按揭贷款)ab(1+ b)n每次还款x =(1+ b)n -1元(贷款a 元, n 次还清,每期利率为b ).44常见三角不等式)（1）若x (0,p ，则sin x x tan x .22)（1） 若x (0,p ，则1 a(| a | 1) x (2kp+ arcsin a, 2kp+ p-

13、arcsin a), k Z .sin x a(| a | 1) x (2kp- arccos a, 2kp+ arccos a), k Z .cos x a(a R) x (kp+ arctan a, kp+ p , k Z .2,tan x 0,b 0,c 0).（4）柯西不等式(a2 + b2 )(c2 + d 2 ) (ac + bd )2 , a, b, c, d R.（5） a - b a + b a + b .72.极值定理已知x, y 都是正数，则有p（1）若积xy 是定值 p ，则当x = y 时和x + y 有最小值2；（2）若和x + y 是定值s ，则当x = y 时积

14、 xy 有最大值 1 s 2 .4推广 已知x, y R ，则有(x + y) 2 = (x - y) 2 + 2xy（1）若积xy 是定值,则当| x - y | 最大时,| x + y | 最大；当| x - y | 最小时,| x + y | 最小.（2）若和| x + y | 是定值,则当| x - y | 最大时, | xy | 最小；当| x - y | 最小时, | xy |最大.73.一元二次不等式ax2 + bx + c 0(或 0) ，如果a 与ax2 + bx + c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax2 + bx + c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根

15、之外，异号两根之间.x1 x x2 (x - x1 )(x - x2 ) 0(x1 x2 ) ；x x2 (x - x1 )(x - x2 ) 0(x1 0 时，有x a x2 a 2 -a x a x2 a2 x a 或 x g (x) 0 f (x) g(x) f (x) 0f (x)（2） g(x) g (x) 0.或 f (x) 0 . g (x) g(x)2 f (x) 0f (x)（3） 0. f (x) 1时,a f ( x ) ag ( x ) f (x) g (x) ; f (x) 0loga f (x) logag(x) g(x) 0. f (x) g(x)(2)当0 a

16、ag ( x ) f (x) 0loga f (x) logag(x) g(x) 0 f (x) g(x)77.斜率公式k = y2 - y1 （ P (x , y ) 、P (x , y ) ）.x - x1112222178.直线的五种方程（1）点斜式y - y1 = k (x - x1 )(直线l 过点P1 (x1 , y1 ) ，且斜率为k )（2）斜截式 y = kx + b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).（3）两点式y - y1= x - x1( y y)( P (x , y ) 、P (x , y )( x x).y - yx - x1211122212(4)截距式（5）一般式2121x + y = 1(